1 - Cenni di Logica Tutta la matematica si basa sulla nozione di proposizione, cioè una frase che può essere Vera o Falsa 1. "La rosa è un fiore" → V 2. "La tigre è un pesce" → F 3. "La mia macchina è bella" → Non è una proposizione, perché il suo valore di verità dipende da chi ascolta. 💡 Connettivo logico → Metodo per unire e modificare le proposizioni e i predicati Negazione Si indica ˥, si legge "non" e nello specifico, data una preposizione P, la sua negazione si indica: ˥P Si forma così un'altra proposizione che è VERA quando l'originale è falsa e viceversa. Esempio P = "La rosa è un fiore" → V ˥P = "La rosa non è un fiore" → F Congiunzione Si indica ˄ e date due proposizioni P, Q restituisce la nuova proposizione P ˄ Q e si legge "P e Q". 1 - Cenni di Logica 1 La congiunzione P ˄ Q è VERA solo se entrambe sono vere. Esempio P = "La rosa è un fiore" → V Q = "La tigre è un pesce" → F P ˄ Q = "La rosa è un fiore e la tigre è un pesce" → F Congiunzione Si indica ˅ e date due proposizioni P, Q restituisce la nuova proposizione P ˅ Q e si legge "P o Q". Esempio P = "La rosa è un fiore" → V 1 - Cenni di Logica 2 Q = "La tigre è un pesce" → F P ˅ Q = "La rosa è un fiore e la tigre è un pesce" → V Implicazione Si indica ⇒ e date due proposizioni P, Q restituisce la nuova proposizione P ⇒ Q e si legge "P implica Q" oppure "Se vale P allora vale Q". Da una premessa P falsa, posso implicare qualsiasi cosa. 💡 Osservazione Il valore di verità di P ⇒ Q è il medesimo di ˥P ˅ Q. Nel caso dell'implicazione, quando P è FALSO, non servirà un valore specifico di Q per renderla VERA. Invece, quando P è VERO, è necessario che Q abbia valore VERO per rendere VERA anche l'implicazione. Esercizio "Dimostrare che date P, Q proposizioni succede che P ˄ (P VERA, allora Q deve essere vera" Poiché sappiamo per ipotesi P ˄ (P P è vera e pure P Q è VERA ⇒ 1 - Cenni di Logica ⇒ Q) è ⇒ Q), allora deve accadere che 3 Esempio pratico P = "Oggi piove" Q = "Esco in macchina" P Q = "Se oggi piove allora esco in macchina" ⇒ P ˄ (P ⇒ Q) = "Oggi piove e se oggi Piove, esco in macchina". Doppia implicazione Si indica ˂=˃, date due preposizioni P, Q restituisce P ˂=˃ Q e si legge "Vale P se e solo se vale Q". Esercizio Date due proposizioni P, Q verificare che i valori di verità di P ˂=˃ Q coincide con (P Q) ˄ (Q P). ⇒ ⇒ Leggi di Morgan Date P, Q proposizioni allora (L'uguale indica che hanno la stessa tabella di verità): 1. ˥(P ˄Q) = ˥P ˅˥Q 2. ˥(P ˅Q) = ˥P ˄˥Q Per verificare (1) confronto le tabelle di verità di ˥(P˄Q) e di ˥P ˅ ˥Q 1 - Cenni di Logica 4 💡 Osservazione Date P, Q proposizioni allora si ha che (le due proposizioni hanno la stessa tabella di verità): P ⇒ Q = ˥Q ⇒ P Questo esempio, chiamato dimostrazione per assurdo, è fondamentale nella dimostrazione di alcuni teoremi. Dice che per verificare che P implica Q è VERA mi basta provare che ˥Q implica P è VERA Esercizio Siano P, Q, R tre proposizioni e supponiamo che R sia FALSA. Allora P ⇒ Q è VERA se e solo se P ˄ ˥Q ⇒ R è VERA. (P ⇒ Q)˂ = ˃[(P ˄˥Q) ⇒ R] Tale esercizio dice: supponiamo di voler verificare che, date P e Q, P implica Q. Allora l'esercizio afferma che mi basta assumere P ˄ ⇒ ˥Q R e riuscire a verificare che questo implica qualcosa di FALSO. Predicato Il predicato è una frase il cui valore di verità dipende dal valore assunto da una o più variabili. Esempio Questo esempio è un predicato il cui valore di verità dipende dal valore di x. P(x) = "x2 ≥ 1" 1 - Cenni di Logica 5 P(1) → VERA P(1/2) → FALSA 1 - Cenni di Logica 6
