teoremi - Digilander

1
TEOREMI – CONTINUITA’ - CALCOLO
1. T. dell’unicità del limite
2. T. del confronto
( T. dei due carabinieri )
3. T. della permanenza del segno
4. Teoremi per le operazioni sui limiti
Nota bene
5. Operazioni con il simbolo ‘  ’
Forme indeterminate
Forme indefinite di immediata interpretazione
6. Funzioni continue (definizioni)
Teoremi sulle operazioni con le funz. cont.
Punti di discontinuità
Teoremi fondamentali
7. Calcolo dei limiti
Limiti notevoli
esercizi
8. Asintoti
I teoremi che seguono si riferiscono al caso di ‘ limite finito in un punto ’, tuttavia si possono
estendere in generale anche agli altri casi di limite.
I teoremi per le operazioni con i limiti perdono di validità quando si incorre in una delle
forme indeterminate.
2
1. Teorema dell’unicità del limite
Se una funzione f(x) ammette limite per xx0, tale limite è unico.
Dimostrazione: supponiamo per assurdo la f(x) per xx0 ammetta due limiti
distinti l1 e l2, con l1 ≠ l2, cioè se si verifichi che lim f ( x)  l1 e lim f ( x)  l2 ,
x  x0
x  x0
allora per la definizione di limite si deve avere che
   R0   'ε  R0 , tale che f  x   l1  ε ,  x  ] x0  δ' ε ; x0  δ' ε [ \ x0
e anche che
   R0   ' 'ε  R0 , tale che f  x   l2  ε ,  x  ] x0  δ' ' ε ; x0  δ' ' ε [ \ x0 ,
l1  l2  l1  l2  f x   l1  f x    l2  f x  
quindi
 f x   l1  f x   l2  ε  ε  2ε ,  x  ] x0  δε ; x0  δε [ \ x0 ,
essendo δε il minore fra δ' ε e δ' ' ε .
La relazione l1  l2  2 deve valere    R0 , ‘  piccolo a piacere ’ , cioè
per   0 ; tale condizione implica che sia l1  l2  0 , cioè l1 = l2 .
3
2. Teorema del confronto
( T. dei due carabinieri )
Siano f(x), g(x), h(x) tre funzioni definite in un intorno  di x0, escluso al più x0 ( x0
sia un punto d’accumulazione di   ( Df  Dg  Dh) ), tali che risulti f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 
x  .
Se si verifica che
lim f  x   lim h x   l , allora anche lim g  x   l .
x  x0
x  x0
x  x0
Dimostrazione: per la definizione di limite si deve avere che
   R0   'ε  R0 , tale che f x   l  ε ,  x  ] x0  δ' ε ; x0  δ' ε [ \ x0
e anche che
   R0   ' 'ε  R0 , tale che hx   l  ε ,  x  ] x0  δ' ' ε ; x0  δ' ' ε [ \ x0 ;
l    f  x   l  

tali condizioni implicano che l    h x   l  

'
''
 x  x0    ; x0     \ x0 , con   il minore fra   e  
quindi per l’ipotesi che f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)  x   si ha
l    f  x   g  x   h x   l   , cioè
g  x   l   ,  x  ] x0  δε ; x0  δε [ \ x0 e    R0 .
L’ultima scrittura è la definizione di ‘ limite finito in un punto ‘ .
4
Interpretazione grafica del teorema:
3. T. della permanenza del segno
Dati la funzione f(x), un punto x0 d’accumulazione di Df , se esiste
lim f  x   l , con l  0 ,
x  x0
allora esiste un intorno I di x0 , privato al più del punto x0, con I  Df , in cui la
funzione f(x) assume lo stesso segno di l .
Viceversa, se esiste un intorno I di x0 , privato al più del punto x0, con I  Df , in cui
risulta che f(x) > 0 ( f(x) < 0 ), e se esiste lim f  x   l , allora l ≥ 0 ( l ≤ 0 ) .
x  x0
5
Dimostrazione:
prima parte – applico la definizione di ‘ limite finito in un punto ’ e assumo  
in corrispondenza del quale è possibile determinare un δ  R0 tale che
l
l
l
f x   l 
, cioè l  f x   l 
,  x  x0    ; x0     \ x0 .
2
2
2
Ne segue la tesi, infatti:
l
 0 , quindi f  x   0
2
l
se l  0  l  0 , quindi f  x   0 .
2
se l  0  l 
seconda parte – sia per ipotesi f(x) > 0 e per assurdo sia l < 0; applicando la
l
definizione di ‘ limite finito in un punto ’ e assumendo  
, si avrebbe:
2
l
l
l f x   l 
 f(x)  0 ,  x  x0  δε ; x0  δε  \ x0 ,
2
2
in contraddizione con l’ipotesi, quindi l  0.
Interpretazione grafica del teorema:
Nella prima parte deve essere l ≠ 0, perché altrimenti si può presentare il caso (b),
con f(x) di segno alterno.
Nella seconda parte può essere l = 0, come nel caso (c).
l
,
2
6
4. Teoremi per le operazioni sui limiti
Ipotesi iniziali comuni ai vari teoremi: (*)
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un intorno  di x0, escluso al più x0 ( x0 sia un
punto d’accumulazione di   ( Df  Dg ), tali che entrambe ammettano limite finito in x 0,
cioè :
lim f  x   l
x  x0
e
lim g  x   l1
x  x0
( l ed l1 finiti )
a) Limite della somma : (*) Il limite della somma di funzioni è uguale alla somma
dei limiti delle funzioni ( se questi sono finiti ):
lim  f x   gx    l  l1 .
x x 0
Dimostrazione: per la definizione di limite si deve avere che


2
 R0   'ε  R0 , tale che f  x   l 

2
,  x  ] x0  δ' ε ; x0  δ' ε [ \ x0
e anche


2
 R0   ' 'ε  R0 , tale che g x   l1 

2
,  x  ] x0  δ' ' ε ; x0  δ' ' ε [ \ x0 ;
tali condizioni consentono di scrivere:


 f x   l  2

 g x   l  
1

2
f x   l  gx   l1  
 x  x0    ; x0     \ x 0 , con   il minore fra  ' e  ''
e anche :
f x   g x     l  l1 
 f x   l  gx   l1   ,  x  x0    ; x0     \ x 0 .
L’ultima scrittura è la definizione di ‘ limite finito in un punto ‘ .
7
b) Limite del prodotto : (*) Il limite del prodotto di funzioni è uguale al prodotto
dei limiti delle funzioni ( se questi sono finiti ):
lim
x  x0
 f x   g x    l  l1
.
Dimostrazione: per la definizione di limite posso scrivere le seguenti relazioni:
  ' R0   'ε'  R0 , tale che f x   l  ε' ,  x  ] x0  δ' ε' ; x0  δ' ε' [ \ x0
 ε'  R0  δ' ' ε'  R0 , tale che g  x   l1  ε' ,  x  ] x0  δ' ' ε' ; x0  δ' ' ε' [ \ x0 ;
se scelgo 0 < ’ < 1 , e se osservo che
g x   l1  ε' 
g x  - l1  g x   l1  ε' 
g x   l1  ε' ,
posso concludere con le seguenti relazioni:
 f x   g x     l  l1 

 g  x   f  x   l  l  g  x   l1 
l
1

 ε'  ε'  l  ε' 
l
1

 l  1  ε' ,
 x  x0  δε' ; x0  δε'  \ x0 , con δε' il minore fra δε'' e δε'' ' .
L’ultima scrittura è la definizione di ‘ limite finito in un punto ‘
( basta porre ε 
l
1

 l  1  ε' ) .
Dai teoremi a) e b) seguono i seguenti c), d), e):
c) Se f(x) è una funzione che ammette limite l per x che tende a x0 e k è un numero
reale, si ha:
lim kf ( x)  kl k  R 
x  x0
d) (*)
lim kf ( x)  g  x   kl  l1
x  x0

 f  x   g  x   l  l1  l  g  x   g  x    f  x   l   l  g  x   l1 
k,  R 
8
e) Se f(x) è una funzione che ammette limite l per x che tende a x0 e n è un numero
naturale, si ha:
n  N 
lim  f ( x)n  l n
x  x0
f) Limite del reciproco : Se f(x) è una funzione che ammette limite l per x che tende
a x0 e l ≠ 0:
1
1
 l finito e  0  ;
lim

x  x0 f x  l
Se l = 0, si ha
Se l = , si ha
lim
1

f x 
 l  0
lim
1
0
f x 
 l  
x  x0
x  x0
g) Limite del quoziente : (*) Il limite del quoziente di funzioni è uguale al quoziente
dei limiti delle funzioni ( se questi sono finiti e il divisore non nullo):
lim
x  x0
h) Se lim f x   l , si ha
x  x0
f x  l

g x  l1
lim f x   l
x  x0
i)
Se lim f  x   l e l  0 , si ha
l)
Se lim f  x   l , si ha
x  x0
x  x0
lim
x  x0
p
a  R

0
lim  f x   l 
 f x  q
 lim  f  x  q
x  x0

 1
  R
x  x0
n) (*) con l > 0 , si ha lim  f x  g  x   l l1
x  x0

0
x  x0
x  x0
x  x0
a  R
lim log a f  x   log a l
lim a f  x   a l
m) Se lim f x   l e l  0 , si ha
in particolar e :
l1  0 .
p
 lq
p

 1
9
Nota bene
I teoremi per le operazioni sui limiti esprimono condizioni sufficienti per l’esistenza
del limite, ma non necessarie:
se esistono i limiti di f(x) e g(x)  esiste il limite della funzione ‘risultato
dell’operazione’ .
Per le operazioni con una sola funzione si dirà:
se esiste il limite di f(x)  esiste il limite della funzione ‘risultato dell’operazione’ .
Non vale la relazione inversa.
Esempi
1. Può esistere il limite della somma di due funzioni, senza che necessariamente
debba esistere il limite delle singole funzioni:
1
1
considero le funzioni f x   sen 2   , gx   cos2   , con D f  D g  R 0 .
x
x
Tali funzioni non ammettono limite per x  0 , perchè esse, in un qualsiasi
intorno di x 0  0 , compiono infinite oscillazio ni, sempre di ampiezza 1 ,

1
 1 
tuttavia esiste il limite della loro somma : lim sen 2    cos2    1.
x  0
x
 x 

1
 1 
Osserva che sen 2    cos2    1 ,  x  0 .
x
 x 

2. Può esistere il limite del prodotto di due funzioni, senza che necessariamente
debba esistere il limite delle singole funzioni:
1
considero le funzioni f x   x , gx   sen  , con D f  R , D g  R 0 ,
x
1
inoltre lim x  0 , mentre non esiste lim sen  .
x 0
x 0
x
1
Però la funzione prodotto ammette limite : lim [ x  sen  ]  0 .
x 0
x
10
3. Può esistere il limite del valore assoluto di una funzione, senza che
necessariamente debba esistere il limite della funzione:
x
considero la funzione f x   , con D f  R 0 ;
x
x
x
non esiste lim
, mentre lim
 1.
x 0 x
x 0 x
Osserva che
x
1,  x  0 .
x
5. Operazioni con il simbolo ‘  ’.
Estendendo i teoremi per le operazioni sui limiti a tutti i casi di limite, capita spesso
di dover operare con il simbolo ‘  ’ .
Fra i vari casi che si possono presentare, solamente a dodici non è possibile associare
immediatamente un risultato: sono le dodici forme indeterminate.
Per calcolare tali limiti, si devono eseguire delle trasformazioni algebriche che non
cambiano il valore della funzione, ma consentono di rimuovere la causa
dell’indecisione, per poi applicare i teoremi sui limiti.
FORME INDETERMINATE
0
0


0
00
0
1
log 0    
 
log 0  0 

 
log   0 
log     
log1 1
11
Operazioni che danno origine alle forme indeterminate.
a) Se
lim f x   
lim
x  0
b) Se
lim f x   
lim
x  0
 f x   gx      
lim gx   0
e
x  0
x  0
lim gx   
e
x  0
x  0
x  0
Se
lim f x   0
x  0
e
f x  0

x  0 gx  0
lim f x   1
x  0
lim gx   0
x  0
x  0
e
lim gx   
x  0
lim f x  g x   1 
x  0
e)
 Forme Indetermin ate :

  lim e g x lnf x   e 0
 x 0


lim f x  g x   0 0
lim
d) Se
f x   

0 g x 

x  
lim
 f x   gx      0
lim f x  g x    0
c)
 Forme Indetermin ate :

 , solo per lim f x   

x  0

 Forme Indetermin ate :

  lim e g x lnf x   e 0-  
 x 0


 Forma Indetermin ata :

  lim e g x lnf x   e   0
 x 0






Altre cinque Forme Indet. si possono presentare con funzioni del tipo
vedi tabella riassuntiv a  .
Fx   log f x gx 




12
FORME INDEFINITE DI IMMEDIATA INTERPRETAZIONE
p  R0
m N 0 e pari
n N 0 e dispari
0    0
0    
 
1.
     
19 .
2.
     
20 .
3.
p      
21.
4.
p       
22 .
5.
       
23 .
p   
se p  1
6.
       
24 .
p   0 
se 0  p  1
7.
       
25 .
p   0 
se p  1
       
p    
27 .
10 .
 p     
28 .
11.
     
12 .
-     
13 .
   p  
14 .
   p  0 
15 .
  m  
16 .
  n  
17 .
   m  0 
18 .
   n  0  .
8.
9.

 
     
     0 
26 .
p   
se 0  p  1
log p      se p  1
log p     
se 0  p  1
29 .
log    p   0 
se p  1
30 .
log    p   0 
se 0  p  1
p
-p
 0 ;
 0



0
0

32 .
0
;
 0


p
-p
33 .


;
 
0
0


34 .
  ;
 
p
-p


35 .


;
 
0
0
31.
13
6. Funzioni continue
Definizione di funzione continua in un punto.
Sia f(x) una funzione definita nel dominio Df  R.
Un punto x0  Df può essere, per Df stesso, un punto isolato, oppure un punto
d’accumulazione .
a) Se x0  Df è un punto isolato di Df , la f(x) è continua in x0 ;
b) Se x0  Df è un punto d’accumulazione di Df , la f(x) è continua in x0 se
lim f x   f x0  .
x  x0
Dalla definizione data segue che una funzione è continua in un punto x 0 o quando
x0 è un punto isolato di Df, oppure quando si verificano queste due circostanze:


esiste il limite della funzione per x  x0;
il limite coincide con il valore della funzione in quel punto.
Osservazioni importanti

La definizione b) è una condizione necessaria e sufficiente perché una funzione f(x)
sia continua in un punto x = x0 del suo dominio:

f x  è definita in x 0 , cioè x 0  D f

f(x) è continua in x0   ed è finito il lim f x   l
xx 0

l  f x 0  , cioè il limite coincide con il valore della funzione in x 0

Se una funzione è continua in un punto x0, il calcolo del lim f x  si può effettuare
x  x0
sostituendo ad x il valore di x0.
Esempi
Vedi esempi di ‘ Limiti - esempi 6.3 – 6.5 – 6.14 ’
14
Definizione di funzione continua a sinistra ( a destra ) del punto x0.
Si dice che la funzione f(x) è continua a sinistra (a destra) del punto x0, quando,
invece della b), vale soltanto la relazione:


 lim f x   f x0 
lim f x   f x0 
 xx

x  x0
0


Esempio
Data la funzione ‘ parte intera ’ f  x   x  (‘Limiti’ - esempio 6.8), nel punto x0 = 2
la funzione è continua soltanto a destra:
f 2  [2]  2 
lim [x]  2 
x 2 
lim [x]  1
x 2 
Definizione di funzione continua in un insieme.
Si dice che la funzione f(x) è continua in un insieme I  Df, se essa risulta continua in
ogni punto x di I.
Esempi di funzioni continue
a) il dominio Df è costituito da punti isolati
1
1
 1 1 1

per es.: D f   1 ; ; ; ; ... ; ; ...  , f x   2
n
 2 3 4

n
la f(x) è continua per definizione in ogni punto del dominio.
Esempio notevole
1 1 1
1


D f  0 ; 1 ; ; ; ; ... ; ; ...  ,
2 3 4
n


1
1
 2 per x 
f x    n
n
0 per x  0

Anche in questo caso la f(x) è continua:
il punto x = 0 non è isolato per Df, bensì d’accumulazione e in tale punto la
funzione è continua, perchè lim f x   0 ( x  0  n  );
x 0
negli altri punti x = 1/n (punti isolati) la f(x) è continua per definizione.
15
b) il dominio Df è costituito solamente da punti d’accumulazione
1.
2.
3.
4.
5.
f(x) = costante
è continua  x  R
f(x) = x
è continua  x  R
n
f(x) = x ( n  N ) è continua  x  R
f(x) = n x ( n  N ) è continua  x  R se n è dispari,  x  R+ se n è pari
f(x) = ax ( a  R0  1) è continua  x  R
6. f(x) = logax ( a  R0  1) è continua  x  R0
7. Le funzioni goniometriche, dirette ed inverse, sono continue nei rispettivi
domini.
Teoremi sulle operazioni con le funzioni continue
Dai teoremi sui limiti e dalla definizione di continuità, seguono i seguenti teoremi
sulle operazioni con le funzioni continue.
Se f(x) e g(x) sono continue per x = x0, allora sono continue, per x = x0, anche le
funzioni:
8.
9.
10.
11.
12.
kf(x)
f(x)  g(x)
f(x)g(x)
f(x)/g(x) ( se g(x0) ≠ 0 )
[f(x)]n
(nN)
13.
14.
15.
16.
17.
f x  ( se n è pari solo per f(x) ≥ 0 )
loga(f(x)) ( se f(x) > 0 )
af(x)
sen[f(x)]
cos[f(x)] ecc….
n
I teoremi n° 4, 6, 7(funzioni inverse) e quelli che vanno dal n° 12 in avanti discendono
dai seguenti teoremi:
a) Continuità delle funzioni composte : se f(x) e g(x) sono due funzioni continue,
tali che esista, per x appartenente ad un intervallo I, la funzione composta
F(x) = f [g(x)], allora anche quest’ultima funzione F(x) è continua in I .
b) Limite di una funzione composta continua : se F(x) = f [g(x)] è una funzione


continua, allora lim f gx   f  lim gx  . (Esercizio 1.e)
x x 0
x  x 0

c) Continuità delle funzioni inverse : se una funzione f(x) è continua e invertibile
in un intervallo I, allora la funzione inversa f -1(y) è continua in f(I).
16
Punti di discontinuità
Sia f(x) una funzione definita nel dominio Df e x0 un punto d’accumulazione di Df,
appartenente o no a Df.
Se la f(x) non è continua in x0, il punto x0 dicesi punto singolare o di discontinuità di
f(x) e si presentano tre casi:
1) Punti di discontinuità di prima specie
Nel punto x0 la f(x) ha una discontinuità di prima specie, se in tale punto esistono
finiti i limiti destro e sinistro e sono fra loro diversi:
lim f x   l1 ,
x  x 0
lim f x   l2
x  x 0
con l1  l2
La differenza l2 – l1 ( limite destro – limite sinistro ), dicesi salto della f(x) in x0.
Esempi:
x
( Es. 5.1 – Limiti), nel punto x0 = 0 ha una
x
discontinuità di prima specie con salto uguale a 2:
a) La funzione f x   2 x 
lim f x    1 , con salto = l2 – l1 = 1-(-1) = 2
x 0
b) La funzione ‘ parte intera ’ f  x   x  ( Es. 6.8 – Limiti), nel punto x0 = -1 ha
una discontinuità di prima specie con salto uguale a 1:
lim
x  1
x    12
, con salto = l2 – l1 = -1-(-2) = 1
17
2) Punti di discontinuità di seconda specie
Nel punto x0 la f(x) ha una discontinuità di seconda specie, quando in x0


o uno almeno dei due limiti destro o sinistro vale infinito,
o non esiste almeno uno dei due limiti destro o sinistro.
Esempi:
a) La funzione f(x) = e1/x ( Es. 6.1 – Limiti), nel punto x0 = 0 ha una
discontinuità di seconda specie, perché il limite destro vale infinito:
lim
x  0-
1
ex
 0;
lim
x  0
1
ex

1
( Es. 6.12 – Limiti), nel punto x0 = 0 ha una
x
discontinuità di seconda specie, perché non esistono i limiti né destro, né
sinistro.
b) La funzione f  x   sin
x
1

c) La funzione f x   1   ( Limite Notevole-b), nei punti x0 = -1 e x0 = 0
x

ha discontinuità di seconda specie, perché :
 lim f x   
x  1

 lim  f x  non esiste
x  1
 lim f x  non esiste
x  0 

 lim  f x   1
x  0
18
3) Punti di discontinuità di terza specie
Nel punto x0 la f(x) ha una discontinuità di terza specie, o eliminabile, se esiste
finito il limite in x0, ma

o la f(x) è definita, ma il suo valore non coincide con il valore del limite,
cioè lim f x   l  f x 0  ,
x x 0

o la f(x) non è definita in x0, cioè non esiste f(x0).
Si dice discontinuità ‘eliminabile’, perché si può stabilire la continuità nel
punto x0, completando o modificando la definizione di f(x) in x0 con
l’assegnazione f(x0) = l, con l  lim f x  .
x x 0
Esempi:
 x2  1
per x  1

a) La funzione f  x    x  1
( Es. 6.6 – Limiti), nel punto x0 = 1
3
per x  1

ha una discontinuità di terza specie, perché lim f x   2  f 1  3 .
x 1
sin x
(fig. es. 6.7 ‘Limiti’), nel punto x0 = 0 ha una
x
discontinuità di terza specie, perché esiste il limite, ma la f(x) non è definita
in x0 = 0: lim f x   1 , f 0 non esiste Df  R 0 .
b) La funzione f  x  
x 0


19
Teoremi fondamentali sulle funzioni continue
1. Teorema di Weierstrass Ogni funzione continua in un intervallo limitato e
chiuso [a;b] è dotata di massimo e di minimo.
Il teorema di W. afferma che, se
una funzione è continua in [a;b],
il suo codominio è limitato,
ammette minimo m e massimo
M, ed esistono almeno due punti
x1 e x2  [a;b] tali che f(x1) = m
ed f(x2) = M .
2. Teorema dei valori intermedi Ogni funzione continua in un intervallo limitato e
chiuso [a;b] assume tutti i valori compresi fra il minimo m e il massimo M .
Il teorema afferma che l’immagine dell’intervallo limitato e chiuso [a;b], mediante la
funzione continua f(x), è l’intervallo limitato e chiuso [m;M] :
 y  m; M  esiste almeno un x  a; b tale che f x   y
3. Teorema dell’esistenza degli zeri Se una funzione continua in un intervallo I,
assume in due punti x1 e x2  I valori di segno opposto, esiste almeno un punto
interno all’intervallo ]x1;x2[ in cui la funzione vale zero.
Questo teorema segue immediatamente
dal precedente, che per l’esempio di
figura, si può riscrivere nel seguente
modo: ogni funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [x1;x2]
assume tutti i valori compresi fra il
minimo m = f(x1) < 0 e il massimo M =
f(x2) > 0, quindi deve assumere anche il
valore zero.
20
N.B. I termini ‘intervallo’, ‘chiuso’, ‘limitato’ sono essenziali:
se manca una di queste ipotesi, i teoremi possono non essere veri.
Ecco alcuni esempi in cui, mancando un’ipotesi, i teoremi non sono veri:
l’insieme I  Df , su cui considero la f(x) continua,
a) è un intervallo, ma non chiuso e/o non limitato
[a;b[, ]a;b], ]a;b[, [a;+[, ]-;b], R
f x 
1
Df = R0 considero l’intervallo I = ]0;2] limitato e aperto a sinistra;
x
sull’intervallo I il teorema di Weierstrass non è vero: la funzione in I ammette
valore minimo, che è m = 1/2, ma non ammette valore massimo (figura di 2a - Limiti).
b) è chiuso e limitato, ma non è un intervallo
1
1
 2 per x 
f x    n
n
0 per x  0

è formato anche da punti isolati
1 1 1
1


I  D f  0 ; 1 ; ; ; ; ... ; ; ...  ;
2 3 4
n


la f(x) è continua in I, I è un insieme limitato e chiuso (tutti i suoi elementi x sono tali
che 0  x 1), la funzione ammette valore minimo, m = f(0) = 0, e valore massimo,
M = f(1) = 1, ma I non è un intervallo e la funzione non assume tutti i valori
compresi fra 0 e 1: il secondo teorema non è vero.
1 1 1
1


f I   f D f   0 ; 1 ; ; ; ; ... ;
; ... 
2
4 9 16


n
21
7. Calcolo dei limiti
Ci poniamo nel contesto di funzioni ‘ elementarmente calcolabili ’, cioè di funzioni continue
esprimibili analiticamente, il cui valore si deduce da quello della variabile indipendente x,
eseguendo su quest’ ultimo valore un numero finito di somme, prodotti, quozienti, potenze,
logaritmi e funzioni trigonometriche dirette ed inverse [come esempi b) 1-17] .
Per effettuare il calcolo lim f  x  , con x0 finito o infinito, si deve sostituire il
x x0
valore x = x0 nella f(x) e calcolare f(x0).
Tale calcolo può condurre ai seguenti tre casi:
1) f(x0) è uguale ad un numero reale definito;
2) f(x0) è una forma indefinita di immediata interpretazione;
3) f(x0) è una forma indeterminata.
Prima di procedere è bene ricordare i seguenti limiti notevoli, che, oltre ad avere
valore concettuale intrinseco, sono molto utili nel calcolo di limiti con funzioni
goniometriche, logaritmiche ed esponenziali.
Limiti notevoli
sinx
a) lim
1
x 0 x
sinx
1
x 0 x
lim
a) Limite notevole
x
1

b) lim 1    e
x  
x
f x  
sin x
, D f  R0 ; (fig. es. 6.7 ‘Limiti’)
x
dimostriamo che, se x esprime la misura dell’angolo in radianti, allora
sinx
lim
1 .
x 0 x
sinx 0
è una forma indeterminata, quindi devo studiare il comportamento

0
x 0 x
di f(x) in un intorno ‘ piccolo a piacere ’ di x0 = 0; posso pertanto considerare
lim
x

2
, cioè -

2
x

2
.
22
Dimostriamo separatamente che
sinx
1
x  0 x
a.1) lim
sinx
1 .
x  0 x
a.2) lim
a.1) Consideriamo x]0 ; /2[ ( intorno destro di x0 = 0 ) , quindi dalla figura
possiamo dedurre che:
sinx  x  tgx 
cosx 
π

 sinx  0 per 0  x  
2


sinx
1 .
x
Essendo
anche
sinx
x
1


sinx sinx cosx
lim cosx  1 e
x 0 
lim 1  1 , per il teorema del confronto, si ha che
x 0 
sinx
 1 , con x considerato in radianti .
x 0  x
lim
a.2) Consideriamo x]-/2 ; 0[ ( intorno sinistro di x0 = 0 ) e, osservando che la
sin x
sin x
funzione
è pari, si può scrivere immediatamente che lim
1 .

x
x
x 0
Conclusione:
sinx
sinx
sinx
 lim
 1  lim
1 .
x 0 x
x  0- x
x  0 x
lim
23
Osservazioni
--------------------------------------------------sin x 
 Se x viene considerato in gradi, si ha lim
, infatti:

180
x 0 x


poichè arco(PA)  x rad  r  x
 r  sinx  x 
 tgx 
180 
180 
180 sinx
x
1 180

sinx






cosx 

,
 sinx
sinx
cosx 
180
x
180
quindi passando al limite da destra e da sinistra, per il teorema del confronto si ha:
sinx
sinx 
sinx 
.
 lim

 lim

180
180
x 0 x
x  0- x
x  0 x
--------------------------------------------------lim

sinkx
 1 , con k  R0 ; infatti basta porre kx = y e
x  0 kx
sinkx
sin y
osservare che se x  0 anche y  0 , quindi lim
 lim
1 .
x 0 kx
y 0 y
Vale in generale
lim
x
1

b) Limite notevole lim 1    e
x  
x
24
x
1

lim 1    1 è una forma indeterminata; si dimostra che tale limite esiste,
x  
x
è finito ed è un numero irrazionale compreso fra 2 e 3. Esso viene indicato con la
lettera ‘ e ’ e chiamato numero di Nepero ( e = 2.71828… ).
Il numero ‘ e ’ è la base dei logaritmi naturali.
Altri limiti da ricordare
Dal precedente limite notevole b) seguono immediatamente i seguenti limiti:
b.1)
lim 1  x 1 x  e
x 0
pongo y 
lim 1  x 
b.2)
b.3)

1
; se x  0  y   , quindi
x
1x
x 0
è una forma indet. del tipo 1
y

1
 lim 1    e
y
y  
ln 1  x 
0
 1 è una forma indet. del tipo

x
0
x 0
ln 1  x 
lim
 lim ln 1  x 1 x  ln lim 1  x 1 x  lne  1
x
x 0
x 0
x 0
lim
ax 1
0
 ln a ( a  R 0 - 1 ) è una forma indet. del tipo

0
x 0 x
1
 1
pongo a x  1   x  log a 1   ; se x  0  t   , quindi
t
 t
lim 1
ax 1
1
1
t 
lim
 lim
 lim

t
t
x 0 x
t 
 1 t 
 1
 1
t  log a 1  
log a 1  
log a lim 1  
 t
t
t  
 t
1

 ln a
log a e
lim
25
Esercizi
1. f(x0) è uguale ad un numero reale definito
sin x  cos x
lim


x
x
a)
sin

2
2


2 2
b) lim

x 3
x3
3  3



0
x
3
2


d ) lim x 3  2 x  1   13  2 1  1  2
lim e1 x  e 0  1
c)
 cos
x 1
x  1


 x2

 x2

2
 3 

lim sin 
 2 x   sin  lim 
 2 x   sin      




 
2
 4 



x
x 

 2

2
e)
2. f(x0) è una forma indefinita di immediata interpretazione
x2 02 2
a ) lim


0
cot 0 
x  0 cot x
x2
1  2
1
1

b) lim




0

ln 0   
x 1 ln(1  x ) ln 1  1


c)
e)
ln x
ln 0

-

x 0  1  x 1  0
lim
lim ln x 
x 0 
x 3

 ln 0


 0 3

1
1
sin
x
  sin 0  0  0  1  0  0  0
x




sin
d ) lim
x 
    3  0 
f ) lim x tan x 
x

2

2
    
26
3. f(x0) è una forma indeterminata
3.1 caso
0
0
0
con funzioni razionali fratte
0
L' indetermin atezza si elimina riducendo la frazione ai minimi termini.
N x 
ax n  bx n 1  ...  cx  d
0
lim
 lim

0
x  x 0 D x 
x  x 0 a x m  b x m 1  ...  c x  d
1
1
1
1
con n, m  N

x  x 0 p Q N x 
Q x  
N x 
 x  x 0 p  q  N  , quindi
lim
 lim

lim
Q D x  
x  x 0 D x 
x  x 0 x  x q Q x 
xx 0 
0
D
 1 Q N x 0 
  0  Q x   
D 0

 Q N x 0 
N x   
lim
  Q D x 0 
x  x 0 D x  
Q x 
 0  N 0  0
Q D x 0 



a)
b)
x 2 1 0

0
x 1 x  1
lim
lim
x 2
lim
x 2

x 4  8x 2  16
x3  8
x 4  8x 2  16
x 8
3
se p  q
se p  q
con 1  p  n e 1  q  m
se p  q
x 2  1 x  1x  1
x 2 1

 x  1  lim
 lim x  1  2
x 1
x 1
x 1 x  1
x 1
0

0
 lim
x 2

x 4  8x 2  16
x3  8
x  2x  22
x
2
 2x  4



x  22 x  2 2

x  2x 2  2x  4
0
0
12

27
c)
lim
x  2
x2  x  6
x3  5x 2  8x  4

426
0

 8  20  16  4 0

x  3x  2  x  3
x 3  5 x 2  8 x  4  x  2 2  x  1  x  2  x  1
x  3   5  5  
x2  x  6
lim 3

lim
x  2 x  5 x 2  8 x  4 x  2   x  2  x  1 0   1 0 
x2  x  6
osserva che
d)
lim
x a
x2  a2
x  a 3

0
0


- 2  2 p.es.  1,99  2  0,01  0
- 2  2 p.es.  2,01  2  0,01  0
a  R 
se a  0   

,

0  se a  0   
2a

lim
x2  a2
x a
x  a 3
se a  0  lim
x a
 lim
x a
xa
x  a 2
x2  a2
x  a 3
 lim
x 0 

2a
0
1
 
x
0
con funzioni irrazional i fratte
0
L' indetermin atezza si elimina :
1. mediante razionaliz zazione del numeratore , o del den., o di entrambi
2. mediante opportune scomposizioni
3. mediante particolar i artifici
a)
lim
x 1 0

x 1 0
lim
x 1
1
1
 lim

x  1 x 1 x  1 2
x 1
x 1
 raz. il num. 
x 1
x 1


x  1  x  1 x  1


1
x 1

28
b)
lim
x 2
x  2  2x 0

0
x2
raz. num. e den. 


x  2  2x

x2

lim
x 2
lim
x  1
3
x  1
d) lim
x 2


x2
 x2

x  2  2x x  2
x  2  2x
x 1 0

x 1 0
3
lim



x  2  2x
 x2
0
 lim
 0
4
x  2 x  2  2x
x2
3
c)

 x  2

x  2  2x x  2  2x x  2

x  2  2x x  2 x  2
scompongo in

x 1

x 1
3

3

fattori il den.
x 1
3
x  1  x 2  3 x  1



1
3
x
2
3
x 1

x 1
1
1
 lim

x  1 x  1 3 x 2  3 x  1 3
x 2  4  x 2 x  2 
x x  2   x  4
2

0
0

moltiplico

x 2  4  x 2 x  2 
num. e den. per
x-2

x - 2 x  2  x  2  x 2 x  2
f x  



2


x
2
x

2
x

x

2
x x  2   x  4
x  2  x2 x  2

x  x2
lim
x 2



x 2  4  x 2 x  2 
x x  2   x 2  4
 lim
x 2
x  2  x2 x  2
2

2 2
x  x2
22

29
0
con funzioni goniometri che
0
L’indeterminatezza si elimina, quando è possibile, facendo ricorso in modo
opportuno al limite notevole ‘a’ e/o alle formule goniometriche.
sinkx 0

0
x 0 x

sinkx
sinkx
 sinkx 
 lim 
 k   lim
 lim k  k
x 0 x
x  0 kx
 x 0 kx x 0
sin2x 0

0
x  0 3x

sin2x
2 2
 sin2x 
 sin2x 2 
lim 
 2   lim 
   lim
 lim 
x  0 3x  2
 x 0 2x 3  x 0 2x x 0 3 3
b) lim
c) lim
d) lim
x 0
sinx
x2

0
0
lim
sinx
1
 sinx 1 
lim 
   lim
 lim  1    
x  x 0 x x 0 x
x  0 x

sin3x 0

0
x  0 sin2x
 sin3x

 lim  x
x  0 sin2x

 x
sin2x 0

x  0 xcosx 0

e) lim
f) lim


sin3x 
  lim 

 x 0 x 


 sin2x  3
lim 

x  0 x  2
 2sinxcosx 
 sinx 
lim 
  lim  2
2
x 
x  0 xcosx  x  0
 
sin  x - 


2 0

g) lim

 y  x - ; se x 
allora y  0 , quindi


0
2
2
x
x2
2
 
sin  x - 
sin y
2

lim
 lim
1


y 0 y
x
x2
2
h)
lim
x  
lim
x  
sine x
3e
x
sine x
3e x

0
0
 y  e x ; se x    allora y  0 , quindi
 sin y 1  1
 lim 
  
3 3
y  0 y
30
i) lim
1 - cosx  x 2
x  0 2sin
2
x  5x
2

0
0


2 x
 sin

2
2
x 2 2  1


2 x
2
x
2sin
x


2
1 - cosx  x


2



2
2
2
2
 sin 2 x

2sin x  5x
2sin x  5x
x 2  2 2  5
 x



2
2
x

sin 

2
1
2  1


4 x
2 x 




2
4


2
2
sin x
sin x
2 2 5
2 2 5
x
x
x
2 1
2
sin 2
tgx 0


0
x 0 x
l) lim

x

sin 

1
2  1

1 2
2 x 
1  1


1


2
2
lim



2
x 0
sin 2 x
2  12  5
2 2 5
x
tgx
sinx
tgx
 sinx 1 

 lim
 lim 

 1
x
xcosx
cosx 
x 0 x
x  0 x
arcsin x 0

 pongo
x
0
x 0
arcsin x
y
lim
 lim
1
x
x 0
y  0 sin y
m) lim
y  arcsinx , quindi x  siny ; se x  0  y  0 ;
arctgx


 1
 ... così anche lim
x 0 x


0
con funzioni esponenziali e logaritmic he
0
L’indeterminatezza si elimina, quando è possibile, facendo ricorso in modo
opportuno ai limiti notevoli ‘ b, b1, b2, b3 ’ e/o a trasformazioni della funzione.
ln 1  kx  0
ln 1  kx 

 lim
 ln lim 1  kx 1 x
x
0
x
x 0
x 0
x 0
1
pongo t 
; se x  0  t   , quindi
kx
a) lim
ln 1  kx 
 1
lim
 ln lim 1  
x
t
x 0
t  
kt
 ln e k  k
31
e x 1  1 0
b) lim

0
x  1 x  1
pongo t  x  1  x  t - 1; se x  1  t  0, quindi
e x 1  1
et  1
lim
 lim
 ln e  1
x  1 x  1
t 0 t
c) lim
x 0
ln 1  x 
tg 2 x
0

0
a kx  1 0

x
0
x 0
 lim
ln 1  x  x
x  0 x tg 2 x
x2
 lim
x 0
ln 1  x 1 x
x tgx x 2

ln e

0 1
(a  0)  pongo t  kx ; se x  0  t  0, quindi
d) lim
 at  1 
a kx  1
  k ln a
lim
 lim  k

x
t 
x 0
t  0
e) lim
ex  e x
x  0 e 2x
quindi
 e  2x
lim




2x
0
ex  e x
e  x e 2x  1
x e

 2x

 e 4x
0
e  e  2x e  2x e 4x  1
e
ex  e x
x  0 e 2x
 e  2x

e 2x  1 

2 1
 lim  e x  4xx   
x  0
e 1  4 2



x 
e 2x  1
1
 e x 4 xx
1
e 1
x
32
3.2 caso



con funzioni razionali fratte

L’indeterminatezza si elimina raccogliendo a fattore comune l’incognita al massimo
grado, tanto a numeratore, quanto a denominatore (vedi F.Indet. +  -  - funz. raz.):
N x 
ax n  bx n 1  ...  cx  d

 lim


x   D x 
x   a x m  b x m 1  ...  c x  d
1
1
1
1
con n, m  N
lim
N x 
x   D x 
lim
b
c
d 

x n  a   ...  n 1  n 
x

x
x  
 lim
b
c
d1 
x  m 
x  a1  1  ...  m11  m

x

x
x 
 lim x n  m 
x 
a
a1
 1 a
   a  0
1

 a

  a1

a
    
a1



k
 0)
x  xn
( ricorda che lim
se n  m
se n  m
(  rapporto dei coeff. di grado massimo)
se n  m
---------------------------------------
a) lim
x 
3x 3  4x 2  x  1
x  11x
4



N x 
1 
 lim   3   0
x   D x  x    x

lim

4 1
1 
3
x
3





3x 3  4x 2  x  1
x x 2 x3 



4
11


x  11x
x 4 1  3 
 x 
33
3x  7 x  2 x  1
3
b) lim
2
5x 3  11x
x 




N x 
3 3
 lim   
x   D x  x    5  5
7 2
1 

x33   2  3 
3x  7 x  2x  1
x x

x  

11 

5x 3  11x
x35  2 

x 
3
2
lim
3x  7x  1
4
c) lim
x 
2
5x 3  2x 2




N x 
 3
 lim  x    
5
x   Dx  x  
7
1 

x43  2  4 
3x  7x  1

x
x  

2

5x 3  2x 2
x35  
x

4
2
lim

con funzioni irrazionali fratte

Per eliminare l’indeterminatezza si procede, in generale, come per le funzioni
razionali fratte, raccogliendo a fattore comune l’incognita al massimo grado, tanto a
numeratore, quanto a denominatore:
1 

1
x 1 
 1
x x

x x
x
x 
a) lim


 

2

x   2 x  x
 2

2 x x
1
x
 1
x
 x 
1
1
N x 
x  1 0  1
lim
 lim
0 1
x   Dx  x   2
1
x
2

x 3  
3x  2

3x  2
x

b) lim



 
x   4 x  1  x  1 

4x  1  x  1
1
1
x  4   1  
x
x

N x 
 lim
x   Dx  x  
lim
2

x3  
 3  0 

x



 
3
1
1
4  0  1 0
4   1
x
x
34
c)
lim
x  
3x  4




x 2 x  
4

x 3  
3x  4
x




x 2 x
 2 1
x  x2  2  
x
x
4
4


x 3  
x 3  
x
x




x
2 1
2 1
x x 2 
x  
 
2
x
x
x
x
x


4

3
N x 
x
x
lim
 lim 
x   Dx  x   x x
2 1




2
x
x
x

d)
lim x
x  
 sgnx 
x 1
x3 1
  
x3  x2
x3 1
 

 
 sgnx 

x
x
3
4
x
2
x
1


2
x
x
x




30


1

3

1 0



 x
x 1
x3 1
 sgnx  x 2 
x 1
x3 1
 1
1
x 3 1  
1
 x   sgnx 
x , quindi
1
1 

1 3
x 3 1  3 
x
 x 

1

1
x 1
x
lim x 3
 lim  sgnx 

1
x  
x  1 x  
1 3

x



  1




35

con funzioni goniometriche

L’indeterminatezza si elimina procedendo come nel caso
x  sinx
x   2x  sinx
a) lim
x  sinx
x   2x  sinx
lim
0
.
0
 sinx 
sinx
x 1 

1

x  sinx
x 
x


 


sinx
sinx 

2x  sinx

2
x 2 

x
x 

sinx
1
sinx


x  1 0  1
 lim
 0
 ricorda che lim
sinx 2  0 2
x 
x  x


2
x
 arctgx 
arctgx
x 1 
 1
x  arctgx 
x  arctgx
x 
x
b) lim


 


1
1

2x  1
x   2x  1

2
x 2  
x
x

arctgx
1
x  arctgx
arctgx  2


x  1 0  1
lim
 lim

 0
 ricorda che lim
1

20 2
x   2x  1
x  
x   x


2
x

con funzioni esponenziali e logaritmiche

L’indeterminatezza si elimina procedendo come nel caso
a)
0
.
0
ln sin 2 x ln 2 sin x cos x  ln 2  ln sin x  ln cos x



ln sin x
ln sin x
ln sin x
lim
ln sin 2 x 

ln sin x 
lim
ln sin 2 x
ln sin x ln cos x  ln 2
0
 ln 2
 lim 


1
 0 1 0  1

ln sin x x  0   ln sin x ln sin x ln sin x   

x 0 
x 0 

36
b) lim
x 
3 x
e 1 x
3 x

 e
3 x
1
 lim
 -1  lim e 1 x  e 1 
e
x  1 - x
x 



e1 x  2
c) lim


1x
x  0  1  4e

2


e1 x  2
1  4e1 x

per x  0 



 lim e1 x  e1 0 ; e     
 x 0






 lim e1 x  e1 0 ; e    0 
 x 0 




  1  2 e1 x  lim
e1 x 1 e1 x  4 1 e1 x  4 x  0


d) lim x
 
x   e  1 
0


e1 x 1  2 e1 x
e 3x
e 3x
per x  0 
e 3x
per x   
e1 x  2

1  4e1 x
 lim
1  2 e1 x
x 0  1
e1 x  4

per x   
e 2x


e x  1 e x 1  1  1  1


ex
 ex 
e 3x
e 2x
 lim x
 lim
 
1
x   e  1 x  
1 x
e

1
4
37
3.3 caso    
    con funzioni razionali (intere e fratte)
a) Limite della ‘ funzione polinomio ’. Il limite per x   di un polinomio dà luogo
ad una somma algebrica di infiniti di ordini diversi (diversi esponenti) e può presentarsi la forma
indeterminata +  -  . Fra i vari infiniti prevale quello di ordine massimo, pertanto nel calcolo
si possono trascurare gli infiniti di ordine inferiore.


lim 2x 4  15x 3  6x 2  13  2  4  15  3  6  2  13 , quindi
x 
lim
x 


per x   
   
f x   
      per x   

15 6
13 
 
    è una f. indet.  2x 4  15x 3  6x 2  13  x 4  2  

2
4
x

x
x 




lim 2x 4  15x 3  6x 2  13  lim x 4  2  
x 
x  
x  1x  2   x  2
3 
1
3
 1
b) lim 









1  x 1  x 3 1  x  1  x  x 2
x  1 1  x 1  x 3 
1  x  x2
 x  2
lim f  x   lim
 1
x 1
x 1 1  x  x2


 


    con funzioni irrazionali
L’indeterminatezza si elimina trasformando opportunamente la funzione, di solito
mediante razionalizzazioni e raccoglimenti, in modo da riportare il limite alla forma

indeterminata del tipo
, o ad una forma di immediata interpretazione .

a) lim  x 2  1  x 2  1    - 

x  
lim f  x   lim
x 
x 
2
x2 1  x2 1


x2 1  x2 1 
2
0

2
x 1  x 1
2
2


38
3

x  1  3 2x    -  
x  
3

x  1  3 2x  3 x  12  3 2x x  1  3 2x 2 


3
3
b)
lim
x  1  2x 

3
x  1
2
 x 1
3
x  12  3 2x x  1  3 2x 2
3

x  1  3 2x   lim
x  
x   3
lim
3
3
x  2x  1  2x - 2x  4x
2

2
3
3
3
3
3
3
x  2x  1  2x - 2x  4x
2
2

3

x 2  2x  1  2x 2 - 2x  4x 2
2

x   3 1  2 x  1 x 2  3 2 - 2 x  3 4 


3 x
2

3
2



x 2 - 2 x   4x
2
3
3
2
1
3 1 2
x 1 x
1

 3 x1 
x

1 2 x 1 x


1

x  1  
x

x 1 2 x 1 x
2
2
3

x  1  3 2x   lim
x  
x   3
2x 
2
 x 1
1

x  1  
x

lim
c)

2x x  1 
3
 x 1
 x 1
3
3
2-2 x  4
3
2

2

1
x
3
2-2 x

1 2  4
3
3
3

4
 
lim  x 2  5 x  6  x    -  

x  
 x 2  5 x  6  x  x 2  5 x  6  x 


x 2  5x  6  x  
x 2  5x  6  x
5x  6

lim  x 2  5 x  6  x   lim

 x   x 2  5 x  6  x  
x  
5x  6
x5  6 x 
x  5x  6  x
2


2


x  5x  6  x x  1  5 x  6 x  x x 


56 x
x
50 5
lim  x 2  5 x  6  x   lim
 1 

 x   x 1  5 x  6 x 2  x x
11 2
x  
2

5x  6

39
    con funzioni goniometriche, esponenziali e logaritmiche
L’indeterminatezza si elimina trasformando opportunamente la funzione, in modo da
0 
riportare il calcolo a forme indeterminate del tipo , , e/o a limiti notevoli .
0 

1
1 
1
1
1  cosx - 2
a) lim 








21 - cosx sin 2 x 21 - cosx1  cosx
x  0  21 - cosx
sin 2 x 
cosx - 1
1
1
1


 lim f x   lim

21 - cosx1  cosx 21  cosx
4
x 0
x  0 21  cosx
b)
lim
x 0
lnsin2x  ln2x      

lim f x   lim ln
x 0 
c)
lim
x  
x 0 
d)
x  
lnsin2x  ln2x  ln
sin2x

2x
sin2x
sin2x
 ln lim
 ln1  0
2x
x  0  2x
ln 1 - 3x   ln 4 - 5x      
lim f x   lim ln
x  


ln 1 - 3x   ln 4 - 5x   ln
1 - 3x

4 - 5x
1 - 3x
1 - 3x
3
 ln lim
 ln
4 - 5x
5
x   4 - 5x
π
lim  x 2  1  arctgx  x             

2
x   
Dato che l’indeterminatezza non è dovuta ad arctgx, conviene scomporre il
limite nel modo seguente:
lim  x 2  1  arctgx  x   lim arctgx  lim  x 2  1  x  
 x  

x   
x   


1


  lim  x 2  1  x    lim
 0
 2 x   x 2  1  x 2
2 x   
2
40
3.4 caso 0
L’indeterminatezza si elimina trasformando opportunamente la funzione, in modo da
0 
riportare il calcolo a forme indeterminate del tipo , , e/o a limiti notevoli o di
0 
immediata interpretazione.
x
x
 sin 2
x
x 
x
x


2
2  sinx 
a) lim  cos  sin  tgx   0     cos  sin  tgx 
x
x cosx
π
2
2 
2
2

x  
cos  sin
2
2
2
cosx
sinx
sinx




x
x cosx
x
x
cos  sin
cos  sin
2
2
2
2
sinx
1
2
lim f x   lim


x
x
π
π
2
2
x
x  cos  sin
2
2
2
2
cos2
1 
1 
1
x
  1
 1
b) lim  x sin 
 x  sin 
  0  
  xsin 
x sinx 
x sinx
x 0  
 x sinx 
1
x 

lim f x   lim  xsin 
 0  1  1
x sinx 
x 0
x 0 
c)
lim
x  
 xe
1x
  0
1

et 1
lim f x   lim
 lne  1
t
x  
t 0
pongo x 

1
1
, t  ; se x    t  0
t
x
41
3.5 casi 00, 0, 1
Ognuna delle forme indeterminate 00, 0, 1 scaturisce da una funzione del tipo
F(x)=[f(x)]g(x) , pertanto l’indeterminatezza si trasforma nel tipo 0, quindi anche
0 
nelle forme , , ricorrendo all’identità logaritmica ( a = e lna , con a>0 )
0 
f x gx   egx lnf x  .
L’indeterminatezza si elimina trasformando opportunamente la funzione, in modo da
0 
riportare il calcolo a forme indeterminate del tipo , , e/o a limiti notevoli o di
0 
immediata interpretazione.
1 

a) lim 1 

x  
1 x2 
2x 2 1
 1  pongo t  x 2  1 ; x   t - 1 ; se x    t  
 1
lim f x   lim 1  
t
x 
t   
2t 1

t 2
1 
  1   1  2
 lim 1     1     e 1  e 2
t    t  
t   


42
Asintoti
Definizione Sia y = f(x) l’equazione di una funzione,  il suo grafico, P( x ; f(x) )
un punto di  e PH la distanza di P da una retta r.
Diciamo che r è un asintoto per la funzione f(x), se la distanza PH tende a zero
quando P si allontana indefinitamente, lungo , dall’origine:
lim PH  0 , con P   .
OP  
Possono verificarsi tre casi:
1) Asintoto verticale
Si dice che la funzione f (x) presenta un asintoto verticale di equazione
x = x0 
lim f x   
x  x 0
 
oppure
lim f x   
x  x 0
 
Dalla definizione si deduce che una
funzione può ammettere asintoti
verticali solamente in punti singolari di
seconda specie ( x0 è un punto singolare di
seconda specie).
43
Esempi:
a) f x  
lim
x 0
1
x2
1

x
2
,
Df  R 0
 
 x  0 è as. vert.
b) f x   ln x , Df  R 0 ;
lim ln x   
x 0 
 x  0 è as. verticale
2) Asintoto orizzontale
Si dice che la funzione f (x), avente dominio Df illimitato, presenta un asintoto
orizzontale di equazione
y=l 
lim f x   l
x  
oppure
lim f x   l
x  
Una funzione con Df illimitato può
avere uno o al più due asintoti
orizzontali.
Esempi:
44
a) f x   arctgx , Df  R ;
 


lim arctg x   2

x  
 
 2
b) f x  
 y
sinx
, Df  R 0 ;
x

2
e y

2
sono asintoti orizzontal i
lim f x   0  y  0 è asintoto orizzontal e
x 
(Es. 6.7 – Limiti)
3) Asintoto obliquo
Si dice che la funzione f (x), avente dominio Df illimitato, presenta un asintoto
obliquo di equazione y = mx + q ,  sono soddisfatte tutte le seguenti condizioni:
1)
2)
lim f x   
x  
f x 
l
x   x
lim
 
oppure
In questo caso poniamo
3)
lim f x   mx   l1
x  
lim f x   
oppure
f x 
l
x   x
lim
 
con l finito e diverso da zero
m=l .
oppure
In questo caso poniamo
x  
lim f x   mx   l1
x  
q = l1 .
con l1 finito
45
Se la prima condizione vale sia per
x -  che per x  + , bisogna
calcolare i limiti 2) e 3) separatamente
e potranno esserci due asintoti obliqui
differenti.
Sia gli asintoti obliqui che quelli
orizzontali possono essere attraversati,
al finito, dal grafico della funzione.
Dimostrazione (vedi la figura della definizione generale)
Considero la funzione di equazione y = f(x) e di grafico , la retta-asintoto r di
equazione y = mx + q , un punto P( x ; f(x) ) e la distanza PH di P da  .
La condizione
lim PH  0 , con P   , dettata dalla definizione generale di
OP  
asintoto, implica che, al tendere a zero di PH , tenda a zero la differenza fra le
ordinate di H e P, quindi:
lim PH  0
OP  

lim y H  y P   lim mx  q - f(x)   0 e anche :
x 
x 
mx  q - f(x) 0
 0 ;
x

x 
mx  q - f(x) mx q f x 
q f x 
semplifico

 
m 
, torno al limite 
x
x
x
x
x
x
q f x  
f(x)
f(x)

lim  m  
0

lim
m
  m  0  lim
x
x 
x  
x  x
x  x
a) lim
b) lim mx  q - f(x)   lim mx  f x   q  0
x 
x 

lim f x  - mx   q .
x 
Abbiamo dimostrato che:
la retta r: y = mx + q è asintoto obliquo per la funzione f(x)

f x 
lim f x    e lim
 m e lim f x   mx   q .
x 
x  x
x 
46
Esempio:
determinare l’eventuale asintoto obliquo della funzione
x2
f x  
,
4x  1
 1
D f  R -   .
 4
Verifico, nell’ordine, le condizioni 1), 2), 3) :
x2
 

1) lim f  x   lim
x  
x   4 x  1
2)
lim
x  
f x 
x2
x2
1
1
 lim
 lim

,
quindi
m

x
4
x   x4 x  1
x   4 x 2  x 4

 x2
x
4x2  4x 2  x
3) lim  f x   mx  lim 
   lim

44 x  1
x  
x    4 x  1 4 
x  
x
1
1
 lim

,
quindi q  
16
16
x   16 x  4
Sono state verificate tutte le condizioni, pertanto la funzione f(x) ammette asintoto
1
1
obliquo di equazione y  x 
.
4
16