Programma di Analisi Matematica I
Ing. Edile-Architettura - 2° Canale
Docente: Dott.ssa Lidia Ansini
A.A. 2007-2008
Introduzione.
Simboli di logica matematica. Richiami di teoria degli insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali,
interi, razionali, reali. Assioma di completezza. Intervalli. Il valore assoluto. Disuguaglianze
triangolare, di Cauchy-Schwarz. Maggiorante e minorante di un insieme. Massimo e minimo.
Estremo superiore ed inferiore. Simbolo di sommatoria: somma della progressione geometrica.
Fattoriale. Principio di induzione.
1. Funzioni
Funzione: definizione, dominio, condominio, immagine, grafico; funzione iniettiva, suriettiva,
biiettiva, invertibile; funzione inversa. Proprietà delle funzioni (limitatezza, simmetrie, monotonia,
periodicità). Funzioni elementari di una variabile reale e loro grafici: funzioni lineari, potenze con
esponente intero, radici; potenze con esponente razionale e reale; esponenziali e logaritmi; funzioni
trigonometriche, funzioni trigonometriche inverse (arcocoseno, arcoseno, arcotangente, arcocotangente);
funzione segno, parte intera, valore assoluto. Funzioni composte.
2. Numeri complessi
Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi; potenze, radici, polinomi,
esponenziali; equazioni in campo complesso. Cenno al teorema fondamentale dell’algebra.
3. Successioni e serie numeriche
Il concetto di limite di successione e le sue proprietà: unicità del limite , Teoremi di confronto
(Teorema della permanenza del segno e corollari, Teorema dei carabinieri e applicazioni).
Successioni monotone: Teorema di regolarità sulle successioni monotone. Il numero e. La
definizione di asintotico. Alcuni limiti notevoli. Criterio del rapporto per le successioni e
applicazioni (ordine di infinito). Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni
ricorsive. Serie numeriche: definizione e proprietà elementari. Serie convergenti, divergenti,
irregolari. Serie geometrica e di Mengoli: convergenza e somma. Serie armonica: comportamento.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negativi. Criterio del
confronto, del confronto asintotico, della radice, del rapporto. Serie armonica generalizzata:
comportamento. Convergenza assoluta , criterio di Leibniz.
4. Funzioni: limiti e continuità
Il concetto di limite di funzione. Teorema “Ponte”. Proprietà del limite (unicità, permanenza del
segno, confronto, operazioni). Limite di funzione composta. Primi limiti notevoli. Funzioni
infinitesime/infinite. I simboli ~ , o piccolo e O grande. Ordini di infinitesimo/infinito. Gerarchie di
infinitesimi/infiniti. Ulteriori limiti notevoli. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Continuità.
Proprieta' elementari delle funzioni continue (operazione, composizione). Teoremi fondamentali
sulle funzioni continue (degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass). Monotonia, invertibilità,
continuità delle funzioni inverse. Classificazione dei punti di discontinuita'.
Continuità
lipschitziana, continuità uniforme.
5. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Punti di non derivabilità e loro classificazione.
Continuità delle funzioni derivabili. Operazioni elementari. Derivata di una funzione composta o
regola della catena. Derivata della funzione inversa. Funzioni iperboliche e loro derivate. Tabella
delle derivate fondamentali. Punti critici. Estremi locali. Teorema di Fermat. Ricerca di massimi e
minimi. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Derivata e Criterio di monotonia. Teorema di de l’Hopital.
Polinomio di Taylor e di Mac Laurin. Teorema di Peano. Polinomio di Taylor di funzioni
elementari. Applicazioni del Teorema di Peano: criterio per i punti di massimo o di minimo, uso
della formula di Taylor nel calcolo di limiti di forme indeterminate. Formula di Taylor con il resto
di Lagrange. Stima del resto. Serie di Taylor. Funzioni analitiche.
6. Calcolo integrale per le funzioni di una variabile reale
Integrale secondo Riemann esteso ad un intervallo. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann.
Proprietà dell'integrale. Teorema della media integrale. Funzioni integrali. Teoremi fondamentali
del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Integrazioni di funzioni elementari. Integrazione di funzioni razionali. Metodi di integrazione per
funzioni irrazionali, trigonometriche, composte. Integrabilità in senso improprio: integrazione di
funzioni non limitate e integrazione su intervalli illimitati (definizioni, esempi importanti); criteri di
integrabilità ( confronto e confronto asintotico); assoluta integrabilità in senso improprio.
Testi consigliati:
M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli – Analisi Matematica. McGraw- Hill, 2007.
P. Marcellini, C. Sbordone - Elementi di analisi matematica 1. Versione semplificata per i nuovi
corsi di laurea. Liguori Ed., 2002
M. Amar, A.M. Bersani – Esercizi di Analisi Matematica. Progetto Leonardo (Esculapio Ed.),
2004.
