COPERTINA
Titolo: Esplorazione di figure piane: dalle congetture alla dimostrazione
Tematica affrontata: Triangoli, Geometria
Ordine di scuola: secondo ciclo - I biennio
Obiettivi dell'attività:
Realizzare costruzioni geometriche elementari utilizzando anche strumenti
informatici
Comprendere dimostrazioni e sviluppare semplici catene deduttive
Analizzare e risolvere problemi del piano e dello spazio utilizzando le proprietà
delle figure geometriche oppure le proprietà di opportune isometrie
Tempo medio per svolgere l'attività in classe: 3/4 ore
INTRODUZIONE
Questa attività, che può essere introdotta nella parte iniziale del primo anno del
percorso della scuola secondaria, si sviluppa all’interno del contesto della geometria
euclidea piana e richiede che gli studenti possiedano già la nozione di bisettrice di un
angolo ed il concetto di perpendicolarità tra rette. Tale attività viene realizzata con
l’ausilio di un software di geometria dinamica, ad esempio Cabri, del quale gli studenti
devono conoscere le funzioni fondamentali, ed ha come obiettivo la scoperta della
relazione tra bisettrice ed altezza di un triangolo, nel caso in cui il triangolo sia
isoscele. La suddetta relazione può essere espressa mediante l’enunciato del seguente
teorema: “Se la bisettrice di un angolo di un triangolo è perpendicolare al lato
opposto, allora il triangolo è isoscele; se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice
dell’angolo al vertice è perpendicolare al lato opposto”.
DESCRIZIONE DELL’ATTIVITA’
1a fase
Si propone il seguente problema (gli studenti hanno a disposizione un software di
geometria dinamica):
“Dato un triangolo qualsiasi, tracciate la bisettrice di uno dei suoi angoli. Può accadere
che, modificando opportunamente il triangolo, tale bisettrice risulti perpendicolare
rispetto al lato opposto all’angolo considerato ? Esponete per scritto le vostre
osservazioni.”
..\esplorfigpiane_appletjava\appletfig_1\fig_1.htm
(Collegamento a appletfig_1 in esplorfigpiane_appletjava)
Figura 1
(Al posto della Figura 1 inserire appletfig_1 in esplorfigpiane_appletjava)
In questa fase gli studenti lavorano al computer con un *menu ridotto* [menu ridotto
in INDICAZIONI METODOLOGICHE] utilizzando la modalità di *trascinamento*
[Mariotti M. A. (1996) Costruzioni in Geometria in BIBLIOGRAFIA] (o dragging) del
software e prendono nota individualmente di tutto ciò che osservano *su carta*[Qui si
possono visualizzare alcuni esempi di protocolli su carta relativi al problema proposto
in DOCUMENTAZIONE E MATERIALI] o *all’interno del file*[Qui si possono visualizzare
alcuni esempi di costruzioni e protocolli in Cabri relativi al problema proposto in
DOCUMENTAZIONE E MATERIALI] sul quale stanno lavorando.
2a fase
Si effettua una *discussione collettiva* [Bartolini Bussi M.G., Boni M. (1995) Analisi
dell’interazione verbale nella discussione matematica: un approccio vygotskiano in
BIBLIOGRAFIA] in classe sui risultati della precedente attività di esplorazione. Traendo
spunto da quanto emerso durante la discussione, si passa quindi ad una sistemazione
formale delle osservazioni effettuate dagli studenti ed alla formulazione condivisa del
corretto enunciato del teorema che costituisce l’obiettivo dell’intera attività: “se la
bisettrice di un angolo di un triangolo è perpendicolare al lato opposto, allora il
triangolo è isoscele; se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell’angolo al vertice
è perpendicolare al lato opposto”.
3a fase
Si procede alla messa a punto in classe della dimostrazione del precedente teorema
ed alla trascrizione della suddetta dimostrazione sul quaderno di geometria. (E’ bene
osservare che la dimostrazione alla fine accettata ed ufficializzata dalla classe, deve
costituire il frutto di un’attività di discussione guidata dall’insegnante, sulla base dei
contributi apportati dagli studenti.)
4a fase
Facendo riferimento alle osservazioni ed ai risultati delle precedenti fasi, si perviene
ad una definizione formale di *altezza*[La nozione di altezza in APPROFONDIMENTO
DISCIPLINARE (PER IL DOCENTE)] in riferimento alla geometria del triangolo.
INDICAZIONI METODOLOGICHE
Come si è già fatto presente nella precedente descrizione, l’attività prevede una prima
fase di elaborazione personale da parte degli studenti ed una successiva discussione
collettiva in classe delle osservazioni da essi effettuate e delle eventuali proposte di
risoluzione per il problema proposto. D’altra parte, si deve notare che in questo modo
viene ad essere completamente trasformato il rapporto consueto tra insegnanti e
studenti, secondo il quale l'insegnante è responsabile della spiegazione e lo studente è
responsabile dell'applicazione di quanto spiegato: il contratto didattico che si
suggerisce in questa attività, infatti, prevede che studenti ed insegnante siano
corresponsabili dell'apprendimento.
Il percorso didattico che così viene a configurarsi punta sul supporto offerto dal
software di geometria dinamica, il quale è utilizzato al fine di:
introdurre gli studenti al mondo della geometria euclidea ed offrire loro
l’occasione per esplorare un problema “aperto”, come contesto motivante per
l’apprendimento;
permettere di cogliere le proprietà invarianti di un problema tramite le
funzionalità permesse dal software, come il *trascinamento*[Mariotti M. A.
(1996) Costruzioni in Geometria in BIBLIOGRAFIA] (o dragging), la misura e la
verifica di specifiche proprietà geometriche (ad esempio uguaglianza,
parallelismo, perpendicolarità, allineamento);
facilitare l’individuazione di relazioni all’interno di una configurazione
geometrica, mettendo in evidenza i legami funzionali (descrizione di quali
oggetti variano in dipendenza di quali altri oggetti) e variazionali (descrizione di
come tali oggetti variano);
sviluppare la capacità di formulare congetture e di elaborare per queste ultime
una dimostrazione fondata su presupposti teorici coerenti;
fornire agli studenti gli strumenti di conoscenza per verificare una congettura in
casi particolari, essendo ben consapevoli della distinzione tra verifica e
dimostrazione, per confutare le congetture prodotte mediante il ricorso a
controesempi e per confrontare le proprie congetture con quelle prodotte da
altri;
aiutare a superare la frattura cognitiva tra le forme spontanee
dell’argomentazione e le modalità specifiche di una dimostrazione matematica.
Tecnicamente questi obiettivi si possono ottenere proprio inibendo alcune delle
funzioni del software e costruendo in tal modo un *menu ridotto* [In Cabri Géomètre
si può usare l’istruzione “Configurazione degli strumenti” all’interno del menù
“Opzioni” per togliere (o aggiungere) altrettanti strumenti geometrici al software. Per
esempio, nell’attività proposta si può togliere lo strumento “Retta perpendicolare”
dalla casella degli strumenti denominata “Costruzioni”].
Qui di seguito si possono visualizzare due esempi di file contenenti ciascuno un menu
ridotto, *menuridotto1* [menuridotto1.men in esplorfigpiane_cartelle/file_cabri/
menuridotti] e *menuridotto2* [menuridotto2.men in esplorfigpiane_cartelle/
file_cabri/menuridotti].
L’attività proposta si colloca all’interno di un percorso che ha come obiettivo primario
l’*introduzione alla dimostrazione*[Mariotti M. A. (1998) Introduzione alla
dimostrazione all’inizio della scuola secondaria superiore in BIBLIOGRAFIA]. Una
descrizione ampia e ragionata della parte iniziale di tale percorso, a cura di Daniela
Venturi, può essere rintracciata al seguente indirizzo Internet:
http://www5.indire.it:8080/set/set_modelli/index.html . (Per accedere al materiale
disponibile, nella pagina web qui sopra indicata si deve cliccare su “Unità di lavoro”,
procedere quindi per ordine alfabetico e selezionare le attività P e Q).
Inoltre, presso l’indirizzo Internet
http://www.progettotrio.it/eduscienze/html/esperienza.asp?id_esp=58 è disponibile,
sempre a cura di Daniela Venturi, il materiale del percorso relativo alle attività sui
quadrilateri.
L’intero percorso didattico è comunque raccolto e presentato nel CD *“Quaderno
interattivo di geometria”*[Mariotti M. A., Paola D., Robutti O., Venturi D. (2004)
Quaderno interattivo di Geometria in BIBLIOGRAFIA], a cura di Maria Alessandra
Mariotti, Domingo Paola, Ornella Robutti e Daniela Venturi.
E’ esperienza comune a moltissimi insegnanti che, di fronte ai primi teoremi della
geometria euclidea ed alla richiesta di fornirne una dimostrazione, gli studenti
incontrino difficoltà nel passare dalle conoscenze intuitive ad una prospettiva teorica.
Da qui traggono origine le seguenti scelte didattiche, cui l’attività di esplorazione
proposta si ispira:
le costruzioni geometriche vengono individuate come contesto tematico nel
quale organizzare le attività didattiche nell’ambito della geometria;
il software di geometria dinamica diviene l’ambiente di mediazione per giungere
alla costruzione del significato (condiviso ed interiorizzato dagli studenti) dei
teoremi della geometria euclidea;
la *discussione collettiva in classe*[Bartolini Bussi M.G., Boni M. (1995) Analisi
dell’interazione verbale nella discussione matematica: un approccio vygotskiano
in BIBLIOGRAFIA] diviene il contesto in cui far evolvere i processi argomentativi
degli studenti verso la dimensione della dimostrazione matematica;
la verbalizzazione per scritto delle attività svolte rappresenta un espediente
didattico per spingere gli studenti ad organizzare logicamente e a controllare i
propri pensieri, nonché per abituarli a descrivere e commentare la soluzione dei
problemi affrontati in modo da saperla comunicare ai compagni e all’insegnante,
ed offre altresì una traccia concreta affinché l’insegnante stesso possa seguirli
nel loro processo di sviluppo delle capacità logico-deduttive;
il “quaderno di geometria”, nel quale gli studenti riportano individualmente le
definizioni, gli assiomi e le giustificazioni teoriche delle costruzioni (ovvero i
teoremi) concordati in classe durante le fasi di discussione collettiva, diviene
uno strumento didattico insostituibile e fondamentale per registrare l’evoluzione
delle conoscenze di geometria acquisite nel tempo secondo una prospettiva
teorica e per inquadrarle nell’ambito di un sistema teorico condiviso. Esso può
essere realizzato in *versione cartacea* [Qui si può visualizzare un esempio
delle pagine relative al teorema del triangolo isoscele in un quaderno di
geometria su carta in DOCUMENTAZIONE E MATERIALI] o in *versione
digitale*[Qui si possono visualizzare due esempi delle pagine relative al
teorema del triangolo isoscele in un quaderno digitale, realizzato con il software
Power Point oppure con Word in DOCUMENTAZIONE E MATERIALI].
APPROFONDIMENTO DISCIPLINARE (PER IL DOCENTE)
Il triangolo isoscele è una figura fin troppo nota, della quale gli studenti conoscono
bene le proprietà più significative. Questo fatto può in realtà rivelarsi un ostacolo
cognitivo per riconoscere le relazioni corrette tra le diverse proprietà. In genere gli
studenti non distinguono tra proprietà caratterizzanti (stabilite da una definizione) e
proprietà da esse derivate (dimostrabili come conseguenze di una definizione). In
altre parole, una definizione è intesa in termini di descrizione, piuttosto che in termini
di condizione caratterizzante, dalla quale sia possibile dedurre altre proprietà. In
questo specifico caso, secondo l’opinione comune degli studenti, un triangolo isoscele
risulta “definito” mediante tutte le proprietà note che gli si possono attribuire. (E' la
presenza di questa difficoltà ad offrire l'occasione per affrontare anche una
discussione generale sul significato dell'attività di definizione in matematica.)
Il punto fondamentale della discussione collettiva cui si fa cenno nella seconda fase
dell’attività, consiste nel far emergere la formulazione di una congettura basata
sull'esplorazione. E' importante arrivare ad una formalizzazione, accettata da tutti gli
studenti, di una o di entrambe le implicazioni del teorema. Un aspetto significativo da
mettere in luce è, comunque, la distinzione tra le due implicazioni; si tratta di una
buona occasione per suggerire alcune riflessioni sul linguaggio corretto da utilizzare
("se ... allora"… , "... se e solo se ...") e sulla distinzione tra ipotesi e tesi. Lo spunto
può essere infatti offerto dall’analisi degli elaborati prodotti dagli studenti come
resoconto delle loro attività di esplorazione, in modo tale da far emergere le
convinzioni che essi hanno maturato in proposito durante l’esperienza della scuola
media.
La nozione di altezza è nota a tutti gli studenti e molto probabilmente il termine
“altezza” verrà adoperato durante la discussione che segue l'attività proposta; il suo
uso deve essere allora sistemato in modo rigoroso attraverso una definizione: l’altezza
relativa ad un lato di un triangolo diviene così la retta passante per un vertice e
perpendicolare alla retta del lato opposto. Si può notare che in questo modo l'altezza
viene definita come retta e non come segmento. È bene sottolineare questo aspetto
perché l'idea intuitiva di altezza che gli studenti hanno è legata a quella del segmento
(da misurare, sempre e comunque!) che congiunge il vertice di un triangolo con il
piede della perpendicolare condotta al lato opposto. Inoltre la definizione cui si giunge
serve per rimarcare il legame tra il vertice, a partire dal quale si traccia l’altezza, ed il
lato opposto, rispetto alla retta del quale si considera la perpendicolare. Tutto ciò
dovrebbe aiutare gli studenti a superare le difficoltà legate al ben noto stereotipo
dell'altezza come “segmento verticale che sta all’interno di un triangolo”.
ELEMENTI PER PROVE DI VERIFICA
1. Considerare la bisettrice dell’angolo interno BAC di un triangolo ABC. Sia M il punto
in cui tale bisettrice interseca il lato BC del triangolo. Sotto quali condizioni il
triangolo AMB è isoscele? Sotto quali condizioni sono isosceli sia il triangolo AMB,
sia il triangolo AMC ? Giustificare le proprie risposte.
2. E’ dato un triangolo isoscele avente come lati congruenti AC e BC. Dimostrare che
la bisettrice dell’angolo ACB lo divide in due triangoli congruenti.
3. Sono dati due triangoli ABC e A’BC che hanno il lato BC in comune e che sono
situati da parti opposte rispetto a BC. Si sa che il lato BC sta sulla bisettrice degli
angoli ABA’ e ACA’. Dimostrare che i triangoli ABA’ e AA’C sono isosceli. Dimostrare
inoltre che, comunque si prenda un punto M su BC, la retta passante per M e per B
incontra il segmento AA’ nel suo punto medio H.
4. E’ dato un angolo ABC. Considerare la semiretta BX di origine B che biseca l’angolo
ABC ed una retta r che intersechi BX in un punto H e formi con BX quattro angoli
congruenti. Siano M e N le due intersezioni di r con i lati dell’angolo ABC.
Dimostrare che BMN è isoscele.
5. Disegnare l'asse del segmento AB e la bisettrice dell'angolo POQ della Figura 4
utilizzando i seguenti strumenti e metodi:
a) matita, carta riga non graduata e compasso;
b) matita, carta, riga graduata, squadra e goniometro;
c) matita, carta e piegamenti della carta;
d) un software di geometria.
Figura 4
6. Dati una retta r e due punti A e B situati dalla medesima parte di r, determinare il
cammino più breve che si deve compiere sul piano per andare da A a B passando
per un punto della retta r.
(A proposito di questo esercizio, si rimanda all’attività *Problemi di minimo nel
piano* [Problemi di minimo nel piano]).
7. Tracciare la traiettoria che si deve far compiere ad una palla da biliardo perché
possa passare da una posizione A ad una posizione B, toccando nell'ordine le
sponde r e s (Figura 5).
Figura 5
(A proposito di questo esercizio, si rimanda all’attività *Problemi di minimo nel
piano* [Problemi di minimo nel piano]).
SPUNTI PER ALTRE ATTIVITÀ CON GLI STUDENTI
1. Un'attività che può essere iniziata a questo punto, e che può essere ripresa anche
successivamente, è quella del confronto fra testi. Questa attività consiste nel chiedere
agli studenti di confrontare formulazioni differenti relative ad uno stesso enunciato che
descrive una certa proprietà geometrica, allo scopo di stabilire se tali formulazioni
abbiano lo stesso significato o meno.
2. Come approfondimento si può discutere in classe sul seguente problema (con
“carta e matita” oppure con l’uso di un software di geometria).
In un triangolo ABC si tracciano le bisettrici degli angoli A e B (Figura 2). Sia O il loro
punto di incontro. E’ possibile, modificando opportunamente i lati del triangolo ABC,
fare in modo che le due bisettrici siano tra loro perpendicolari? Esporre per scritto le
proprie osservazioni.
..\esplorfigpiane_appletjava\appletfig_2\fig_2.htm
(Collegamento a appletfig_2 in esplorfigpiane_appletjava)
Figura 2
(Al posto della Figura 2 inserire appletfig_2 in esplorfigpiane_appletjava)
3. Si propone, con l’uso di un software di geometria, la seguente attività di
“esplorazione”.
In un triangolo rettangolo ABC, tracciare le bisettrici degli angoli acuti B e C. Sia P il
loro punto di incontro. Descrivere le posizioni di P, al variare dei vertici B e C su due
rette perpendicolari in A. Esporre per scritto le proprie osservazioni. (In Figura 3 sono
riportate alcune delle posizioni che il punto P può assumere).
..\esplorfigpiane_appletjava\appletfig_3\fig_3.htm
(Collegamento a appletfig_3 in esplorfigpiane_appletjava)
Figura 3
(Al posto della Figura 3 inserire appletfig_3 in esplorfigpiane_appletjava)
4. Numerose proposte didattiche sono presenti in: *Attività con software geometrico*
(http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm), all’interno del volume
“Matematica 2003”, pagg. 382 - 386, consultabile all’indirizzo Internet
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm .
DOCUMENTAZIONE E MATERIALI
Qui di seguito si possono visualizzare alcuni esempi di protocolli su carta relativi al
problema proposto:
*protocollo 1*[prot1.doc in esplorfigpiane_cartelle/file_word], *protocollo 2*
[prot2.doc in esplorfigpiane_cartelle/file_word], *protocollo 3* [prot3.doc in
esplorfigpiane_cartelle/file_word].
Qui di seguito si possono visualizzare alcuni esempi di costruzioni e protocolli in Cabri
relativi al problema proposto:
*costruzione Cabri 1* [filecabri1.fig in esplorfigpiane_cartelle/file_cabri], *costruzione
Cabri 2* [filecabri2.fig in esplorfigpiane_cartelle/file_cabri], *costruzione Cabri 3*
[filecabri3.fig in esplorfigpiane_cartelle/file_cabri], *costruzione Cabri 4* [filecabri4.fig
in esplorfigpiane_cartelle/file_cabri].
Qui di seguito si può visualizzare un esempio delle pagine relative al teorema del
triangolo isoscele in un quaderno di geometria su carta: *protocollo 4*[prot4.doc in
esplorfigpiane_cartelle/file_word].
Qui di seguito si possono visualizzare due esempi delle pagine relative al teorema del
triangolo isoscele in un quaderno digitale, realizzato con il software Power Point
oppure con Word: *quaderno Power Point* [fileppt1.ppt in
esplorfigpiane_cartelle/file_powerpoint], *quaderno Word* [fileword1.doc in
esplorfigpiane_cartelle/file_word].
BIBLIOGRAFIA
AAVV, Matematica 2001. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola primaria e scuola secondaria di
I grado), presso http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm .
AAVV, Matematica 2003. Materiali per un nuovo curricolo di matematica con
suggerimenti per attività e prove di verifica (scuola secondaria di II grado), presso
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.htm .
AAVV (2004) PISA 2003 - Valutazione dei quindicenni (a cura dell’OCSE), Armando
Armando, Roma.
Bartolini Bussi M.G., Boni M. (1995) Analisi dell’interazione verbale nella discussione
matematica: un approccio vygotskiano, su L’insegnamento della Matematica e delle
Scienze Integrate, 18A, n.3, pagg. 221 – 256.
Mariotti M. A. (1996) Costruzioni in Geometria, su L’insegnamento della Matematica e
delle Scienze Integrate, 19B, n.3, pagg. 261 – 288.
Mariotti M. A. (1998) Introduzione alla dimostrazione all’inizio della scuola secondaria
superiore, su L’insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 21B, n.3,
pagg. 209 – 252.
Mariotti M. A. (1999) Intuizione e dimostrazione, in D’Amore B. (ed.) Matematica e
didattica: come privilegiare l’apprendimento, Pitagora, Bologna, pagg. 39 – 47.
Mariotti M. A., Paola D., Robutti O., Venturi D. (2004) Quaderno interattivo di
Geometria, Media Direct distrib., Bassano del Grappa (VI).
SITOGRAFIA
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Didattica/didattica.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/
http://www5.indire.it:8080/set/set_modelli/index.html
http://www.progettotrio.it/eduscienze/html/esperienza.asp?id_esp=58
PROPOSTE DI ATTIVITÀ PER IL CORSISTA
Leggere attentamente l’attività, le indicazioni metodologiche e gli
approfondimenti; individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa
riferimento ed esporli sinteticamente per scritto; aggiungere qualche problema
in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta: fare una ricognizione del contesto scolastico
specifico in cui si svolgerà l'attività; esplicitare gli adattamenti necessari;
formulare il progetto didattico relativo; preparare una prova di verifica adatta a
valutare le conoscenze ed abilità relative alla situazione didattica posta (anche
con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuta in classe: l’insegnante dovrà elaborare un diario nel
quale descriverà l’esperimento svolto, soffermandosi sul modo in cui gli
studenti hanno reagito alla proposta didattica, sulle difficoltà che questi ultimi
hanno incontrato, in particolare nel processo di costruzione del significato
dell’attività e nell’elaborazione della procedura di risoluzione, e sul modo in cui
sono state superate tali difficoltà).
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi
sono stati responsabilizzati all'apprendimento.
