Matematica Discreta I Lezione del giorno 19 novembre 2007 Calcoleremo ora la cardinalità di Crn,m ossia il numero delle combinazioni con ripetizione di n degli elementi a1,a2,…,an presi ad m ad m. Una generica combinazione con ripetizione di Crn,m si può rappresentare nella forma: a1,a1,….,a1,a2,a2,…,a2,……..,an,an,…,an dove a1 compare m1 volte (anche 0 volte, se non compare), a2 compare m2 volte,…. , an compare mn volte, e dove ovviamente la somma m1+m2+….+mn coincide con m (visto che la combinazione coinvolge esattamente m elementi fra gli n elementi dati). Possiamo costruire, a partire da tale combinazione con ripetizione, una opportuna parola sull’alfabeto {0,1} nel modo seguente: 00….0100….01………..100…0 dove gli zeri consecutivi all’inizio della parola sono in numero di m1, dopo di essi vi è un 1 che funge da “separatore”, il secondo settore di zeri consecutivi contiene un numero m 2 di zeri, di seguito vi è un altro 1 che funge da “separatore”, e così procedendo fino all’ultimo “separatore” 1 seguito da altri zeri consecutivi in numero di mn. Per esempio se n=4, se gli elementi sono a1,a2,a3,a4 e se m=10, a partire dalla seguente combinazione con ripetizione dei 4 elementi presi a 10 a 10 : a1a1a2a3a3a3a4a4a4a4 si può costruire la seguente parola sull’alfabeto {0,1}: 0010100010000) La parola costruita ha un numero di 1 (separatori) uguale ad (n-1), ed un numero di 0 uguale alla somma m1+m2+….+mn, cioè uguale ad m. In totale la lunghezza della parola è (n-1)+m=n+m-1. Se indichiamo con B l’insieme di tutte le parole sull’alfabeto {0,1} di lunghezza (n+m-1) in cui la lettera 1 compare esattamente (n-1) volte, il procedimento precedente permette di costruire una funzione f: Crn,m B. Dal ragionamento fatto nella lezione precedente sappiamo che B ha n m 1 . cardinalità n 1 Ora dimostriamo che la funzione f è biunivoca. Per dimostrare che f è iniettiva basta osservare che, date due combinazioni diverse in Crn,m, in esse vi sarà qualche elemento ai che compare un numero diverso di volte nelle 2 combinazioni, quindi le 2 parole corrispondenti sull’alfabeto {0,1} saranno diverse, perché nel “settore” corrispondente all’elemento ai vi sarà un numero diverso di 0. Per dimostrare che f è surgettiva, data una parola qualunque in B, è facile (invertendo la costruzione precedente) trovare una combinazione di Crn,m di cui la parola data sia la corrispondente mediante la funzione f: basta cominciare a “leggere” la parola da sinistra verso destra, isolare il primo “settore” di 0 consecutivi (seguiti da un 1), e prendere nella combinazione un numero di a1 uguale al numero di tali 0 e così via. Possiamo allora concludere che il numero delle combinazioni con ripetizione di n elementi a1,a2,…,an presi ad m ad m è il seguente: n m 1 . Crn,m = B= n 1 Proprietà del coefficiente binomiale n Abbiamo visto che, fissati i numeri naturali n,m, (con mn) il coefficiente binomiale conta il m numero delle combinazioni semplici di n elementi presi ad m ad m, o equivalentemente il numero dei sottoinsiemi di cardinalità m contenuti in un insieme di cardinalità n. Fissato il numero n, i valori possibili di m sono m=1,2….,n. Ma tenendo conto del significato insiemistico, possiamo estendere per convenzione il valore del n coefficiente binomiale anche al caso m=0, definendo =1, coerentemente con l’osservazione che 0 esiste 1 solo sottoinsieme di cardinalità 0 (quello vuoto) contenuto in un insieme di cardinalità n. Dunque i possibili coefficienti binomiali con n fissato sono i seguenti: n n n n =1, , ……., , . 0 1 n - 1 n n n(n 1)(n 2)....(n n 1) n! Notare che si ha = = =1 , quindi i 2 valori “estremi” (il primo e m! n! n l’ultimo) sono ambedue uguali a 1. n Costruiamo ora una formula alternativa per il calcolo di (ma all’inizio valida solo nel caso m m≠0, m≠n). Nella formula originale: n n(n 1)(n 2)....(n m 1) = m! m supponendo che sia m≠0, m≠n, moltiplichiamo numeratore e denominatore per (n-m)!, ottenendo la nuova formula: n n(n 1)...(n m 1)[(n - m)! ] n(n 1)...(n m 1)(n - m)(n - m - 1).....1 n! = = = m! (n - m)! m! (n - m)! m! (n - m)! m Otteniamo dunque la formula alternativa: n n! = (se m≠0, m≠n) . m! (n - m)! m Tale formula non ha senso nei casi m=0, m=n, perché contiene un termine 0! al quale non abbiamo attribuito significato. Ma possiamo dare significato alla formula anche nei casi m=0, m=n, definendo convenzionalmente 0!=1, per ritrovare i valori già noti: n n n! n! = = =1 =1 0 0!(n - 0)! n n! (n - n)! Utilizzando questa formula alternativa per il coefficiente binomiale, si ottiene il: Teorema: Se n è un numero naturale, comunque preso un intero m con 0≤m≤n si ha: n n = m n - m Dimostrazione. Usiamo la formula alternativa per sviluppare il secondo membro ed arrivare al primo: n n n! n! n! = = = = n - m (n - m)! [n - (n - m)]! (n - m)! m! m! (n - m)! m Dal Teorema precedente si ha che, fissato il numero naturale n e facendo variare m=0,1,…,n, i coefficienti binomiali: n n n n n n , , , …… , , , 0 1 2 n - 2 n - 1 n sono uguali a coppie simmetriche (equidistanti rispetto al “centro” della successione): n n n n = , = , etc…. 0 0 1 n - 1 n Esempio: se n=5 i coefficienti binomiali con m=0,1,2,3,4,5,sono uguali a coppie: m 5 5 5 5 5 5 =1 , =5 , =10 , =10 , =5 , =1 0 1 2 3 4 5