Matematica Discreta corso B a

Corso di Laurea in Informatica –Laurea di I livello D.M.270
Programma definitivo di Matematica Discreta
a.a. 2009-10
Docente Angela Farinola
N° Ore lezioni frontali
40
N° Crediti 5
N° Ore esercitazioni
45
N° Crediti 3
N° Ore studio individuale
115
Totale crediti 8
Prerequisiti : proprieta’ elementari dei numeri interi, razionali e reali. Calcolo numerico e letterale. Polinomi
e relative operazioni. Equazioni di 1° e 2° grado e loro risoluzione. Risoluzione di semplici disequazioni.
Obiettivi formativi : Fornire il linguaggio e nozioni di base della matematica .Dare strumenti e tecniche che
permettano allo studente di maturare capacita’ logiche di ragionamento per poter analizzare e risolvere
problemi di tipo matematico e non, attraverso lo sviluppo di alcuni fondamentali argomenti della matematica
discreta.
Contenuto
Cenni di teoria degli insiemi . 4ore
Concetto di insieme . Rappresentazioni di un insieme. Operazioni tra insiemi e loro fondamentali proprieta'.
Concetto di n-pla ordinata e di prodotto cartesiano di n insiemi. Caso particolare di n=2 e
proprieta'.Cardinalita' di un insieme finito e cardinalita' dell'unione di due insiemi finiti e del prodotto di
insiemi finiti.
Cenni di logica. 8 ore
La logica delle proposizioni : le proposizioni,i connettivi logici e loro uso nella composizione di
proposizioni.Formule proposizionali e tavole di verita’.Le tautologie e le contraddizioni.Le tautologie come
regole di inferenza in una dimostrazione.Implicazione logica ed equivalenza logica e loro legame con le
tautologie.
.La logica dei predicati : i predicati,i quantificatori e loro uso per quantificare un predicato. Negazione di
predicati quantificati. Metodi di dimostrazione:diretta, indiretta, per assurdo.Applicazione delle regole di
inferenza in una dimostrazione.
L'induzione matematica e le relazioni ricorsive . 6 ore
Il principio di induzione completa come tecnica di dimostrazione. La cardinalita' dell'insieme delle parti di un
insieme finito.Definizioni ricorsive di sequenze e relazioni ricorsive. Formula chiusa di una relazione
ricorsiva. In particolare la relazione ricorsiva e formula chiusa della sequenza dei numeri di Fibonacci come
soluzione del problema di modellizzazione della crescita di una popolazione di conigli. La relazione ricorsiva
e formula chiusa della sequenza dei numeri di Lucas come soluzione al gioco della torre di Hanoi.
Combinatoria. 4 ore
La regola del prodotto ,la regola della somma, il principio di inclusione-esclusione e loro applicazione a
problemi concreti di conteggio. Il coefficiente binomiale. Il triangolo di Pascal e sua applicazione allla
potenza n-sima di un binomio. La cardinalita' dell'insieme delle parti di cardinalita' k, di un insieme di
cardinalita' n. Applicazione a problemi pratici.
I numeri interi. 7 ore
L'algoritmo della divisione . I numeri primi . Esistenza di infiniti numeri primi. Il teorema fondamentale
dell'aritmetica e sua applicazione per determinare il numero dei divisori positivi di un intero.Numeri irriducibili
e loro equivalenza con i numeri primi. Test di primalita’:: il crivello di Eratostene e il metodo di Fermat.
Massimo comune divisore di due interi e l'algoritmo euclideo delle divisioni successive per determinare il
M.C.D. positivo di due interi e una identita’ di Bezout. Numeri tra loro coprimi e caratterizzazione. Minimo
comune multiplo di due interi e sua determinazione.Le equazioni diofantee: compatibilita’ e soluzioni*
Applicazioni a problemi pratici.
Relazioni e funzioni. 10 ore
Relazioni binarie . Rappresentazione di una relazione binaria tra insiemi finiti in forma matriciale e
mediante un grafo diretto. Relazioni funzionali ed applicazioni. Applicazioni ingettive,surgettive,bigettive.
L'applicazione composta e proprieta'. Applicazioni invertibili e l' applicazione inversa di una bigezione.
Numero delle applicazioni tra insiemi finiti, numero delle applicazioni ingettive e delle bigezioni tra insiemi
finiti.Permutazioni su n oggetti .
Relazioni di equivalenza e congruenze lineari. 10 ore
Relazioni di equivalenza su un insieme, classi di equivalenza e proprieta'. L'insieme quoziente .Partizioni di
un insieme e legame tra partizioni ed insiemi quozienti.. La relazione di congruenza” modulo n “e sue
proprieta'.L'insieme Zn delle classi resto. . Il piccolo teorema di Fermat. La funzione di Eulero. Il teorema di
Eulero-Fermat* e sua applicazione nel sistema R.S.A. nel campo della crittologia.
Congruenze lineari: loro compatibilita’ , determinazione delle soluzioni e delle soluzioni non congrue*Sistemi
di congruenze lineari. Il teorema cinese del resto* e sue applicazioni.
Strutture algebriche 23 ore
Operazioni binarie su un insieme, operazioni associative, commutative, concetto di elemento neutro e di
elemento invertibile. Relazioni di equivalenza compatibili rispetto ad una operazione ed operazioni indotte
sul quoziente con relative proprietà’.
Monoidi: concetto di monoide .Esempi tra cui il monoide delle parole. Potenze in un monoide e loro
proprieta’*. Morfismi ed isomorfismi di monoidi.Il monoide
Z n ,e caratterizzazione dei suoi elementi
invertibili. Sottomonoidi. Monoide generato da una parte e sottomonoidi ciclici..Monoidi ciclici.
Gruppi: concetto di gruppo. Potenze in un gruppo e loro proprieta’*.Le leggi di cancellazione. Sottogruppi e
loro caratterizzazione* Morfismi ed isomorfismi tra gruppi e loro proprieta’.Sottogruppi generati da una parte
e sottogruppi ciclici. Gruppi ciclici . Periodo di un elemento di un gruppo e proprieta’ Determinazione e
numero dei generatori di un gruppo ciclico. Teorema di classificazione dei gruppi ciclici*.. Teorema di
Lagrange* e sue conseguenze. Il gruppo prodotto diretto di gruppi .Proprieta’ dei gruppi ciclici.
Esempi significativi di gruppi:Il gruppo (Zn,+),il gruppo( Sn ,  ) delle permutazioni su n oggetti,cicli,
trasposizioni,classe di una permutazione, il gruppo degli elementi invertibili di un monoide.
Anelli, corpi e campi :Definizioni, divisori dello zero ed elementi unitari di un anello. Esempi significativi:
l’anello Z degli interi come anello privo di divisori dello zero., l’anello Zn delle classi resto,il campo Q dei
Z p con p primo. L’anello prodotto diretto di anelli.
Applicazione del teorema cinese del resto per operare in Z n , con n esprimibile come prodotto di interi a
numeri razionali,il campo R dei numeri reali, il campo
due a due coprimi.Gli anelli di Boole e loro semplici proprieta’. L’anello di Boole delle n-ple ordinate di
elementi di
Z2.
L’anello dei polinomi a coefficienti in un campo K, (K[x],+,·) e sue analogie con l’anello degli interi. Algoritmo
della divisione..Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due polinomi e loro determinazione.
Polinomi riducibili.Teorema di Ruffini e sua conseguenza sulla riducibilita’ di un polinomio di grado  2 .
Polinomi irriducibili , teorema di fattorizzazione* e criteri di riducibilita’ di polinomi in relazione al loro grado.
Relazioni d’ordine e reticoli. 13 ore
Relazioni d’ordine su un insieme e relazioni di ordine totale .Diagramma di Hasse di un insieme ordinato
finito. Elementi minimali e massimali , massimo e minimo di un insieme ordinato.
Maggioranti,minoranti,estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di un insieme ordinato.
Reticoli ordinati,reticoli algebrici e loro equivalenza.Esempi di reticoli tra cui: Il reticolo dei divisori di un
intero, il reticolo delle parti di un insieme, il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Sottoreticoli, morfismi ed
isomorfismi di reticoli .I reticoli finiti isomorfi hanno lo stesso diagramma di Hasse. Reticoli distributivi.I
reticoli isomorfi a reticoli distributivi sono distributivi. I reticoli
M 3 , N5
e relative proprieta’.
Caratterizzazione dei reticoli distributivi*. Reticoli limitati, concetto di complemento di un elemento. Unicita’
del complemento ( se esiste) in un reticolo distributivo.Reticoli complementatii e reticoli di Boole. Leggi di de
Morgan* Morfismi ed isomorfismi di reticoli di Boole Teorema di classificazione dei reticoli di Boole finiti* e
loro cardinalita’. Sottoreticoli di Boole. Il piu’ semplice reticolo di Boole.
N.B. Dei teoremi contrassegnati con
 non e’ richiesta la dimostrazione.
Testo adottato
Piacentini-Cattaneo, “ Matematica discreta e applicazioni” Zanichelli
Testi consigliati
M.Bianchi-A.Gillio, Introduzione alla Matematica Discreta,McGraw-Hill
Kenneth H. Rosen ,Discrete Mathematics and its applications,McGraw-Hill
Metodi di valutazione
Prova scritta : SI
Prova orale : SI
Prova di laboratorio :NO
Prove intermedie di autovalutazione SI
Anno di corso:I Semestre I
Data inizio lezioni: 29 Settembre 2009
Data fine lezioni : 15 Gennaio 2010