Università di Napoli Federico II – Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica -- prof. G. Lupò
Materiali e Tecnologie elettriche
Appendice A3
LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE
LE SORGENTI
Laddove le grandezze (scalari e vettoriali) presenti nelle (0.1)-(0.4) siano continue e
derivabili, il campo elettromagnetico può essere descritto in tutti i punti dello spazio
attraverso gli operatori differenziali spaziali e temporali divergenza e rotore
B
(A3.1)
E
t
E
(A3.2)
0
B 0 (A3.3)
E
(A3.4)
B 0 J 0
t
Per integrare queste equazioni nello spazio occorre conoscere le “condizioni al contorno”
(nello spazio, all’infinito o al finito) e le “condizioni iniziali” (nel tempo).
Le equazioni di Maxwell in forma locale ci evidenziano le sorgenti del campo
elettromagnetico, in termini di divergenza (“fontane o pozzi”) o in termine di rotore
(“vortici”).
Le sorgenti possono dipendere direttamente dai campi (“sorgenti interne”, in rosso) o
meno (“sorgenti esterne”, in blu; in realtà, anche le sorgenti “esterne” possono essere
“prodotte” dai campi.
B
E
(A3.1’)
t
(2”) E
(A3.2’)
0
(A3.3’)
B 0
E
(4”) B 0 J 0
(A3.4’)
t
(3”)
Come si nota, le uniche sorgenti esterne previste nelle equazioni locali di Maxwell sono le
densità volumetriche di carica e le densità di corrente. Altri tipi di sorgenti (cariche
puntiformi, lineari o superficiali, ovvero correnti laminari ecc.) determinano singolarità
nelle relazioni differenziali; se ne può tener conto nelle relazioni integrali, che danno
luogo a condizioni di raccordo alla frontiera dei sottodomini all’interno dei quali i campi
sono continui e derivabili (vedi oltre).
1
Nel caso di moto stazionario di cariche in migrazione ( ad es. in un conduttore
filiforme), non vi è variazione media della carica in moto in ogni volume; in ogni punto è
costante la velocità v di migrazione (non considerando il moto di agitazione termica e il
moto vario nell’intervallo tra due interazioni1. Si può quindi ritenere che sia nulla, in
media, la risultante delle forze che agiscono sulla carica q in movimento, nel nostro caso la
forza qE nel senso del moto ed una “forza d’attrito equivalente” –kv diretta in senso
opposto alla prima. In un circuito semplice (ad esempio una regione di spazio di forma
anulare), il campo velocità di migrazione delle cariche ha linee di flusso anulari e tutte
orientate in senso orario o antiorario. Quindi la circuitazione del campo di velocità v e del
campo di corrente J=v non può essere nulla, ossia il campo di corrente stazionaria non
può essere conservativo. Poiché il moto di migrazione è non è vario e il campo
equivalente d'attrito è sempre opposto al senso del moto, il campo di forze sulle cariche ed il
relativo campo elettrico complessivo (che, si ricorda, è la forza applicata alla particella riferita
alla carica della particella) non possono essere conservativi2.
Il sistema di equazioni differenziali di Maxwell si presta a soluzioni analitiche dirette solo
in alcuni casi (ad es. propagazione di onde piane).
Dal punto di vista generale occorrerà considerare che le equazioni di Maxwell sono
differenziali nello spazio e nel tempo e quindi occorrerà conoscere (vedi oltre) le
condizioni al contorno del dominio di indagine (o le condizioni all’infinito, nel caso di
domini illimitati) e le condizioni iniziali.
1
per il rame tale tempo è dell’ordine di 10 -14 s
Poiché il campo elettrico derivante da una distribuzione di cariche elettriche è conservativo, ne discende
che un moto stazionario di cariche non può essere generato da una distribuzione (fissa) di cariche. Occorrerà
quindi considerare una sorgente di campo elettrico non di tipo elettrostatico, chiamato campo elettromotore. Il
campo elettromotore è quindi un campo di forza specifica, di natura meccanica, chimica, elettrica …. ma non
elettrostatica (trattandosi di campo non conservativo), che agisce sulle cariche tenendole separate in un
mezzo conduttore e consentendo per esse un moto stazionario (o anche non stazionario). In un circuito
semplice interessato da corrente stazionaria, ci deve essere almeno una parte (tratto generatore) in cui il
campo elettromotore è diverso da zero; l'eventuale parte complementare, in cui il campo elettromotore è
nullo, prende il nome di tratto utilizzatore. Nel tratto utilizzatore la forza specifica sulle cariche è quella
derivante dalla distribuzione di cariche (causata a sua volta dal campo elettromotore) ed è quindi un campo
a potenziale: nel tratto utilizzatore la tensione elettrica (integrale del campo elettrico) valutata tra due punti
non dipende dalla curva di integrazione ma solo dagli estremi di integrazione (all'interno del tratto
generatore, viceversa, la tensione dipende dalla curva scelta). Se quindi il campo elettromotore è diverso da
zero solo in una parte del circuito semplice, di sezioni estreme A e B, la tensione V AB sarà indipendente dalla
curva scelta solo a patto di non "entrare" nel tratto generatore. Le sezione A e B individuano quindi i confini
tra un "bipolo generatore" - identificabile attraverso una caratteristica V-I valutata all'esterno del tratto
generatore - ed un "bipolo utilizzatore" in cui non vi sono vincoli per la valutazione della tensione.
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