Potenze, funzione esponenziale, equazioni

1. Potenze, funzione esponenziale, equazioni esponenziali
2. Logaritmi, funzione logaritmica, equazioni logaritmiche
1. Potenze, funzione esponenziale, equazioni esponenziali

Potenze e loro proprietà
Definizioni
Esempi
Proprietà
Esempi
a n  a  a  ...a (n volte)
2 5  2  2  2  2  2  32
a n  a m  a nm
2 5  2 3  2 5 3  2 8
a1  a
51  5
a n : a m  a nm
2 24 : 2 22  2 24 22  2 2
a0  1
a  0
1n  1
0n  0
a
n
n  0
1
 
a
5 
2 4
 a r s
a n  b n  a  b 
07  0
a n : b n  a : b 
n
4
r s
126  1
3
 3
 
5
1
 
4
2
n
n
 5 24  58
3 4  2 4  3  2  6 4
4
12 3 : 6 3  12 : 6  2 3
3
3
5
 
3
2
3
4
r
s
5  4 53
a  s ar

a 
70  1
Funzione esponenziale
E’ una funzione del tipo:
y  ax
con
a0
e
a 1
La variabile indipendente, la x, si trova all’esponente. Le caratteristiche di una tale funzione sono le
seguenti:

il dominio è tutto l’insieme dei numeri reali;

il codominio è l’insieme dei numeri reali maggiori di zero;

il grafico della funzione interseca l’asse delle ordinate nel punto (0;1);

l’asse delle ascisse è un asintoto orizzontale per la funzione.
1
se a>1 (ad es. se y  2 )
x
la funzione è crescente in senso stretto
a>1
x
1
se 0<a<1 (ad es. se y    )
2
0<a<1
la funzione è decrescente in senso stretto
Equazioni esponenziali.
Sono equazioni in cui l’incognita compare come esponente.
Equazioni esponenziali elementari
Sono equazioni del tipo:
ax  k
con a  0 , a  1
Ad esempio:
2 x  32
Risolvere una tale equazione significa determinare il valore da sostituire alla x per ottenere una
identità numerica. In questo esempio è evidente che deve essere x = 5 perché 2 5  32 .
Altri esempi:
Equazione
4 x  64
1
10 x 
100
Soluzione
x=3
x = -2
7x  7
5x  1
x=1
x=0
Verifica
4 3  64
2
1
1
10    
100
 10 
1
7 7
50  1
ricordare che elevando ogni
numero diverso da zero a 0 si
ottiene 1.
2
7 x  49
x
8
  0
3
equazioni impossibili!
ricordare che, se la base di una
potenza è positiva, il risultato
della potenza stessa è sempre
maggiore di zero.
2
2. Logaritmi, funzione logaritmica, equazioni logaritmiche
Definizione di logaritmo di un numero
Il logaritmo di un numero b (positivo), in una data base a (positiva e diversa da 1), è l’esponente x
che bisogna dare alla base per ottenere il numero dato:
log a b  x

ax  b
Esempi
Il logaritmo di 8 in base 2 (si scrive: log 2 8 ) è uguale a 3, perché 3 è l’esponente da dare a 2 per
ottenere 8 :
log 2 8  3 infatti: 2 3  8
Analogamente:
log 3 81  4 infatti: 3 4  81
log 2
3
9
2
 2 infatti:  
4
3
2
2
9
3
  
4
2
Quando la base del logaritmo non è specificata questa si assume uguale a 10 (logaritmi decimali)
oppure uguale a “e”( e = 2,7182… , è il numero di Nepero; i logaritmi in tale base si dicono naturali
o neperiani).
Logaritmi e loro proprietà
Esempi
Definizioni
0
log 7 1  0
log a 1  0 ( a  1 )
Proprietà
(1) log a (m  n)  log a m  log a n
Esempi
log 2 (8  3)  log 2 8  log 2 3
log a a  1
( 7 0  1)
log 5 5  1
(2) log a (m : n)  log a m  log a n
log 2 (8 : 3)  log 2 8  log 2 3
( a1  a )
( 51  5 )
(3) log a b m  m log a b
log 2 7 4  4 log 2 7
log a a m  m
log 2 2 4  4
a loga b  b
3log3 5  5
Funzione logaritmica
E’ una funzione del tipo:
y  log a x
con
a0
e
a 1
La variabile indipendente, la x, è l’argomento del logaritmo. Le caratteristiche di una tale funzione
sono le seguenti:
3

il dominio è l’insieme dei numeri reali maggiori di zero, vale a dire: D  x | x  R, x  0.
Pertanto, il grafico della funzione è contenuto solo nel I e IV quadrante;

il codominio è l’insieme di tutti numeri reali;

il grafico della funzione interseca l’asse delle ascisse nel punto (1;0);

l’asse delle ordinate è un asintoto verticale per la funzione.
se a>1 (ad es. se y  log 2 x )
a>1
la funzione è crescente in senso stretto
se 0<a<1 (ad es. se y  log 1 x )
0<a<1
2
la funzione è decrescente in senso stretto
Equazioni logaritmiche.
Sono equazioni in cui l’incognita compare come argomento di uno o più logaritmi. E’ necessario
ricordare che un’equazione logaritmica ha senso solo per i valori dell’incognita che rendono positivi
gli argomenti di tutti i logaritmi che vi figurano.
Ad esempio, se si considera l’equazione:
log( x  3)  log x  1
le condizioni di esistenza sono le seguenti: x + 3 > 0 (cioè x > -3)
e
x
>
0.
Le
soluzioni
dell’equazione sono accettabili solo se soddisfano queste condizioni.
4
Per risolvere un’equazione logaritmica è necessario applicare opportunamente le proprietà dei
logaritmi per ricondurre l’equazione ad una forma del tipo:
log a f ( x)  log a g ( x)
(*)
da questa forma si passa poi a quella in cui si uguagliano gli argomenti: f(x)=g(x).
Ad esempio, si consideri l’equazione di prima ( la base dei logaritmi è 10):
log( x  3)  log x  1
Applicando la proprietà (1) al primo membro si avrà:
log xx  3  1
Il secondo membro può essere sostituito da log 10 , in quanto il logaritmo di 10 ( in base 10) è
proprio uguale ad 1:
log xx  3  log 10
L’equazione è stata ricondotta alla forma (*) , quindi è ora possibile uguagliare gli argomenti:
xx  3  10
Questa è una semplice equazione di secondo grado che ha come soluzioni:
x1 = - 5
e x2 = +2
Considerando le condizioni di esistenza trovate prima, si vede che solo la seconda soluzione è
accettabile, mentre la prima è da scartare in quanto rende negativi gli argomenti dei logaritmi.
5