Universita’ di Udine - Unita’ di Ricerca in Didattica della Fisica
MQUD – Scheda 5
Cognone/Nome ___________________________________ Scuola ________________________ Data _________________
Scheda 5. Dai concetti al formalismo
Scheda 4. Dai concetti al formalismo
Il principio di sovrapposizione lineare.
Il contesto fenomenologico della polarizzazione della luce consente di avviare alla
formalizzazione del quadro concettuale. Costituisce obiettivo di questa scheda la
rappresentazione formale dello stato di polarizzazione di un fotone, del principio di
sovrapposizione lineare quantistico, della probabilità di transizione tra stati.
N.B. I vettori (versori) vengono rappresentati con lettere in grassetto – es.: V
In carattere normale indicano gli stati – es.: V indica lo stato di polarizzazione verticale.
1. Stati quantistici e vettori.
A_Si allineano due polaroid F1 ed F2, che hanno direzioni permesse individuate dal versore U e
in quella del versore W [(U▪ U)=1 e (W▪ W)=1].
F1
polaroid
Fotoni
U
incidenti
F2
W
U
W
Su F1 incide un fascio di N fotoni.
A1. Se si indica con l'angolo formato da U e W, qual è la probabilità P che un fotone
trasmesso da F1 venga trasmesso anche da F2? ___cos2____
A2. Il prodotto scalare tra i vettori W e U é dato da: (WU) __ cos_______
A3. Come si può esprimere P per mezzo per prodotto scalare(WU)? P=cos2=(WU)2
A1_Si fissa la direzione permessa di F2 (cioè si fissa W).
La probabilità di trasmissione di un fotone che incide su F2:
X è completamente definita da U
è definita da U e da qualche altro fattore (specificare quale)______
non dipende da U
Lo stato del fotone prima di incidere su F2:
X è completamente definito quando è definito U
è definito assegnando U e qualche altro fattore (specificare quale)______
non dipende da U
A2_ Se si fissa F2 in modo che la sua direzione permessa sia individuata dal vettore W’W,
quale delle risposte alle domande del punto A1 cambieresti? Spiega
___Nessuna: la probabilità di trasmissione è ancora definita unicamente da U, come pure lo stato
del fotone.
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A3_ Si può concludere che il comportamento statistico di un fotone che incide su F2:
X è completamente determinato da U per qualsiasi W
è determinato da U e qualche altro fattore (specificare quale)_____ per qualsiasi W
non dipende da U
A4_ Si può rappresentare lo stato del fotone trasmesso da F1 con un vettore u//U. Tale
associazione é sufficiente per riprodurre i risultati sperimentali (la legge di Malus)? Spiega
___SI. Con esso si può riprodurre la legge fenomenologica di Malus, e in particolare si possono
fare le previsioni certe nelle situazioni opportune.
A5_ Lo stato del fotone trasmesso da F2 é rappresentato da:
u//U
X w//W
da__________
B_ La probabilità P rappresenta la probabilità di transizione fra due stati del fotone. Esplicita
questa affermazione alla luce del semplice formalismo che é stato introdotto.
Nell’interazione con un polaroid quando un fotone viene trasmesso da un polaroid a causa
dell’interazione con esso il suo stato cambia da quello rappresentato dal versore u a quello
rappresentato dal versore v.
Il fatto che lo stato u di un fotone sia convenientemente espresso da un vettore u porta ad
indagare le conseguenze che ne derivano sul piano formale. Esse sono sintetizzate dal principio
di sovrapposizione quantistico.
2. Il principio di sovrapposizione
A_Un fotone nello stato rappresentato dal versore u incide su:
un polaroid con direzione permessa individuata dal versore H.
Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? ___(Hu)2________
un polaroid con direzione permessa individuata dal versore V, con V H.
Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? __(Vu)2=1-(Hu)2_______
B_Il versore u può essere espresso con la seguente combinazione lineare dei vettori v//V e h//H:
u=1v+2h
Completare le seguenti espressioni:
hu=h(1v+2h) = 1 hv+2 hh= ___2______________
vu=v(1v+2h) = 1 vv+2 vh= _____1____________
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C_Dal risultato precedente si può concludere che (collegare le caselle con frecce su cui riportare
dei verbi appropriati in modo da ottenere delle frasi compiute – distinguere i due casi utilizzando
in uno la linea continua e nell’altro la linea tratteggiata - - - ->):
Poiché u è un versore, si ha : [(u▪ u)=1]
E anche: (u▪ u)= (1v+2h) (1v+2h) =__(1)2+(2)2_______________=1
Quale interpretazione si può dare alla somma:
?
____La probabilità che in seguito all’interazione con un polaroid verticale il fotone sia
trasmesso (con polarizzazione V) o sia assorbito è uguale a 1.
Qual è la probabilità che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato dal versore u, dopo
aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si trovi o nello stato H o nello stato V
___22 è la probabilità che si trovi nello stato H
___12 è la probabilità che si trovi nello stato V
Si può affermare con certezza che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato da u, dopo
aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si troverà nello stato V (nello stato H)?
spiegare : si può parlare solo in termini di probabilità
D_Casi certi e stati ortogonali.
Un fotone nello stato h ha probabilità __1_ di essere trasmesso da un Polaroid H.
Un fotone nello stato h ha probabilità _0__ di essere trasmesso da un Polaroid V.
Un fotone nello stato v ha probabilità _1__ di essere trasmesso da un Polaroid V.
Un fotone nello stato v ha probabilità _0_ di essere trasmesso da un Polaroid H.
La probabilità di transizione hv o vh é uguale: P= (hv)2=__0____
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Come già discusso in precedenza, le proprietà associate a fotoni nello stato V e fotoni nello stato
h sono mutuamente esclusive. Gli stati in cui si trovano tali fotoni sono rappresentati da:
X
vettori mutuamente ortogonali
vettori fra loro paralleli
vettori che formano un angolo =___
Due stati di dicono ortogonali se le proprietà che li caratterizzano sono mutuamente esclusive.
2_ Esplorazione di ipotesi
Nella scheda 2 abbiamo esplorato la possibilità che un fascio di fotoni con polarizzazione a 45°
sia composto per metà da fotoni con polarizzazione verticale e per metà da fotoni con
polarizzazione orizzontale (ipotesi A)
A_In questo schema, (1)2 rappresenta:
la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *)
X la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà )
altro (specificare)__________
In questo schema, (2)2 rappresenta:
X la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *)
la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà )
altro (specificare)__________
B_Un fascio di fotoni nello stato rappresentato da u incide su un polaroid con direzione permessa
W.
Poiché il versore u può essere espresso da u=1v+2h, la probabilità che un fotone venga
trasmesso dal polaroid è data da:
P(D) =P(u w)=(uw)2=[(1v+2h) w]2 = [(1 (vw) +2(h w))]2 =
= (1)2 (vw) 2 + (2)2 (h w)2+ 2 (12 (vw) (h w)
(°°)
Il fattore (hw) 2 fornisce la probabilità P(D|h) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone
possieda abbia polarizzazione orizzontale
Il fattore (vw) 2 fornisce la probabilità P(D|v) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone
possieda abbia polarizzazione verticale.
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Il primo termine dell'espressione (°°), dato dal prodotto (1)2 (vw) 2, non è altro che la probabilità
che un fotone con proprietà V venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D.
Il secondo termine dell'espressione (°°), dato dal prodotto (2)2 (h w)2, non è altro che la
probabilità
che un fotone con proprietà H venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D.
Se fosse valida l'ipotesi A la probabilità di rivelare un fotone oltre il polaroid sarebbe data da:
P(D) =(1)2(V’•v’)2 +(2)2(H’•v’)2 = P(H) P(DH) + P(V) P(DV)
Il terzo termine dell'espressione (°°), dato da _2 (12 (vw) (h w)_, non ha analogo classico.
Il formalismo con cui viene espresso il principio di sovrapposizione lineare quantistico, che
consiste in niente altro che esprimere un qualsiasi vettore di stato come combinazione di altri
vettori di stato, traduce quanto è stato appreso nelle schede precedenti: l'insieme di fotoni nello
stato a 45° non può essere pensato come somma di due insiemi disgiunti di fotoni ciascuno dei
quali è formato da un ugual numero di fotoni con proprietà mutuamente esclusive.
