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Prof. Barbara Buono
LIMITI DI UNA FUNZIONE
SIGNIFICATO:
Calcolare il limite di una funzione
mano a mano che la variabile
x
y  f (x) significa studiare il comportamento di essa
assume determinati valori
Si possono presentare vari casi:
L
LIIM
MIIT
TII P
PE
ER
R xx C
CH
HE
ET
TE
EN
ND
DE
EA
AU
UN
NN
NU
UM
ME
ER
RO
OF
FIIN
NIIT
TO
O nn
1.
f ( x)  l
lim
x n
xn
numero finito
risultato = l numero finito
Presi x1 e x2 in un INTORNO di n ,
mano a mano che il loro valore si avvicina ad
n
y1  f ( x1 ) e y2  f ( x2 )
si avvicinano sempre più al valore l
i valori di
quindi devo verificare se risulta
f ( x)  l  
quando
x  I (n) cioè
dove

è un numero infinitamente piccolo
x   x  x 
dove  è un numero molto piccolo
In questo ESEMPIO
lim f ( x)  2
x 1
Prof. Barbara Buono
2.

lim f ( x)  
x n
xn
numero finito
risultato =

numero illimitato
Presi x1 e x2 in un INTORNO di n ,
mano a mano che il loro valore si avvicina ad
n
i valori di y1  f ( x1 ) e y2  f ( x2 )
tendono a diventare sempre più grandi
(in valore assoluto)
quindi devo verificare se risulta
f ( x)  M
quando
x  I (n) cioè

dove M è un numero infinitamente grande
x   x  x 
dove  è un numero molto piccolo
vedi come
quando x1  n il valore di y1  f ( x1 )  
cioè diventa sempre più grande
quando x2  n il valore di y 2  f ( x2 )  
cioè diventa sempre più piccolo
( perché negativo)
Prof. Barbara Buono
C
CA
AL
LC
CO
OL
LO
OD
DE
EII L
LIIM
MIIT
TII ppeerr
Per calcolare
x
n
lim f ( x) si deve provare a sostituire il valore n al posto della x nel
x n
testo della funzione
.
ESEMPI :

lim
x x 4 4 6

 2
x 2  13 16  13 3
lim
2x  1
2 1
1
1



ln x  3 ln 1  3 0  3
3
x 4

x 1
x2  x  5 4  2  5 1
 lim
 2

x2
2x  1
2 1
3
ATTENZIONE!!!!!
0
0
n

0
0
0
n
0n 0
ln 0  
e0  1
qualsiasi numero
elevato a 0
dà sempre 1
RICORDA IL GRAFICO
di y  ln x
ESEMPI :
x 2  3x  1
4  6 1 9
 lim 3

 
2
x2 x  4 x  4 x
8  16  8 0
lim x(e  1)  0  (1  1)  0  2  0
x
x 0
NON DA’ NESSUN RISULTATO
000
ln1  0

FORMA
INDETERMINATA
Prof. Barbara Buono

lim  

x 2
1
x
x2  1 22 1 0 1
  
 
2x 1 2 4 1 2 5 2
0
e  1
 e  1
 1  1
0
  e ln 0   1  ln
  ln 0  
x
 1 
 e 
 e 

lim e  ln

x
x 0
x
0
FORMA INDETERMINATA
0
0
ESEMPI :
x 2  3 x  10 4  6  10 0
11.. lim 3

 forma indeterminata
2
x2 x  4 x  4 x
8  16  8 0
PER ELIMINARLA
è necessario
 Scomporre in fattori i polinomi a numeratore
e denominatore
 Semplificare la frazione
 Calcolare il limite sostituendo il numero al
posto della x
quindi
x  5x  2 
x 2  3x  10

lim
lim
3
2
2
x2 x  4 x  4 x
x  2 x x  4 x  4 
x  5x  2 
 x  5  2  5  7  
xlim
lim
2
2
x  2 x x  2 
x x  2 
20 0
Calcolo il limite sostituendo
il numero al posto della x
x 2 1 0
22.. lim

x 1
x 1 0
forma indet.
quindi
x  1 x  1   x  1  2
x 2 1
 lim
lim
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
lnx 3  1 0
33.. lim

x 0 2 x 
x 0
ATTENZIONE!
Questa frazione NON SI PUO’ SEMPLIFICARE
quindi in questo caso LA FORMA INDETERMINATA NON SI PUO’ ELIMINARE
( se non con altri metodi)
Prof. Barbara Buono
L
LIIM
MIIT
TII P
PE
ER
R xx C
CH
HE
ET
TE
EN
ND
DE
EA
A IIN
NF
FIIN
NIIT
TO
O
1.
f ( x)  l
lim
x 
x
numero infinito
risultato = l numero finito
Preso un numero N infinitamente grande,
mano a mano che il valore di x1 si avvicina N
il valore di
y1  f ( x1 )
tende ad avvicinarsi sempre più ad
l
quindi
se
xN
allora
f ( x)  l  
dove  è un numero
infinitamente piccolo
In questo ESEMPIO
lim f ( x)  2
x 
Prof. Barbara Buono
2.
lim f ( x)  
x
numero infinito
risultato =
numero infinito
x 
Preso un numero N infinitamente grande,
mano a mano che il valore di x1 si avvicina N
il valore di y1  f ( x1 )
tende a diventare sempre più grande
(in valore assoluto)
quindi
se
xN
allora
f ( x)  M
dove M è un numero
infinitamente grande
Prof. Barbara Buono
C
CA
AL
LC
CO
OL
LO
OD
DE
EII L
LIIM
MIIT
TII ppeerr
Per calcolare
lim f ( x) si deve provare a sostituire il valore  (cioè un numero
x
infinitamente grande) al posto della


n
n
0

n
 
 n  
    
     
ln()  
ln() è impossibile
e   
della funzione


0
 
perché esiste solo se x>0
GRAFICO
di y  ln x
e  0
GRAFICO
di y  e x
ESEMPI :

ex
e 
0

 0
lim
x   ln x
ln( ) 

lim x  x  3       
2
x  
lim ln2e  1  ln2e  1  ln( )  
x
x nel testo
.
FORME
INDETERMINATE
ATTENZIONE!!!!!


x

x  






saranno analizzate
in seguito
Prof. Barbara Buono
FORMA INDETERMINATA


ESEMPI :
11.. lim x  3x  1  
2
x 
x3  4x 2  4x

forma indeterminata
PER ELIMINARLA
è necessario
 Considerare nei polinomi a numeratore e
denominatore solo i fattori con massimo
esponente (gli altri sono trascurabili quando
x è tanto grande)
 Semplificare la frazione restante
 Calcolare il limite sostituendo  al posto
della x
quindi
x 2  3x  1

lim
3
2
x  x  4 x  4 x
x2
1 1
 lim 3  lim   0
x  x
x  x

2
22.. lim ln  x 2 2 x  1   
x 
 x  4x 

forma indet
quindi
2
x2
 x  2x  1
ln  2
  lim ln 2  ln 1  0
lim
x 
x
 x  4 x  x 
33.. lim
x 
ln x 

x

ATTENZIONE!!
Questa frazione NON SI PUO’ SEMPLIFICARE
quindi in questo caso
LA FORMA INDETERMINATA NON SI PUO’ ELIMINARE
( se non con altri metodi: vedi teorema di De l’Hopital nel capitolo derivate)
44.. lim  x 2  3x  2  x 2  1    
x 
FORMA INDETERMINATA
si elimina in altro modo
(vedi programma della classe IV)