Matematica Discreta
Lezione del giorno 26 ottobre 2011
Esaminiamo alcune terminologie particolari relative alla teoria delle disposizioni.
1) Permutazioni.
Nel caso particolare n=m, le disposizioni semplici di n elementi presi ad n ad n sono dette
permutazioni degli n elementi dati: esse rappresentano in pratica tutti i modi diversi di disporre in
ordine gli n elementi dati.
Il numero delle permutazioni di n elementi si ricava come caso particolare dalla formula della
disposizioni semplici ponendo n=m: le permutazioni di n elementi sono dunque in numero di
n(n-1)(n-2)….. 1 = n!
Esempio: se A={1,2,3,4}, le permutazioni di 1,2,3,4 sono in numero di 4!=24, ed esse costituiscono
l’insieme D4,4 ={1234, 1432, 2341, 4132, ……..} contenente appunto i 24 modi diversi di disporre
in ordine gli elementi 1,2,3,4 .
2) Parole.
Nel linguaggio informatico, le disposizioni con ripetizione degli n elementi a1,a2,…,an presi ad m ad
m sono spesso chiamate parole di lunghezza m sull’alfabeto a1,a2,…,an (gli elementi a1,a2,…,an
sono dette lettere dell’alfabeto): secondo quanto dimostrato quando abbiamo calcolato il numero
delle disposizioni di n elementi presi ad m ad m, il numero delle parole di lunghezza m su un
alfabeto di n lettere è nm.
Esempio: le parole di lunghezza 4 sull’alfabeto {0,1} sono le seguenti 24=16 disposizioni con
ripetizione dei 2 elementi 0,1 presi a 4 a 4:
{0000,1111,0001,0010,0100,1000,0011,0101,0110,1010,1100, 1001,1110,1101,1011,0111}
Combinazioni
Siano n,m due numeri naturali qualunque. Sia poi A un insieme di cardinalità n, contenente gli n
elementi distinti a1,a2,…,an.
Chiamiamo combinazione di classe m degli n elementi (o combinazione degli n elementi presi
ad m ad m) un qualunque modo di scegliere m fra gli n elementi, non tenendo conto dell’ordine di
scelta (quindi 2 combinazioni si distinguono fra loro solo per gli m elementi scelti e non per il loro
ordine). Una combinazione è semplice se gli elementi scelti sono tutti distinti (e in questo caso
necessariamente deve essere nm) oppure con ripetizione se è possibile ripetere qualche elemento
più volte.
Indicheremo con Cn,m l’insieme di tutte le possibili combinazioni semplici di classe m degli n
elementi, e con Crn,m l’insieme di tutte le possibili combinazioni con ripetizione di classe m degli n
elementi. Ovviamente ogni combinazione semplice è una particolare combinazione con ripetizione,
quindi si ha Cn,m Crn,m .
Esempio: Se A={a,b,c,d}(quindi n=4) e se fissiamo m=3 si ha:
C4,3 = {abc, abd, acd, bcd} ; Cr4,3 = {abc, abd, acd, bcd, aab, aac, aad, bbc, bba, bbd, cca, ccb, ccd,
dda, ddb, ddc, aaa, bbb, ccc, ddd}.
Numero delle combinazioni semplici
Calcoliamo la cardinalità di Cn,m ossia il numero delle combinazioni semplici di n elementi
a1,a2,…,an presi ad m ad m.
Ragionando come nel caso delle disposizioni semplici, si deduce che nel caso n<m non esiste
nessuna di tali combinazioni semplici :
Crn,m = nel caso n<m
Quindi supponiamo di essere nel caso nm.
Consideriamo l’insieme Dn,m delle disposizioni semplici degli n elementi presi ad m ad m:
sappiamo che ha cardinalità n(n-1)(n-2)….. (n-m+1).
Poiché nelle combinazioni l’ordine degli elementi non conta, possiamo suddividere l’insieme delle
disposizioni Dn,m in sottoinsiemi, ponendo in ciascun sottoinsieme le disposizioni che coinvolgono
m elementi fissati fra gli n elementi dati: è ovvio che le diverse disposizioni poste nello stesso
sottoinsieme corrispondono ad 1 sola combinazione.
(Per esempio se A={a,b,c,d}, n=4, m=3 potremmo fissare i 3 elementi a,b,c e considerare le
disposizioni che coinvolgono solo a,b,c, cioè abc, acb, bac, bca, cab, cba: esse sono 6 diverse
disposizioni ma rappresentano 1 sola combinazione).
Contare il numero delle combinazioni equivale a contare il numero dei sottoinsiemi in cui abbiamo
suddiviso Dn,m. Ma in ognuno di tali sottoinsiemi vi sono le disposizioni che coinvolgono m
elementi fissati e queste non sono altro che le permutazioni di questi m elementi: sappiamo già che
esse sono in numero di m!.
Dunque ognuno dei sottoinsiemi in cui abbiamo ripartito Dn,m contiene lo stesso numero m! di
disposizioni.
In totale il numero delle combinazioni semplici di n elementi a1,a2,…,an presi ad m ad m si otterrà
dividendo la cardinalità di Dn,m per m!, ottenendo alla fine:
n(n 1)(n 2)....(n m 1)
(sempre nell’ipotesi nm)
m!
Tale numero (intero nonostante la rappresentazione sotto forma di frazione) è detto coefficiente
binomiale ed è indicato con il simbolo:
n n(n 1)(n 2)....(n m 1)
=
(sempre nell’ipotesi nm)
m!
m
Cn,m =
Esempio: Se A={a,b,c,d,e,f} (quindi n=6) e se m=3, le combinazioni semplici dei 6 elementi presi
6
a 3 a 3 sono in numero di = (654)/3! = 20.
3
Esempio: Le combinazioni del Superenalotto sono le combinazioni semplici di 90 numeri presi a 6
90
a 6, quindi sono in numero di =(908988878685)/6! = 622.614.630
6
Significato insiemistico del coefficiente binomiale
Se A = { a1,a2,….,an }, possiamo notare che sostanzialmente il concetto di combinazione semplice
degli n elementi a1,a2,….,an presi ad m ad m coincide con quello di sottoinsieme di cardinalità
m contenuto nell’insieme A di cardinalità n (essendo gli elementi scelti nella combinazione tutti
distinti e non tenendo conto del loro ordine).
Per esempio le combinazioni semplici dei 3 elementi a,b,c presi a 2 a 2:
ab, ac, bc
corrispondono sostanzialmente a tutti i sottoinsiemi di cardinalità 2 dell’insieme {a,b,c} di
cardinalità 3:
{a,b}, {a,c}, {b,c}
Per quanto dimostrato nella teoria delle combinazioni semplici, se fissiamo due numeri naturali n, m
(con nm), il coefficiente binomiale:
n n(n 1)(n 2)....(n m 1)
=
m!
m
rappresenta dunque anche il numero dei sottoinsiemi di cardinalità m che sono contenuti in
un insieme A di cardinalità n.
