seconda prova scritta di esonero (23-1-2003)

Facoltà di Scienze Politiche
Università “La Sapienza” di Roma
CORSO DI STATISTICA
Cattedra (P – Z) – Prof. Giuseppe Arbia
II prova intermedia (23 gennaio 2003)
Riconsegnare questo foglio compilato insieme al vostro elaborato:
Nome
Cognome
N. matricola
N.Documento
Quesito n. 1
Si lancia una moneta non truccata per 4 volte.
a)
Si determini lo spazio degli eventi
b)
Qual è la probabilità di ottenere 3 teste e una croce?
c)
Qual è la probabilità di ottenere 4 croci ?
Quesito n. 2
Sia data la seguente distribuzione di probabilità variabile casuale doppia (X,Y)
X
1
4
5
a)
b)
c)
d)
e)
Y
2
B
0,2
0,2
4
0,1
0,2
2b
Si ricavi b
Si trovino le funzioni di probabilità marginali di X ed Y
Si calcolino le speranze matematiche e le varianze di X ed Y
X ed Y sono indipendenti?
Esiste un valore di b per il quale tra X ed Y esista indipendenza?
Quesito n.3
Dire, senza utilizzare le tavole, se le seguenti affermazioni sono plausibili:
a) P(Z>0,5) = 0,44 e P(Z>0,33) = 0,18
b) P(Z > 2,5) = 0,33 e P(Z <-2,5) = 0,34
c) P(Z<-1,3) = 0,5
(con Z la normale standardizzata).
Sia ora X una variabile casuale distribuita secondo la legge di Gauss con speranza matematica 1 e
varianza 25. Si trovi
d) P(X>1,06)
e) P (1<X<2,4)
Quesito n. 4 Sia X 1 X 2 X 3  un campione casuale semplice di tre elementi estratti da una popolazione
normale con valore atteso E(X) =  e varianza VAR(X) = 1. Dire se i seguenti stimatori di  sono corretti:
a)
c)
̂1 
̂ 3 
3 X 1  2
3
3
4X1  4 X 2  2 X 3 
4
b)
̂ 2 
 X1  2 X 2  X 3 
4
Quesito n. 5 (OPZIONALE)
RISPOSTE AI QUESITI
QUESITO
1
a) spazio degli eventi
b)
c)
a)
b)
2
X
Probabilità di ottenere 3 teste e una croce =
Probabilità di ottenere 4 croci =
b=
(riportare le marginali)
Marginale
della X
Y
1
4
5
Marginale
della Y
2
4
c) E(X) =
E(Y) =
VAR(X) =
d) X ed Y sono indipendenti? (barrare)
SI
(argomentare)
VAR(Y) =
NO
e) Esiste un valore di b per il quale tra X ed Y esista indipendenza?
3
a) Argomentare
b) Argomentare
c) Argomentare
d) P(X>1,06) =
e) P (1<X<2,4) =
a) (barrare la risposta esatta)
b) (barrare la risposta esatta)
c) (barrare la risposta esatta)
4
CORRETTO
CORRETTO
CORRETTO
DISTORTO
DISTORTO
DISTORTO
5 (OPZ)
Tempo a disposizione 1.30 minuti. Documentazione libera. Arrotondare i numeri alla
terza cifra decimale. Buon lavoro!!!!!
Soluzioni
X
da zero a 4
da 4 a 6
da 6 a 10
da 10 a 15
da 15 a 20
frequenza ampiezza densità
102
4
25,5
60
2
30
19
6 3,16666667
15
5
3
4
5
0,8
200
Moda =
5