punti di accumulazione

1) PUNTI DI ACCUMULAZIONE
Definizione 1
Sia A  R e x0  R . Si dice che x 0 è un punto di accumulazione per l’insieme A
quando in ogni intorno I ( x0 ) di x 0 cadono infiniti punti di A diversi da x 0 .
L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A si chiama derivato di A e si
denota col simbolo D(A).
Esempi:
D( [1,2] ) = [1,2]; D( ]1,2[ ) = [1,2]; D(N) = D(Z) =  ; D( [1,2[ U ]2,3 ] ) = [1,3].
Da questi esempi si deduce che un punto di accumulazione per A non è sempre
appartenente ad A.
( x0  D( A)  x0  A )
Inoltre i punti di accumulazione sono numeri reali. E’ comodo, pertanto, estendere la
definizione anche ai punti   .
Definizione 2
Sia A  R . Si dice che   è un punto di accumulazione per A quando in ogni intorno
I(   ) di   cadono infiniti punti di A.
Osservazione
E’ evidente che
(   è di acc. per A)  (A non è limitato superiormente)
Analogamente per   .
Una volta data questa definizione i punti di D(A) si chiamano punti di accumulazione
al finito,   punti di accumulazione all’infinito.
Esempi:
(semplici dagli appunti a pag. 2)
2) LA NOZIONE DI LIMITE
Definizione 1
Sia f : A  R  R e x0  D( A) . Si dice che l  R è il limite di f in x 0 o anche che
f converge ad l in x 0 o anche che f tende a l al tendere di x a x 0 e si scrive:
1
lim f ( x)  l
x  x0
Quando f verifica la seguente proprietà:
(#)   0   0 : x  A e 0 | x  x0 |   | f ( x)  l | 
Osservazione
Analogamente a quanto visto per le successioni, essendo:
| x  x0 |   x  x0   , x0     I ( x0 ,  )
| ( f ( x)  l |   f ( x)  l   , l     J (l,  )
La definizione di limite espressa dalla proprietà (#) è equivalente a:
J (l ,  )
I ( x0 ,  ) : x  A  I ( x0 ,  )  {x0 }  f ( x)  J (l ,  )
Osservazione 1
Dalle definizioni di limite si deduce che all’esistenza del limite l concorrono soltanto
i valori assoluti di f in punti contenuti in un opportuno intorno I ( x0 ,  ) di x 0 e diversi
da x 0 .
Analogamente il limite l di f in x 0 è un numero che può esistere anche quando non
esiste il valore f( x 0 ) di f in x 0 (ciò è possibile perché il punto x0  D( A) non è tenuto
ad appartenere ad A). Inoltre all’esistenza del limite l concorrono soltanto i valori di
f che sono contenuti in un intervallo I( x 0 ) di x 0 (carattere locale della definizione di
limite).
Definizione 2
Sia f : A  R  R e x0  D( A) . Si dice che   è il limite di f in x 0 o anche che f in
x 0 diverge positivamente o anche che f tende a   per x che tende a x 0 e si scrive
lim f ( x)  
x  x0
Quando f verifica la seguente proprietà:
(#) M  0   0 : x  A e 0 | x  x0 |   f ( x)  M .
Osservazione 2
Assunto che:
f ( x)  M  f ( x)  M ,  J ()
2
La proprietà (#) che fornisce la definizione di limite nel caso considerato, è
equivalente alla seguente:
J () I ( x0 ,  ) : x  A  I ( x0 ,  )  {x0 }  f ( x)  J ()
Definizione 3
Sia f(x) una funzione reale definita in un insieme A  R non limitato superiormente
sicché   è punto di accumulazione per A.
Si dice che il numero l  R è il limite di f(x) per x   o anche che f(x) converge
ad l per x   e si scrive
lim f ( x)  l
x 
Quando f verifica la seguente proprietà
(#)   0   0 : x  A e x   | f ( x)  l | 
Analogamente a quanto visto per le predente definizioni di limite, tale proprietà è
equivalente alla seguente che restituisce gli intorni delle disuguaglianze
J (l ,  ) I () : x  A  I ()  f ( x)  J (l ,  )
Osservazione 4
Si noti che, in particolare, la precedente definizione di limite (#) restituisce la
definizione di limite per le successioni (a n ) nel caso delle convergenti.
Osservazione 5
In maniera del tutto analoga, lasciamo allo studente che si definiscano i simboli di
limite:
lim f ( x)  l ;
x 
lim f ( x)   ;
x  
lim f ( x)   .
x  
Determiniamo qualche considerazione sulla definizione di limite per le funzioni
osservando che, analogamente a quanto detto per le successioni, le varie definizioni
di limite si possono riassumere tutte nell’unica:
Definizione generale di limite
Sia f : A  R  R , x0  R un punto di accumulazione per A (al finito o anche
all’infinito). Denotiamo col simbolo J (l ) un intorno qualsiasi di l  R e con I ( x0 ) un
intorno qualsiasi di x 0 .
3
Vale la seguente equivalenza:
 lim f ( x)  l    J (l ) I ( x ) : x  A  I ( x )  {x }  f ( x)  J (l )
0
0
0

 x  x0





Inoltre, analogamente a quanto fatto per le successioni si dice che una funzione f è
regolare nel punto x 0 quando è dotata di limite in x 0 , si dice che f è non regolare in
x 0 quando non è dotata di limite in x 0 .
Esempi:
(semplici sulla verifica di un limite da pag. 5 a pag. 8)
4) LIMITE SINISTRO E LIMITE DESTRO
Per studiare la regolarità di una funzione in un punto è molto utile nella pratica la
nozione di limite sinistro e limite destro.
Definizione
Sia f : A  R  R e x0  D( A) . Si chiamano limite sinistro e limite destro di f i limiti:
lim f ( x)  lim f ( x) con x  x0 ;
x  x0 
x  x0
lim f ( x)  lim f ( x) con x  x0 .
x  x0 
x  x0
In altri termini il limite sinistro è il limite di f in x 0 ottenuto facendo tendere x a x 0 da
destra.
E’ evidente che:
 lim f ( x)  l    lim f ( x)  lim f ( x)  l 
 x x 

x  x0 
 x  x0

 0

Congruentemente:
 lim f ( x)  lim f ( x)     lim f ( x) 

 x x 
  x x
x  x0 
0

 0
 
Esempi:
(Semplici esempi di limite destro e sinistro pag. 9 e 10)
5) IL TEOREMA PONTE
Proposizione (sui punti di accumulazione di un insieme)
Se x0  R è punto di accumulazione per un insieme A  R esiste una successione ( xn ) di
punti di A distinti da x 0 che ha per limite il punto x 0 .
4
Dim.
1
1
Se x0  R , l’intervallo  x0  , x0  n  N è un intorno di x 0 .

n
n
Essendo x 0 di accumulazione per A n  N in tale intervallo cadono infiniti punti di
A diversi da x 0 . Per ogni n  N indicheremo allora con x n uno qualsiasi di tali punti
scelto a piacere. In tal modo resta individuata una successione ( xn ) di punti di A
diversi da x 0 tali che
x0 
1
1
 x0  x0 
n
n
La quale converge a x 0 per il teorema dei carabinieri.
Analogamente si ragiona se x0   .
Definizione
Ogni successione ( xn ) di punti di A distinti da x 0 e avente per limite il punto x0  R (di
accumulazione per A) si chiama una successione di punti di A approssimante x 0 .
Osservazione
Si noti che, come si deduce dalla dimostrazione della proposizione precedente, se x 0
è un punto di accumulazione per l’insieme A allora esistono infinite
successioni ( xn ) di punti di A approssimanti x 0 .
Premesso ciò, consideriamo una funzione f(x) definita nell’insieme A e un punto
x 0  R di accumulazione per A.
E’ evidente che, per ogni successione ( xn ) di punti di A approssimante x 0 è lecito
considerare la successione  f ( xn ) dei valori di f in punti x n di A  {x0 } e cioè la legge:
n  N  f ( xn ).
Relativamente a tali successioni sussiste il seguente importante teorema del quale
omettiamo la dimostrazione per brevità.
Teorema ponte (sul limite delle funzioni)
Siano f(x) una funzione definita in A, x0  R un punto di accumulazione per A, l  R .
Vale la seguente equivalenza
 lim f ( x)  l    lim f ( x)  l per ogni succ. ( x ) di punti di A approssimante x
n
0
 n
 x  x0





Osservazione
5
Si noti subito che l’equivalenza contenuta nel teorema ponte può essere usate per
definire il limite di una funzione: l è limite della funzione f(x) in x 0 se e solo se per
ogni successione ( xn ) di punti dell’insieme di definizione di f approssimante x 0 risulta
essere l il limite della successione  f ( xn ) .
E’ questo il motivo per cui il teorema ponte è molto importante. Un altro motivo per
cui il teorema ponte è molto importante è che consente di estendere tutte le proprietà
notevoli dei limiti delle funzioni collegandole (cioè facendo ponte) con le analoghe
proprietà delle successioni. Ad esempio, utilizzando il teorema ponte dimostriamo la
seguente proprietà del limite.
Teorema di unicità del limite
Ogni funzione f(x) che sia regolare in un punto x0  R di accumulazione per il suo
insieme di definizione non può tendere a due limiti diversi al tendere di x a x 0 .
Dim.
Supponiamo per assurdo che f ammetta in x 0 due limiti diversi l1  l2 .
Detta xn  una successione di punti di A approssimante il punto di accumulazione x 0 ,
per il teorema ponte valgono le implicazioni
lim f ( x)  l1  lim f ( xn )  l1
x x0
n
lim f ( x)  l 2  lim f ( xn )  l 2
x x0
n
Ma allora la successione  f ( xn ) amette due limiti diversi e ciò è impossibile perché
in contrasto col teorema di unicità del limite per le successioni. Il teorema è così
dimostrato.
Osservazione 1
Naturalmente le proprietà notevoli del limite delle funzioni si possono anche
dimostrare direttamente ricorrendo alla definizione di limite delle funzioni senza
sfruttare il teorema ponte e i risultati analoghi stabiliti per le successioni.
Termineremo queste considerazioni sul limite delle funzioni aggiungendo il teorema
sulle operazioni lecite con i limiti.
Teorema
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un insieme A  R e x0  R un punto di
accumulazione per A.
Valgono le seguenti implicazioni
6
1) lim f ( x)  g ( x)  a  b 

 lim f ( x)  a  R , lim g ( x)  b  R    x x0


x

x
x

x
0
 0
  2) lim f ( x) g ( x)  ab
 x x0

Inoltre se f ( x)  0, x  x0 allora vale che
 lim f ( x)  a  R , lim g ( x)  b  R    lim f ( x)  a 
x  x0
 x x0
  x x0 g ( x) b 
Queste implicazioni sono valide purché a+b, ab, e a / b abbiano significato in R e cioè
non abbiano la forma indeterminata    della somma, 0   del prodotto, 0 / 0,  / 
del rapporto oppure il simbolo l/0.
6) CONTINUITA’ E DISCONTINUITA’ DELLE FUNZIONI
Definizione 1
Sia f : A  R  R e x0  A  D( A) . Si dice che f è continua in x 0 quando risulta
lim f ( x)  f ( x0 )
x x0
Si dice che f è continua nell’insieme A quando è continua in ogni punto di A.
Esempio 1
(v. pag. 14)
In sintesi ricordando che il limite di una somma e di un prodotto è la somma o il
prodotto dei limiti si ha che la somma e il prodotto di funzioni continue sono funzioni
continue.
Esempio 2
(v. pag. 14 e 15)
E’ evidente che la funzione identica f ( x)  x e le funzioni costanti sono funzioni
continue in R. Congruentemente sono continue le funzioni:
f ( x)  x n con n  N ;
f ( x)  3 x 3  2 x 2  3 x  7 .
Anche il rapporto di funzioni è una funzione continua ma, come al solito, occorre fare
attenzione ai punti dove il denominatore si annulla.
Ad esempio il rapporto fra le funzioni f ( x)  sin x e g ( x)  cos x equivale alla
frazione
f ( x) sin x

 tan x
g ( x) cos x
7


E tale funzione è continua in R  x : cos x  0  R    k   R  (2k  1) 
2


2  kZ
Allo scopo di comprendere meglio la nozione di continuità è importante anche
definire i punti di discontinuità delle funzioni.
Definizione 1
Sia f : A  R  R e x0  D( A) . Si dice che x 0 è un punto di discontinuità eliminabile
per f quando accade che  lim f ( x)  l  R ma non esiste f ( x0 ) oppure quando accade
x x0
che  lim f ( x)  l  R , f ( x0 ) ma l  f ( x0 ) .
x x0
Osservazione
Se x0 è una discontinuità eliminabile per f, la funzione
 f ( x) per x  A  {x0 }
g ( x)  
per x  x0
l
è continua in x0 perché lim g ( x)  lim f ( x)  l  g ( x0 ) .
x x0
x x0
Tale funzione si chiama il prolungamento continuo di f in x0
Esempio
(v. pag. 15)
Si riporta l’es. della funzione f ( x)  x sin
1
che presenta una discontinuità eliminabile
x
in x  0 e se ne scrive il prolungamento continuo.
Definizione 2
Sia f : A  R  R e x0  D( A) . Si dice che x 0 è un punto di discontinuità di prima
specie per f se i limiti sinistro e destro di f in x 0 esistono finiti e sono tra loro diversi.
Ad esempio la funzione
f ( x) 
1, x  0

x  1, x  0
x
Ha in 0 una discontinuità di prima specie.
Definizione 3
8
Sia f : A  R  R e x0  D( A) . Si dice che x 0 è un punto di discontinuità di seconda
specie per f in x 0 quando almeno uno dei limiti sinistro o destro di f o è infinito
oppure non esiste.
Ad esempio le funzioni
f ( x) 
1
;
x
1
.
x2
g ( x) 
Hanno in 0 una discontinuità di seconda specie.
Così pure le funzione
f ( x)  sin
1
, x  R  {0}
x
Ha in 0 una discontinuità di II specie.
Osservazione conclusiva
A conclusione di queste considerazioni osserviamo che il diagramma di una funzione
f(x) continua in un intervallo I è una linea priva di interruzioni e cioè tale che si può
descrivere senza mai sollevare la penna dal foglio. Se ciò accade in un punto x 0 , tale
x 0 è un punto di discontinuità.
7) FUNZIONI MONOTONE IN UN INTERVALLO
Ci proponiamo ora di caratterizzare le proprietà del limite di funzioni che risultino
monotone in un intervallo.
Innanzitutto, come per le successioni, anche per le funzioni vale il seguente
Teorema sul limite delle funzioni monotone
Sia f(x) una funzione monotona nell’intervallo a, x0  con x0   cioè. Come si suol
dire, monotona a sinistra del punto x 0 . Vale la seguente legge
 f crescente in a, x0     xlim
x


f ( x)  sup f 
a , x0  
0
 f decrescente in a, x0     xlim
x

0
f ( x)  inf f 
a , x0  
Rinviamo per motivi di brevità la dimostrazione ricordando che tale dimostrazione è
simile a quella che abbiamo fatto per le successioni.
Osservazione 1
Si noti che, essendo x 0 l’estremo destro dell’intervallo a, x0  se x0  R risulta che
9
lim f ( x)  lim  f ( x)
x  x0
x  x0
Osservazione 2 (notevole)
Supponiamo che la funzione f sia crescente nell’intervallo a, b. Per il teorema sul
limite delle funzioni monotone risulta allora
lim f ( x)  sup f  f (b)
x b 
a , b 
Evidentemente se vale l’uguaglianza f è continua in b, se invece vale la
disuguaglianza stretta f ha in b una discontinuità eliminabile.
Osservazione 3 (notevole)
Abbiamo enunciato il teorema supponendo f monotona a sinistra del punto x 0 ma è
evidente che i risultati sussistano anche a destra di x 0 e cioè in x0 , b con x0   . In
tal caso valgono le implicazioni:
 f crescente in x0 , b    xlim
x

f ( x)  inf f 
x0 ,b  

0
 f decrescente in x0 , b    xlim
x

0


f ( x)  sup f 
x0 ,b  
Ne segue che, se f è crescente nell’intervallo compatto a, b se se x0  a, b allora
esistono finiti i limiti sinistro e destro di f in x 0 e si ha (cfr. figura pag.18)
l1  lim  f ( x)  f ( x0 )  lim  f ( x)  l 2
x  x0
x  x0
Evidentemente se almeno una di queste due disuguaglianze è stretta (cioè non vale
l’uguale) allora f ha in x 0 una discontinuità di prima specie, altrimenti f è continua
in x 0 . Analogamente se f è decrescente in a, b
Dal teorema sui limiti delle funzioni monotone, tenendo presente il diagramma, si
deducono facilmente i seguenti limiti notevoli delle funzioni elementari:
(v. pag. 18 e 19 con i grafici)
Criterio di continuità delle funzioni monotone
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I qualsiasi ed ivi monotona. Vale
l’implicazione
10
(il condominio di f(x) è un intervallo)  ( f(x) è continua in I)
Dim.
Supponiamo, per fissare le idee, f(x) crescente in a, b. Osserviamo che in tal caso
per la crescenza di
f(x) risulta
f (a)  f ( x)  f (b), x  a, b, sicché
f [a, b]   f (a), f (b). Si tratta di dimostrare che se f [a, b]   f (a), f (b) e cioè se la
funzione f(x) assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) allora f(x) è continua in
a, b.
Sia x 0 un punto interno ad a, b di discontinuità per la funzione. Essa è una
discontinuità di prima specie (v. figura pag. 20) e posto
l1  lim  f ( x);
x  x0
l 2  lim  f ( x);
x  x0
Risulta
f (a)  l1  l2  f (b)
Ne consegue che f(x) non può assumere tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) perché
in tal caso, essendo l1 , l2    f (a), f (b) , dovrebbe assumere anche tutti i valori
compresi tra l1 ed l 2 e ciò non è vero. Analogamente si ragiona per gli estremi di
a, b.
Corollario
Le funzioni elementari sono tutte continue nel loro insieme di definizione
Dim.
Basta osservare che una funzione elementare o è una funzione monotona in un
intervallo che per condominio un intervallo come le funzioni x  , a x , log a x , oppure è
noto che il suo insieme di definizione si può scomporre in intervalli in ciascuno dei
quali la funzione è monotona ed ha per condominio un intervallo Ciò accade per la
potenza ad esponente intero x n con n pari, sin x, cos x, tan x, cot x .
In ogni caso per il criterio di continuità delle funzioni monotone, ogni funzione
elementare è continua.
8) TEOREMA SUL LIMITE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
E’ molto importante per le applicazioni il seguente risultato
Teorema (sul limite delle funzioni composte)
11
Siano f(x) una funzione definita in X e a valori in Y e g(y) una funzione definita in Y.
Consideriamo la funzione composta g  f (x) mediante tali funzioni che risulta definita
in X.
Vale la seguente implicazione
1) lim f ( x)  y0
 x  x0
 2) lim g ( y )  l
 y  y0
f ( x)  y 0 x  x0 
   lim g  f ( x)   l 
  x  x0


Dim.
Sia xn  una qualsiasi successione di punti di X approssimante x 0 . Per l’ipotesi 1) e il
teorema ponte (implicazione a destra) risulta
lim f ( x n )  y 0
f ( xn )  y0 n  N
e
n
Congruentemente, posto y n  f ( xn ), n  N si ha
y n  y0 , n  N
e
lim y n  y 0
n
E la successione  y n    f ( xn ) è dunque una successione di punti di Y approssimante
y0 .
Per l’ipotesi 2) e il teorema ponte (implicazione a destra) risulta ancora
lim g ( y n )  l
n
Raccogliendo abbiamo provato , sfruttando le ipotesi 1) e 2) e il teorema ponte due
volte, che
lim g  f ( xn )   l
n
Per ogni successione xn  di punti di X approssimanti x 0 .
Per il teorema ponte (implicazione a sinistra stavolta) si conclude che
lim g  f ( x)  l
xx0
E cioè la tesi.
Osservazione (notevole)
Si noti che il teorema sul limite delle funzioni composte esprime che, se le ipotesi a
sinistra dell’implicazione sono valide, risulta:
12
lim g  f ( x)   lim g ( y ) 
x  x0
y  y0
lim
y  lim f ( x )
g ( y)
x x 0
Tale uguaglianza, dal punto di vista pratico, mostra che per calcolare il limite per
x  x0 della funzione composta g  f (x) basta porre nel simbolo g  f (x) y in luogo di
f(x) e sostituire x  x0 con y  lim f ( x) .
x x0
Quando si effettuano tali operazioni si dice che il limite lim g  f ( x) si calcola con la
x x0
sostituzione y  f (x) . (v. esempio a pag. 23)
Osservazione 2
Dal teorema sul limite delle funzioni composte si trae in particolare:
 lim f ( x)  y0

 x  x0
 
g  f ( x)   g ( y0 )  g  lim f ( x)  
 lim g ( y )  g ( y )    xlim
 x0
 x  x0

0
 y  y0

Ovvero, la funzione composta mediante funzioni continue, è a sua volta continua.
9) ESERCIZI SUI LIMITI DI EPSRESSIONI ELEMENTARI
(v. pag. 23 a 26)
Sono presentati diversi esempi di calcolo del limite per sostituzione e attraverso
operazioni lecite sui limiti.
10) ALCUNI TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE IN
UN INTERVALLO
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I qualsiasi e siano a  b due punti di I
tali che f (a)  f (b)  0 . Essendo il diagramma di f(x) una curva priva di interruzioni
perché priva di discontinuità è intuitivo che il pezzo di diagramma di f che si
presenta nell’intervallo a, b deve intersecare l’asse x in qualche punto.
Siccome i punti in cui un diagramma interseca l’asse x sono i punti in cui la funzione
si annulla possiamo affermare che la funzione f(x) nell’intervallo a, b deve annullarsi
in qualche punto.
Naturalmente questo ragionamento non può valere come dimostrazione perché non è
stata data una definizione quantitativa della continuità, tuttavia è una qualificazione
intuitiva del seguente importantissimo
Teorema degli zeri
13
Una funzione f(x) la quale sia continua in un intervallo compatto a, b e che assume
valori di segno opposto negli estremi di a, b si annulla in almeno un punto interno
di a, b.
Vale cioè la seguente implicazione





f continua
f (a )  f (b)  0





 x0  a, b : f ( x0 )  0 in a, b e
Rinviamo la dimostrazione per motivi di brevità.
Utilizzando il teorema degli zeri dimostriamo il seguente
I teorema di esistenza dei valori intermedi
Una funzione f continua nell’intervallo compatto a, b assume tutti i valori compresi
tra f(a) e f(b).
Dim.
Se f (a)  f (b) il teorema è vero perché la funzione assume l’unico valore f (a)  f (b) .
Viceversa supponiamo f (a)  f (b) e consideriamo al funzione ausiliaria
g ( x)  f ( x)  y 0
x  a, b
con f (a)  y0  f (b) .
Essendo g (a)  f (a)  y0  0 e g (b)  f (b)  y0  0 , per il teorema degli zeri esiste un
punto x0  a, b tale che g ( x0 )  f ( x0 )  y0  0 e cioè tale che f ( x0 )  y0 . Si conclude
che f(x) assume il valore y 0 . Dall’arbitrarietà di y 0 segue la tesi.
Consideriamo, ancora, il diagramma di una funzione f continua in un intervallo
compatto a, b. Essendo tale diagramma privo di interruzioni è quantitativamente
evidente che esistono almeno due punti x1 , x2  a, b tali che f ( x1 )  min f e
[ a ,b ]
f ( x2 )  max f . Tali punti si dicono rispettivamente punti di minimo e punti di
[ a ,b ]
massimo.
Naturalmente tutto ciò è una considerazione di carattere quantitativo e non una
dimostrazione del seguente importantissimo risultato.
Teorema di Weierstrass
Una funzione f continua in un intervallo compatto a, b è dotata di minimo e di
massimo.
14
In altri termini vale la seguente implicazioni



f continua in a, b

   x1 , x 2  [a, b] : f ( x1 )  min f , f ( x 2 )  max f 
[ a ,b ]
[ a ,b ]



dal teorema di Weierstrass e dal I teorema di esistenza dei valori intermedi si deduce
la seguente proprietà.
II teorema di esistenza dei valori intermedi
Una funzione f continua in un intervallo compatto a, b assume tutti i valori compresi
tra il suo minimo e il suo massimo.
Dim.
Se il minimo è uguale al massimo la funzione è costante e il teorema è vero.
Viceversa, indichiamo con x1 un punto di minimo e con x 2 un punto di massimo. Per
il primo teorema dei valori intermedi applicato all’intervallo compatti di estremi x1 e
x 2 si ha che f(x) assume tutti i valori compresi tra f ( x1 ) e f ( x2 ) , e quindi tra il
minimo e il massimo.
Osservazione
Questo teorema si generalizza. Infatti si può dimostrare che una funz. f continua in un
intervallo I qualsiasi assume tutti i valori compresi tra il suo estremo inferiore e il suo
estremo superiore. Congruentemente ogni funzione continua in un intervallo ha per
codominio un intervallo.
Sussiste, infine il seguente risultato che non dimostriamo.
Teorema di continuità della funzione inversa
La funzione inversa f 1 di una funzione f continua e strettamente monotona in un
intervallo compatto a, b è a sua volta una funzione continua e strettamente
monotona.
11) FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE
Le funzioni seno, coseno e tangente non sono invertibili perché periodiche, in tutto il
loro insieme di definizione sono però certamente invertibili in ogni intervallo in cui
risultino strettamente monotone.
Definizione
15
 
Si chiama arcoseno l’inversa della restrizione del seno all’intervallo  ,  ;
 2 2
arcoseno l’inversa della restrizione del coseno all’intervallo 0,  ; arcotangente
 
l’inverso della restrizione della tangente all’intervallo   ,  .
 2 2
Osserviamo che
  
x   ,   sin x   1,1
 2 2
x  0,    cos x   1,1
  
x   ,   tan x  R
 2 2
Inoltre: arcsin x e arctan x sono strettamente crescenti, mentre arccos x è strettamente
decrescente, perché tali sono le funzioni da cui provengono. (cfr. grafici a pag. 30)
Osservazione
(v. pag. 31)
Sono elencati i valori delle funzioni goniometriche e delle loro inverse per alcuni
angoli notevoli.
E’ utile infine osservare che le funzioni arcoseno e arcotangente sono funzioni
dispari.
12) I LIMITI FONDAMENTALI
(v. pag. 32)
Sono presentati i limiti fondamentali, con alcuni limiti che derivano da essi.
Osservazione
Tutti questi limiti sono utili nelle applicazioni quando si presentano i casi delle forme
indeterminate della somma, del prodotto o del rapporto.
(v. pag. 33 e 34)
Esercizi sui limiti fondamentali
13) LA POTENZA A BASE ED ESPONENTE VARIABILI.
FORME INDETERMINATE DELLA POTENZA
16
Vogliamo ora mostrare come si calcola il limite della funzione  f ( x) g ( x ) , detta
potenza a base ed esponente variabili, in un punto x 0 di accumulazione per il suo
insieme di definizione. Essendo
 f ( x)g ( x)  e log f ( x) 
g ( x)
 e g ( x)log f ( x)
Risulta (tenendo conto della continuità della funzione esponenziale)
lim  f ( x)
x  x0
g ( x)
 lim e log f ( x ) 
x  x0
g ( x)
lim g ( x )log f ( x )
 e x  x0
Congruentemente il calcolo del limite in questione è ricondotto al calcolo del limite
del prodotto
lim g ( x)  log f ( x)
x x0
Evidentemente la situazione si complica quando per x  x0 il prodotto g ( x)  log f ( x) si
presenta nella forma indeterminata 0   .
Definizione 1
Si dice che la potenza a base ed esponente variabili  f ( x) g ( x ) si presenta in forma
indeterminata quando il prodotto g ( x)  log f ( x) si presenta nella forma
indeterminata 0   .
E’ facile comprendere che il prodotto g ( x)  log f ( x) si presenta in forma indeterminata
quando f ( x)  0 e g ( x)  0 in x 0 , oppure quando f ( x)  1 e g (x)   , oppure
infine quando f (x)   e g ( x)  0 in x 0 .
In tali casi per x  x0 ,  f ( x) g ( x ) dà luogo ai simboli
00
1
 0
Definizione 2
I quattro simboli 0 0 , 1 ,   0 si riassumono in tre simboli
00
1
0
Che si chiamano le forme indeterminate della potenza.
17