19 luglio - statistica@unimib

Teoria dei campioni
19 luglio 2005
Tutti i calcoli vanno approssimati alla terza cifra decimale
Esercizio 1
Siano Y il carattere di interesse e X un carattere ausiliario presenti su 50 unità. Un campione ordinato
ottenuto senza reinserimento composto dalle etichette (4,18,35) ha fornito i valori y4=150, y18 =180, y35 = 95,
x4 = 80, x18 = 130, x35 = 140.
Nell’ipotesi che l’intensità totale di X sia 1000, si determini:
1. la probabilità di ottenere la terna osservata;
2. la stima di Horvitz-Thompson dell’intensità totale nell’ipotesi che le probabilità di inclusione del
primo ordine siano rispettivamente:  4 =0,1,  18 = 0,05,  35 =0,1;
3. l’usuale stima a probabilità costanti dell’intensità totale;
4. nell’ipotesi che la varianza dello stimatore di Horvitz-Thompson sia pari a 230000 e che la varianza
di Y sia 1/5 dell’intensità totale di X, si determini l’effetto del disegno.
Esercizio 2
Per stimare la media del carattere Y presente su una popolazione costituita da 1000 unità si hanno a
disposizione i caratteri ausiliari X1, X2, X3. Supposto di avere ripartito la popolazione nei 3 strati A, B, C di
numerosità 250, 350, 400 e che le varianze residue (relative a Y) siano rispettivamente 800, 500, 700:
1. si identifichi il carattere ausiliario più adatto per la stratificazione;
2. utilizzando il risultato del punto 1. e volendo esaminare un campione di 120 unità con allocazione
ottimale, si identifichino le numerosità campionarie per strato disponendo dell’informazione che la
varianza nel primo strato è 200 e nel secondo 600;
3. si determini la stima per quoziente combinata della media di Y avendo ottenuto i seguenti valori
campionari
y i  20,
y i  30,
y i  10,
xi  140,
xi  200,
xi  80 e

iA

iB

iC

iA

iB

iC
sapendo che l’intensità totale di X è 4500.
Esercizio 3
Per stimare la proporzione di soggetti con la caratteristica Y da una popolazione di N soggetti viene estratto
un campione casuale semplice senza reinserimento.
1. Si identifichi l’ampiezza campionaria che garantisce un errore assoluto non superiore a ε a livello α;
2. Se N= 2000, n = 100, α = 0,95 e p = 0,01 quale errore si commette?
Esercizio 4
Si identifichino le probabilità di inclusione di primo e di secondo ordine nel caso di campionamento casuale
con e senza reinserimento dimostrando come si ottengono.