esercizi di logica - Classe delle Lauree in Scienze Biologiche

ESERCIZI DI LOGICA
1)
Individuare, tra le seguenti coppie, quelle costituite da proposizioni logicamente equivalenti.
Dimostrare le equivalenze individuate;
a) (A  B)  C , A  (B  C)
b) (A  B)  C , (A  C)  B
c) A   B , B   A
d) A  B ,  ( B  A).
Soluzione:
Le coppie di proposizioni equivalenti sono a) e d).
A (B  C) || per eliminazione dell’implicazione
Infatti:
|| A  (B  C) || per associativa
|| (A  B)  C || per una legge di De Morgan
|| (A  B)  C || per introduzione dell’implicazione
|| (A  B)  C
(B  A) || per una legge di De Morgan
e
|| B  A || per doppia negazione ecommutativa
|| A  B
|| per introduzione dell’implicazione
A  B.
Le altre coppie non sono logicamente equivalenti: se lo fossero, la loro doppia implicazione sarebbe
una tautologia, mentre, con le tavole di verità si può vedere che così non è.
In b), assegnando valori di verità 0 ad A e C e 1 a B si ha:
( A  B )  C
0 1 1
mentre
( A  C )  B
0 0
0 0 1
1 1
In c), assegnando ad A valore 1 e a B valore 0 si ha:
A   B
1 1 1 0
2)
mentre
B   A
0 0 0 1
Quali delle seguenti proposizioni sono logicamente equivalenti a  BA ?

 A  B
 B  A
 AB
B A
Soluzione: sono le proposizioni seconda e quarta.
|| per eliminazione dell’implicazione
Infatti
B  A
|| B  A
|| per la proprietà della doppia negazione
||
|| per commutativa della disgiunzione
B  A
|| A  B
|| per introduzione dell’implicazione
|| A  B.
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Si ha anche, più semplicemente,
B  A || A  B per contronominale e
A  B || A  B per eliminazione dell’implicazione
3)
Quali delle seguenti proposizioni sono logicamente equivalenti a  AB ?
 A  B
 A  B
 B A
 AB
Data la formula : (x)(y) P(x, y), quali delle seguenti sono ad essa equivalenti?
4)
 (x)(y)P(x,y)
 (x)(y)P(x,y)
 (x)(y)P(x,y)
Data la formula : (x)  (y) P(x, y) , quali delle seguenti sono ad essa equivalenti?
5)
 (x)(y)P(x,y)
6)
 (x)(y)P(x,y)
 (x)(y)P(x,y)
Siano A, B e C proposizioni; dimostrare, applicando le proprietà dei connettivi, che
 ((A  C)  (A  B)) || A  (C  B).
Quali delle seguenti proposizioni sono logicamente equivalenti a  AB ?
7)
  B A
8)
Data la formula :

9)
 B A
 AB
 A  B
(x)(y) (P(x)  Q(y)) , quali delle seguenti sono ad essa equivalenti?
(x)(y)(P(x)Q(y))

(x)(y)(P(x)Q(y))
 (x)(y)(P(x)Q(y))
Dimostrare, utilizzando le proprietà dei connettivi, che, date le proposizioni A e B,
(AB)  A || (BA)
10) Date le proposizioni A,B e C, dimostrare, applicando le proprietà dei connettivi, la seguente
equivalenza logica: A  (( A  C)  B ) || A  (B  C) .
11) Date le proposizioni A,B e C, dimostrare, applicando le proprietà dei connettivi, che
A  (B  C) || ((C  A)  ( B  A))  (B  A) .
Soluzione: Conviene operare sulla proposizione di destra, che è più complessa, riducendola
alla prima con una “catena” di equivalenze logiche:
((C  A)  ( B  A))  ( B  A) || per la propr. distributiva di  risp. ad 
|| (( C   B)  A)  (B  A) || per una legge di De Morgan
|| ( (C  B)  A)  (B  A)
|| per eliminazione dell’implicazione
||  ((C  B)  A)  (B  A)
|| per la legge di De Morgan di cui sopra e
la proprietà commutativa di 
|| ((C  B)   A)  (A  B) || per l’ associativa di  e doppia negaz.
|| ((( C  B)   A)  A)  B)
|| per distributiva di  rispetto ad 
|| ((C  B  A) ( A A))  B || per la legge del terzo escluso
|| ((C  B  A)  T )  B
|| per una legge di cancellazione
|| C  B  A  B
|| per commutativa e idempotenza
|| A  B  C
|| per l’associativa di 
|| A  (B  C)
|| per introduzione dell’
||  A  (B  C).
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