1 - Cenni di Logica

1 - Cenni di Logica
Tutta la matematica si basa sulla nozione di proposizione, cioè una frase che può
essere Vera o Falsa
1. "La rosa è un fiore" → V
2. "La tigre è un pesce" → F
3. "La mia macchina è bella" → Non è una proposizione, perché il suo valore di
verità dipende da chi ascolta.
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Connettivo logico → Metodo per unire e modificare le proposizioni e i
predicati
Negazione
Si indica ˥, si legge "non" e nello specifico, data una preposizione P, la sua negazione si
indica:
˥P
Si forma così un'altra proposizione che è VERA quando l'originale è falsa e viceversa.
Esempio
P = "La rosa è un fiore" → V
˥P = "La rosa non è un fiore" → F
Congiunzione
Si indica ˄ e date due proposizioni P, Q restituisce la nuova proposizione P ˄ Q e si
legge "P e Q".
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La congiunzione P ˄ Q è VERA solo se entrambe sono vere.
Esempio
P = "La rosa è un fiore" → V
Q = "La tigre è un pesce" → F
P ˄ Q = "La rosa è un fiore e la tigre è un pesce" → F
Congiunzione
Si indica ˅ e date due proposizioni P, Q restituisce la nuova proposizione P ˅ Q e si
legge "P o Q".
Esempio
P = "La rosa è un fiore" → V
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Q = "La tigre è un pesce" → F
P ˅ Q = "La rosa è un fiore e la tigre è un pesce" → V
Implicazione
Si indica
⇒ e date due proposizioni P, Q restituisce la nuova proposizione P ⇒ Q e si
legge "P implica Q" oppure "Se vale P allora vale Q".
Da una premessa P falsa, posso implicare qualsiasi cosa.
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Osservazione
Il valore di verità di P
⇒ Q è il medesimo di ˥P ˅ Q.
Nel caso dell'implicazione, quando P è FALSO, non servirà un valore specifico di Q per
renderla VERA. Invece, quando P è VERO, è necessario che Q abbia valore VERO per
rendere VERA anche l'implicazione.
Esercizio
"Dimostrare che date P, Q proposizioni succede che P ˄ (P
VERA, allora Q deve essere vera"
Poiché sappiamo per ipotesi P ˄ (P
P è vera e pure P
Q è VERA
⇒
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⇒ Q) è
⇒ Q), allora deve accadere che
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Esempio pratico
P = "Oggi piove"
Q = "Esco in macchina"
P
Q = "Se oggi piove allora esco in macchina"
⇒
P ˄ (P
⇒ Q) = "Oggi piove e se oggi Piove, esco in macchina".
Doppia implicazione
Si indica ˂=˃, date due preposizioni P, Q restituisce P ˂=˃ Q e si legge "Vale P se e
solo se vale Q".
Esercizio
Date due proposizioni P, Q verificare che i valori di verità di P ˂=˃
Q coincide con
(P
Q) ˄ (Q
P).
⇒
⇒
Leggi di Morgan
Date P, Q proposizioni allora (L'uguale indica che hanno la stessa tabella di verità):
1.
˥(P ˄Q) = ˥P ˅˥Q
2.
˥(P ˅Q) = ˥P ˄˥Q
Per verificare (1) confronto le tabelle di verità di ˥(P˄Q) e di ˥P ˅ ˥Q
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Osservazione
Date P, Q proposizioni allora si ha che (le due proposizioni hanno la stessa
tabella di verità):
P ⇒ Q = ˥Q ⇒ P
Questo esempio, chiamato dimostrazione per assurdo, è fondamentale
nella dimostrazione di alcuni teoremi. Dice che per verificare che P implica Q
è VERA mi basta provare che ˥Q implica P è VERA
Esercizio
Siano P, Q, R tre proposizioni e supponiamo che R sia FALSA.
Allora P
⇒ Q è VERA se e solo se P ˄ ˥Q ⇒ R è VERA.
(P ⇒ Q)˂ = ˃[(P ˄˥Q) ⇒ R]
Tale esercizio dice: supponiamo di voler verificare che, date P e Q,
P implica Q. Allora l'esercizio afferma che mi basta assumere P ˄
⇒
˥Q
R e riuscire a verificare che questo implica qualcosa di
FALSO.
Predicato
Il predicato è una frase il cui valore di verità dipende dal valore assunto da una o più
variabili.
Esempio
Questo esempio è un predicato il cui valore di verità dipende dal
valore di x.
P(x) = "x2 ≥ 1"
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P(1)
→ VERA
P(1/2) → FALSA
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