Corso di Laurea in Informatica –Laurea di I livello D.M.270 Programma definitivo di Matematica Discreta a.a. 2009-10 Docente Angela Farinola N° Ore lezioni frontali 40 N° Crediti 5 N° Ore esercitazioni 45 N° Crediti 3 N° Ore studio individuale 115 Totale crediti 8 Prerequisiti : proprieta’ elementari dei numeri interi, razionali e reali. Calcolo numerico e letterale. Polinomi e relative operazioni. Equazioni di 1° e 2° grado e loro risoluzione. Risoluzione di semplici disequazioni. Obiettivi formativi : Fornire il linguaggio e nozioni di base della matematica .Dare strumenti e tecniche che permettano allo studente di maturare capacita’ logiche di ragionamento per poter analizzare e risolvere problemi di tipo matematico e non, attraverso lo sviluppo di alcuni fondamentali argomenti della matematica discreta. Contenuto Cenni di teoria degli insiemi . 4ore Concetto di insieme . Rappresentazioni di un insieme. Operazioni tra insiemi e loro fondamentali proprieta'. Concetto di n-pla ordinata e di prodotto cartesiano di n insiemi. Caso particolare di n=2 e proprieta'.Cardinalita' di un insieme finito e cardinalita' dell'unione di due insiemi finiti e del prodotto di insiemi finiti. Cenni di logica. 8 ore La logica delle proposizioni : le proposizioni,i connettivi logici e loro uso nella composizione di proposizioni.Formule proposizionali e tavole di verita’.Le tautologie e le contraddizioni.Le tautologie come regole di inferenza in una dimostrazione.Implicazione logica ed equivalenza logica e loro legame con le tautologie. .La logica dei predicati : i predicati,i quantificatori e loro uso per quantificare un predicato. Negazione di predicati quantificati. Metodi di dimostrazione:diretta, indiretta, per assurdo.Applicazione delle regole di inferenza in una dimostrazione. L'induzione matematica e le relazioni ricorsive . 6 ore Il principio di induzione completa come tecnica di dimostrazione. La cardinalita' dell'insieme delle parti di un insieme finito.Definizioni ricorsive di sequenze e relazioni ricorsive. Formula chiusa di una relazione ricorsiva. In particolare la relazione ricorsiva e formula chiusa della sequenza dei numeri di Fibonacci come soluzione del problema di modellizzazione della crescita di una popolazione di conigli. La relazione ricorsiva e formula chiusa della sequenza dei numeri di Lucas come soluzione al gioco della torre di Hanoi. Combinatoria. 4 ore La regola del prodotto ,la regola della somma, il principio di inclusione-esclusione e loro applicazione a problemi concreti di conteggio. Il coefficiente binomiale. Il triangolo di Pascal e sua applicazione allla potenza n-sima di un binomio. La cardinalita' dell'insieme delle parti di cardinalita' k, di un insieme di cardinalita' n. Applicazione a problemi pratici. I numeri interi. 7 ore L'algoritmo della divisione . I numeri primi . Esistenza di infiniti numeri primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica e sua applicazione per determinare il numero dei divisori positivi di un intero.Numeri irriducibili e loro equivalenza con i numeri primi. Test di primalita’:: il crivello di Eratostene e il metodo di Fermat. Massimo comune divisore di due interi e l'algoritmo euclideo delle divisioni successive per determinare il M.C.D. positivo di due interi e una identita’ di Bezout. Numeri tra loro coprimi e caratterizzazione. Minimo comune multiplo di due interi e sua determinazione.Le equazioni diofantee: compatibilita’ e soluzioni* Applicazioni a problemi pratici. Relazioni e funzioni. 10 ore Relazioni binarie . Rappresentazione di una relazione binaria tra insiemi finiti in forma matriciale e mediante un grafo diretto. Relazioni funzionali ed applicazioni. Applicazioni ingettive,surgettive,bigettive. L'applicazione composta e proprieta'. Applicazioni invertibili e l' applicazione inversa di una bigezione. Numero delle applicazioni tra insiemi finiti, numero delle applicazioni ingettive e delle bigezioni tra insiemi finiti.Permutazioni su n oggetti . Relazioni di equivalenza e congruenze lineari. 10 ore Relazioni di equivalenza su un insieme, classi di equivalenza e proprieta'. L'insieme quoziente .Partizioni di un insieme e legame tra partizioni ed insiemi quozienti.. La relazione di congruenza” modulo n “e sue proprieta'.L'insieme Zn delle classi resto. . Il piccolo teorema di Fermat. La funzione di Eulero. Il teorema di Eulero-Fermat* e sua applicazione nel sistema R.S.A. nel campo della crittologia. Congruenze lineari: loro compatibilita’ , determinazione delle soluzioni e delle soluzioni non congrue*Sistemi di congruenze lineari. Il teorema cinese del resto* e sue applicazioni. Strutture algebriche 23 ore Operazioni binarie su un insieme, operazioni associative, commutative, concetto di elemento neutro e di elemento invertibile. Relazioni di equivalenza compatibili rispetto ad una operazione ed operazioni indotte sul quoziente con relative proprietà’. Monoidi: concetto di monoide .Esempi tra cui il monoide delle parole. Potenze in un monoide e loro proprieta’*. Morfismi ed isomorfismi di monoidi.Il monoide Z n ,e caratterizzazione dei suoi elementi invertibili. Sottomonoidi. Monoide generato da una parte e sottomonoidi ciclici..Monoidi ciclici. Gruppi: concetto di gruppo. Potenze in un gruppo e loro proprieta’*.Le leggi di cancellazione. Sottogruppi e loro caratterizzazione* Morfismi ed isomorfismi tra gruppi e loro proprieta’.Sottogruppi generati da una parte e sottogruppi ciclici. Gruppi ciclici . Periodo di un elemento di un gruppo e proprieta’ Determinazione e numero dei generatori di un gruppo ciclico. Teorema di classificazione dei gruppi ciclici*.. Teorema di Lagrange* e sue conseguenze. Il gruppo prodotto diretto di gruppi .Proprieta’ dei gruppi ciclici. Esempi significativi di gruppi:Il gruppo (Zn,+),il gruppo( Sn , ) delle permutazioni su n oggetti,cicli, trasposizioni,classe di una permutazione, il gruppo degli elementi invertibili di un monoide. Anelli, corpi e campi :Definizioni, divisori dello zero ed elementi unitari di un anello. Esempi significativi: l’anello Z degli interi come anello privo di divisori dello zero., l’anello Zn delle classi resto,il campo Q dei Z p con p primo. L’anello prodotto diretto di anelli. Applicazione del teorema cinese del resto per operare in Z n , con n esprimibile come prodotto di interi a numeri razionali,il campo R dei numeri reali, il campo due a due coprimi.Gli anelli di Boole e loro semplici proprieta’. L’anello di Boole delle n-ple ordinate di elementi di Z2. L’anello dei polinomi a coefficienti in un campo K, (K[x],+,·) e sue analogie con l’anello degli interi. Algoritmo della divisione..Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due polinomi e loro determinazione. Polinomi riducibili.Teorema di Ruffini e sua conseguenza sulla riducibilita’ di un polinomio di grado 2 . Polinomi irriducibili , teorema di fattorizzazione* e criteri di riducibilita’ di polinomi in relazione al loro grado. Relazioni d’ordine e reticoli. 13 ore Relazioni d’ordine su un insieme e relazioni di ordine totale .Diagramma di Hasse di un insieme ordinato finito. Elementi minimali e massimali , massimo e minimo di un insieme ordinato. Maggioranti,minoranti,estremo superiore, estremo inferiore di un sottoinsieme di un insieme ordinato. Reticoli ordinati,reticoli algebrici e loro equivalenza.Esempi di reticoli tra cui: Il reticolo dei divisori di un intero, il reticolo delle parti di un insieme, il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Sottoreticoli, morfismi ed isomorfismi di reticoli .I reticoli finiti isomorfi hanno lo stesso diagramma di Hasse. Reticoli distributivi.I reticoli isomorfi a reticoli distributivi sono distributivi. I reticoli M 3 , N5 e relative proprieta’. Caratterizzazione dei reticoli distributivi*. Reticoli limitati, concetto di complemento di un elemento. Unicita’ del complemento ( se esiste) in un reticolo distributivo.Reticoli complementatii e reticoli di Boole. Leggi di de Morgan* Morfismi ed isomorfismi di reticoli di Boole Teorema di classificazione dei reticoli di Boole finiti* e loro cardinalita’. Sottoreticoli di Boole. Il piu’ semplice reticolo di Boole. N.B. Dei teoremi contrassegnati con non e’ richiesta la dimostrazione. Testo adottato Piacentini-Cattaneo, “ Matematica discreta e applicazioni” Zanichelli Testi consigliati M.Bianchi-A.Gillio, Introduzione alla Matematica Discreta,McGraw-Hill Kenneth H. Rosen ,Discrete Mathematics and its applications,McGraw-Hill Metodi di valutazione Prova scritta : SI Prova orale : SI Prova di laboratorio :NO Prove intermedie di autovalutazione SI Anno di corso:I Semestre I Data inizio lezioni: 29 Settembre 2009 Data fine lezioni : 15 Gennaio 2010