ESERCIZI DI LOGICA 1) Individuare, tra le seguenti coppie, quelle costituite da proposizioni logicamente equivalenti. Dimostrare le equivalenze individuate; a) (A B) C , A (B C) b) (A B) C , (A C) B c) A B , B A d) A B , ( B A). Soluzione: Le coppie di proposizioni equivalenti sono a) e d). A (B C) || per eliminazione dell’implicazione Infatti: || A (B C) || per associativa || (A B) C || per una legge di De Morgan || (A B) C || per introduzione dell’implicazione || (A B) C (B A) || per una legge di De Morgan e || B A || per doppia negazione ecommutativa || A B || per introduzione dell’implicazione A B. Le altre coppie non sono logicamente equivalenti: se lo fossero, la loro doppia implicazione sarebbe una tautologia, mentre, con le tavole di verità si può vedere che così non è. In b), assegnando valori di verità 0 ad A e C e 1 a B si ha: ( A B ) C 0 1 1 mentre ( A C ) B 0 0 0 0 1 1 1 In c), assegnando ad A valore 1 e a B valore 0 si ha: A B 1 1 1 0 2) mentre B A 0 0 0 1 Quali delle seguenti proposizioni sono logicamente equivalenti a BA ? A B B A AB B A Soluzione: sono le proposizioni seconda e quarta. || per eliminazione dell’implicazione Infatti B A || B A || per la proprietà della doppia negazione || || per commutativa della disgiunzione B A || A B || per introduzione dell’implicazione || A B. 3 Si ha anche, più semplicemente, B A || A B per contronominale e A B || A B per eliminazione dell’implicazione 3) Quali delle seguenti proposizioni sono logicamente equivalenti a AB ? A B A B B A AB Data la formula : (x)(y) P(x, y), quali delle seguenti sono ad essa equivalenti? 4) (x)(y)P(x,y) (x)(y)P(x,y) (x)(y)P(x,y) Data la formula : (x) (y) P(x, y) , quali delle seguenti sono ad essa equivalenti? 5) (x)(y)P(x,y) 6) (x)(y)P(x,y) (x)(y)P(x,y) Siano A, B e C proposizioni; dimostrare, applicando le proprietà dei connettivi, che ((A C) (A B)) || A (C B). Quali delle seguenti proposizioni sono logicamente equivalenti a AB ? 7) B A 8) Data la formula : 9) B A AB A B (x)(y) (P(x) Q(y)) , quali delle seguenti sono ad essa equivalenti? (x)(y)(P(x)Q(y)) (x)(y)(P(x)Q(y)) (x)(y)(P(x)Q(y)) Dimostrare, utilizzando le proprietà dei connettivi, che, date le proposizioni A e B, (AB) A || (BA) 10) Date le proposizioni A,B e C, dimostrare, applicando le proprietà dei connettivi, la seguente equivalenza logica: A (( A C) B ) || A (B C) . 11) Date le proposizioni A,B e C, dimostrare, applicando le proprietà dei connettivi, che A (B C) || ((C A) ( B A)) (B A) . Soluzione: Conviene operare sulla proposizione di destra, che è più complessa, riducendola alla prima con una “catena” di equivalenze logiche: ((C A) ( B A)) ( B A) || per la propr. distributiva di risp. ad || (( C B) A) (B A) || per una legge di De Morgan || ( (C B) A) (B A) || per eliminazione dell’implicazione || ((C B) A) (B A) || per la legge di De Morgan di cui sopra e la proprietà commutativa di || ((C B) A) (A B) || per l’ associativa di e doppia negaz. || ((( C B) A) A) B) || per distributiva di rispetto ad || ((C B A) ( A A)) B || per la legge del terzo escluso || ((C B A) T ) B || per una legge di cancellazione || C B A B || per commutativa e idempotenza || A B C || per l’associativa di || A (B C) || per introduzione dell’ || A (B C). 4 5