Correzione

A. s. 2007/2008
I.T.C. "P. Dagomari"
Correzione prova scritta per il superamento del debito formativo in Matematica
Ex classi terze
Sezione I
1.
Trova l’equazione della parabola avente il vertice in V (1,1) e passante per P(1; 7) e
individua le sue intersezioni con gli assi cartesiani.
Dobbiamo risolvere il seguente sistema:
 b
 xV = 1
 2 a  1

a  b  c  1
 appartenenza di V alla parabola
a  b  c  7

 appartenenza di P alla parabola

b  2a
a  2


da cui
a  b  c  1 …..
b  4
a  b  c  7
c  1


La parabola, di equazione y = 2x2  4x +1, incontra l'asse y nel punto C di coordinate (0,c) e quindi
y  0
C(0,5). Le intersezioni con l'asse delle x si ottengono risolvendo 
2
 y  2x  4x  1
quindi le ascisse saranno soluzione dell'equazione di 2° grado: 2x2  4x +1 = 0. Applicando la
2
2
2
2
 1 x2 = 1 
 1 ,0) e B( 1 
formula risolutiva si ottiene x1=
e quindi A(
,0).
2
2
2
2
1
3
2. Data la parabola di equazione y = x2 + 2 x + ,
2
2
7
a) stabilisci la posizione reciproca con la retta di equazione y = 2 x  .
2
Si tratta di stabilire se la retta e la parabola sono secanti, esterne e tangenti cioè si incontrano in
due punti, nessuno o un punto.
7

 y  2 x  2
Impostiamo il sistema 
 y  1 x 2  2x  3

2
2
Si ottiene la seguente equazione risolvente: x2 – 4 = 0 e quindi due soluzioni.  secanti.
b) individua la retta tangente parallela a quella di equazione 3x – y + 5 = 0 .
L'equazione di una retta generica parallela alla precedente ha equazione y = 3x + q
 y  3x  q

Impostiamo il sistema 
e si ottiene x2 – 2x +3 –2q = 0
1 2
3
 y  2 x  2 x  2
Condizione di tangenza:  = 0 cioè 8q – 8 = 0  q = 1 y = 3x + 1
Sezione II
1. Data la circonferenza di equazione x2+ y2 + 4x – 2y – 4 = 0 individua l'equazione della
circonferenza concentrica e avente raggio uguale a 2 .
Concentrica = "Stesso centro"
a b
Le coordinate del centro saranno C(  , )  C(–2, 1)
2 2
L'equazione della circonferenza sarà:
(x - xC)2 + (y – yC)2 = (r)2
cioè
(x + 2)2 + (y – 1)2 = ( 2 )2 ovvero x2 + y2 + 4x – 2y +3 = 0
2. Individua le equazioni delle rette perpendicolari alla retta x – 2y – 9 = 0 e tangenti alla
circonferenza di equazione x2 + y2 + 4x + 2y –15 = 0 .
1
Poiché il coefficiente angolare della retta data è m =
l'equazione della retta generica
2
perpendicolare sarà y = –2x + q
1° modo:
 y  2 x  q
Il sistema  2
deve avere un'equazione risolvente il cui  = 0
2
 x  y  4 x  2 y  15  0
cioè
x2 + (–2x + q)2 + 4x + 2(–2x + q) –15 = 0 ….. 5x2 – 4qx + q2 + 2q –15 = 0
 = 16q2 – 20q2 – 40q +300 = 0 ……q1 = –15 q2 = 5
2° modo:
La tangente ha distanza dal centro della circonferenza = raggio
C( –2, –1) e r = 20 e scriviamo la retta in forma implicita: 2x + y – q = 0
 4 1 q
axc  by c  c
Quindi , applicando la formula
 20 ovvero
 r si avrà :
5
a2  b2
|5 – q| = 10 da cui –5 – q =10  q = – 15 e 5 + q = 10  q = 5
Sezione III
1.
Risolvi la seguente disequazione fratta:
3  x2
2x
1 
2
3x-1
9x  6x  1
Riducendo allo stesso denominatore e portando tutto al 1° membro si avrà:
2x 2  4x  4
3x  12
 0 Studiamo separatamente numeratore e denominatore:
2x2 4x + 4 > 0
…
x
(3x – 1)2 > 0
…
x
Soluzione finale:
x
1
3
1
3
2.
Risolvi il seguente sistema di disequazioni:
 x 2  3x  0
 x 2  3x  0


2
 1  x 2  0
……
1  x  0
2 x 2  x  1  0
2 x 2  3x  1  4 x  2


Soluzione finale:

1
< x<0
2

x  0  x  3

 1  x  1
 1
  x  1
 2