voltamperometrico_Studio a Casa

Corso di Preparazione di Esperienze Didattiche, a.a. 2009-10
Misura di una resistenza elettrica con il metodo volt-amperometrico
– Studio a casa
Misura della resistenza con voltmetro a “monte” dell’amperometro.
I
R
f
Imis
Iv
Vmis
A
V
Rx
Per il circuito in figura vale: Vmis  I mis (rA  Rx )  I mis Requiv , dove Requiv è la resistenza equivalente
della serie costituita da Rx ed rA (resistenza interna dell’amperometro). Requiv è maggiore di Rx, da
V
cui ne consegue che il rapporto mis è una sovrastima del valore incognito Rx . Tale sovrastima è
I mis
dovuta al fatto che la corrente misurata è effettivamente quella che passa nell’amperometro mentre
la tensione misurata è quella ai capi della serie amperometro + resistenza incognita.
Dal fit lineare si ottiene:
Vmis  A  B I mis
Poiché A rappresenta la tensione misurata dal voltmetro quando la corrente nel resistore incognito è
nulla, questo parametro del fit dovrebbe essere compatibile con zero. B invece è legato al valore
della resistenza incognita dalla relazione Rx  B  rA . Inoltre è  Rx   B avendo supposto
trascurabile l’errore su rA.
Se invece si effettua un fit del tipo:
I mis  p  mVmis
p rappresenta la corrente nel resistore quando la tensione ai suoi capi è nulla (e dovrebbe essere
1
compatibile con 0) mentre m è legato al valore della resistenza incognita dalla relazione m 
Rx  ra
1
m
da cui segue: Rx   ra e  Rx  2 . I valori ottenuti nei due casi dovrebbero risultare uguali.
m
m
Gruppo Didattica DF/ICT (Lombardi S., Monroy G., Sassi E., Testa I.)
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Misura della resistenza con voltmetro a “valle” dell’amperometro.
Imis
A
R
Iv
f
Vmis
IX
V
Rx
I mis rV
 Rx  I mis Requiv , dove Requiv è la resistenza equivalente del
Rx  rV
parallelo tra Rx e rV (resistenza interna del voltmetro), minore di Rx. Ne consegue che il rapporto
Vmis
è una sottostima del valore incognito Rx dovuta al fatto che adesso la tensione misurata è
I mis
effettivamente quella ai capi della resistenza incognita, ma la corrente misurata è la somma di quella
che attraversa l’amperometro e quella che attraversa il voltmetro.
In questo caso vale: Vmis  I x  Rx 
Dal fit lineare si ottiene in questo caso
Vmis  C  D I mis
Il parametro C è la d.d.p. misurata dal voltmetro quando l’amperometro non misura corrente,
pertanto dovrebbe essere compatibile con 0. Il parametro D invece è legato al valore della resistenza
2
 r 
D  rV
incognita dalla relazione RX 
con  Rx   V   D
rV  D
 rV  D 
avendo supposto trascurabile l’errore su rV. Se invece si effettua un fit del tipo I mis  q  sVmis , q
dovrebbe essere compatibile con 0 mentre s è dato da
 Rx  rV 
Rx rV
e dunque Rx 
rv
con
srv  1
2
 r 
 Rx   v   s . I valori ottenuti nei due casi dovrebbero risultare uguali.
 srv  1 
N.B. Nella configurazione voltmetro a monte, se il termine noto del fit Vmis  A  B I mis non è
compatibile con zero, è possibile che: alcuni punti siano non allineati (questo è il caso per esempio
di non perfetti collegamenti); uno dei due strumenti non sia stato azzerato. Al primo tipo di errore si
può ovviare mediante misure ripetute in corrispondenza dei punti non allineati; il secondo tipo di
errore si aggira modellizzando l’amperometro, in accordo con il teorema di Thevenin, con un
generatore che eroga una f.e.m. Va in serie alla resistenza ra . In tal caso, si ha
Vmis  Va  I mis (rA  Rx )  Va  I mis Requiv da cui segue che usando il fit Vmis  A  B I mis , A = Va . Lo
stesso tipo di considerazioni possono essere condotte nel caso della configurazione voltmetro a
valle. In questo caso, per il teorema di Norton, il voltmetro può essere modellizzato da un
generatore di corrente costante I g in parallelo ad una resistenza rv . In questo caso
Vmis  I x  Rx  I g  rv 
I mis rV
 Rx  I g  rv  I mis Requiv
Rx  rV
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Confronto dei valori ottenuti e media pesata.
Le diverse pendenze delle rette ottenute nelle due configurazione corrispondono rispettivamente ad
una sovrastima e una sottostima di Rx. Il valore “vero” della resistenza Rx corrisponderebbe alla
pendenza di una retta, detta caratteristica volt-amperometrica del resistore. Tale pendenza
dovrebbe essere intermedia fra le due misurate. Per ricavare tale valore intermedio, si confrontino i
due valori, Rx1 e Rx2 ottenuti nelle due configurazioni. Se tali valori sono compatibili entro gli errori,
si può calcolare la media pesata dei due valori per una migliore stima di Rx:
w R  w2 Rx 2
Rx  1 x1
w1  w2
 Rx 
1
w1  w2
w1 
1
w2 
 Rx1 
2
1
 Rx 2 
2
Nel caso particolare, utilizzando i fit Vmis  A  B I mis e Vmis  C  D I mis si ha:
w1 Rx1 
w2 Rx 2 
1
 Rx1 
1
 Rx 2 
w1  w2 
 B 
 B 

2
1
 B 
 Rx 
2
1
B
Rx
Rx1 
2
2


2
 B  rA   B  rA 
B
r 0

2
2
2
2
 B   B   B 
 B 
A
D  rV
rV  D
Rx 2 

D
1
  r 2

 D   rV 
 V   D


  rV  D 

 rV  D 


1
1
1



2
2
2
2
 r 

 B   D 
V

 D
  rV  D 



D
 D 
2
 D 
1

w1  w2
B  D   D  B 
2

1
2
 D    B 
2
2
1
1
 B 
2


1
 D 
2
2
3
rv 


D
 D 
2
2
 B D 
2
2
 D    B 
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