Gli Ottoniani o numeri di Cayley
Ripercorrendo formalmente la costruzione che fa passare dal campo
complesso al corpo dei quaternioni, è possibile introdurre gli
ottoniani.
Un ottoniano o numero di Cayley è per definizione una coppia di
quaternioni.
L’insieme degli ottoniani viene denotato con Ca = H H.
Le due operazioni + e vengono definite ponendo:
(p1, p2) + (q1, q2) = (p1 + q1, p2 + q2)
(p1, p2) (q1, q2) = (p1 q1 - q2 p2, q2 p1 + p2 q1)
dove p1, p2, q1, q2 sono quaternioni.
Si ottiene che (Ca, +) è un gruppo abeliano.
La moltiplicazione è distributiva a destra ed a sinistra rispetto
all’addizione, però non è associativa.
Si chiama coniugato di c = (p, q), l’ottoniano c = (p, - q). Si ha c c R,
c c 0 e si definisce la norma di c come c = (c c )1/2.
Si ha c = 0 c = 0.
(Ca*, ) è dotato di elemento neutro (1,0) H H ed ogni c = (p, q) 0
ha inverso in c -1 = c c2, ma ovviamente, mancando l’associatività,
(Ca*, ) non ha struttura di gruppo.
Inoltre se c d = 0, si ha 0 = c d = c d da cui c = 0 oppure d = 0,
e quindi c = 0 oppure d = 0. Questa proprietà significa che Ca non ha
divisori dello zero e (Ca, +, ) rientra in un tipo di struttura algebrica
che prende il nome di algebra con divisione.
Infine, poiché, come insieme, H = R4, si ha che Ca = R8 e l’insieme
dei numeri di Cayley di norma 1, identificabile con la sfera S7 di
raggio 1 e centro 0 in R8, non ha struttura di gruppo, sempre perché
non vale la proprietà associativa della moltiplicazione.
