Dai numeri naturali agli ottoniani
Quando, nella costruzione dei numeri, si passa dall’insieme N dei
numeri naturali agli insiemi: Z dei numeri interi, Q dei numeri
razionali, R dei numeri reali, si guadagna in proprietà operative su
tali numeri, ottenendo, di volta in volta, strutture algebriche sempre
più ricche. Le operazioni fondamentali sono l’addizione denotata con
“+” e la moltiplicazione denotata con “ ”.
(N,+) ed (N,) costituiscono entrambi un monoide unitario
commutativo, cioè le due operazioni sono associative, commutative e
hanno elemento neutro rispettivamente nello 0 e nel numero 1.
Risulta infatti: n N : n + 0 = n, n 1= n.
(Z,+) diventa un gruppo abeliano o commutativo poiché, oltre alle
proprietà descritte per (N,+), ogni elemento di Z possiede simmetrico
rispetto alla + , cioè:
p Z q Z tale che p + q = 0, e tale elemento viene chiamato
opposto di p e denotato con - p.
(Z,) è un monoide commutativo unitario con 1 come elemento
neutro. Esso però non è un gruppo, poiché 1 e -1 sono i suoi unici
elementi dotati di simmetrico rispetto a “” .
Ricordiamo che: p ha simmetrico se q Z tale che p q = 1.
Con la costruzione dei razionali si ottiene una struttura (Q,+,) più
ricca, detta corpo commutativo o campo, in quanto (Q,+) è un
gruppo abeliano, e posto Q* = Q-0, (Q*,) è anche esso un gruppo
commutativo, cioè ogni numero razionale non nullo ammette inverso
(simmetrico) per la moltiplicazione, e la moltiplicazione è distributiva a
destra e a sinistra rispetto alla addizione.
La stessa situazione si presenta per (R,+,), che risulta essere un
campo totalmente ordinato e archimedeo, cioè R possiede una
relazione di ordine totale, denotata “ ”, definita da:
x, y R
x y z R, z 0 tale che x + z = y,
che è compatibile con le due operazioni +, e verifica l’assioma
archimedeo.
Relazione di ordine significa che gode delle tre proprietà:
1) riflessività:
xR
x x
2) antisimmetria:
x, y R
x y, y x x=y
3) transitività:
x, y, z R
x y ,y z x z
Ordine totale:
x, y R
x y y x
compatibilità:
x, y, z R
x y x+z y+z
x, y R
0 x, 0 y 0 xy
archimedeo:
nx
x, y R, x 0, y 0 n N, n 0, tale che y
Nel passaggio dal campo R dei numeri reali al campo C dei numeri
complessi, se da un lato si arricchisce la struttura, consentendo
tutte le operazioni algebriche, inclusa l’estrazione di radici, che in R
non è sempre possibile, d’altro canto si perde l’ordinamento del
campo. In accordo con l’assioma della scelta, C, come qualsiasi altro
insieme, ammette una relazione di buon ordine, che però non può, in
nessun caso, essere compatibile con le operazioni + e in C.
Una relazione di ordine totale su un insieme X si dice di buon ordine se
ogni parte non vuota di X possiede il più piccolo elemento.
A questo punto si può pensare di procedere in modo formalmente
analogo per costruire nuovi insiemi numerici e studiarne le proprietà.
Se come insieme si ha C = R R= R2 , cosa si può ottenere con C C
= R4 ?
L’insieme che si ottiene può essere dotato di una struttura di corpo
detto corpo dei Quaternioni e denotato con H. Si perde, dunque,
nel passaggio da C a H, la commutatività della moltiplicazione.
L’ulteriore passaggio, cioè la costruzione di una struttura su H H =
R8, denotato con Ca, che dà vita ai cosiddetti Ottoniani o numeri di
Cayley, paga come prezzo la rinuncia alla associatività della
moltiplicazione.
Così, mentre S1 (circonferenza di raggio 1 e centro 0 in R2) ha una
struttura di gruppo abeliano, perché identificabile con il sottogruppo
di (C*,) costituito dai numeri complessi di norma 1, e S3 ha una
struttura di gruppo non commutativo, perché identificabile con il
sottogruppo di (H*,) costituito dai quaternioni di norma 1, S7 non ha
più struttura di gruppo, essendo venuta meno l’associatività in R8.
Si può infatti provare che nessuna sfera Sn Rn+1, n 1,3 ammette
una struttura di gruppo.
