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La dimostrazione per assurdo
La dimostrazione per assurdo in matematica è uno strumento utile per dimostrare certi teoremi. Essa
procede secondo i seguenti passi:
1. Si suppone che il teorema sia falso
2. Si fa vedere, mediante ragionamenti corretti, che possono essere anche molto lunghi e complicati, che la negazione del teorema porta a una contraddizione.
3. La contraddizione implica che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero. La dimostrazione finisce a questo punto.
negazione del teorema
•
contraddizione
verità del teorema
Nelle pagine seguenti vedremo come Euclide usò questo metodo per dimostrare che la radice
quadrata di 2 non è un numero razionale. Numeri di questo tipo sono oggi chiamati numeri irrazionali.
•
I Greci non volevano usare questo tipo di numeri e non sapevano darsi pace del fatto che la
diagonale del quadrato non fosse esprimibile, in rapporto al lato, come rapporto di numeri interi. Dal teorema di Pitagora consegue infatti che d = l ⋅ 2
Euclide e i numeri irrazionali pag.1 di 1
2 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non abb
biano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che
2=
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
a
2=
b
2=
elevando al quadrato abbiamo:
a2
b
2
→ a 2 = 2b 2
(* )
Ma questo implica che a2 è multiplo di 2, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 2.
Dato che a è multiplo di 2 possiamo scrivere:
a = 2k
(* * )
dove k è un numero intero.
Sostituendo nella relazione (* ) otteniamo:
(2k )2 = 2b 2
→
4 k 2 = 2b 2
→
2k 2 = b 2
Ma questo implica che b2 è multiplo di 2, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 2.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 2, cosa che porta a una contraddizione dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
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Il teorema testé dimostrato equivale a dire che
2 non è un numero razionale. Da qui sorse la
necessità di allargare il sistema numerico fino a comprendere numeri che non sono razionali,
chiamati perciò numeri irrazionali.
È importante sottolineare che lo stesso tipo di dimostrazione può essere usato per dimostrare che anche numeri come
3,
5,
3
7 etc. sono numeri irrazionali. Nelle pagine seguenti vediamo come si
procede.
Euclide e i numeri irrazionali pag.2 di 2
3 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non abb
biano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che
3=
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
3=
a
b
3=
elevando al quadrato abbiamo:
a2
b
2
→ a 2 = 3b 2
(* )
Ma questo implica che a2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 3.
Dato che a è multiplo di 3 possiamo scrivere:
a = 3k
(* * )
dove k è un numero intero.
Sostituendo nella relazione (* ) otteniamo:
(3k )2 = 3b 2
→
9k 2 = 3b 2
→
3k 2 = b 2
Ma questo implica che b2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 3.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 3, cosa che porta a una contraddizione dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
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Euclide e i numeri irrazionali pag.3 di 3
12 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non abb
biano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che 12 =
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
a
b
12 =
12 =
a2
b
2
elevando al quadrato abbiamo:
→ a 2 = 12b 2
→ a 2 = 2 2 ⋅ 3b 2
(* )
Ma questo implica che a2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 3.
Dato che a è multiplo di 3 possiamo scrivere:
a = 3k
(* * )
dove k è un numero intero.
Sostituendo nella relazione (* ) otteniamo:
(3k )2 = 2 2 ⋅ 3b 2
→
9k 2 = 12b 2
→
3k 2 = 4b 2
Ma questo implica che b2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 3.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 3, cosa che porta a una contraddizione dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
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Euclide e i numeri irrazionali pag.4 di 4
3
7 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non abb
biano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che
3
7=
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
3
7=
a
b
7=
elevando al cubo abbiamo:
a3
b
3
→ a 3 = 7b 3
(* )
Ma questo implica che a3 è multiplo di 7, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 7.
Dato che a è multiplo di 7 possiamo scrivere:
a = 7k
(* * )
dove k è un numero intero.
Sostituendo nella relazione (* ) otteniamo:
(7k )3 = 7b 3
→
7 3 ⋅ k 3 = 7b 3
→
72 ⋅ k 3 = b3
Ma questo implica che b3 è multiplo di 7, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 7.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 7, cosa che porta a una contraddizione dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
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Euclide e i numeri irrazionali pag.5 di 5