MQ_SNFMI14Scheda15 Risposte - Sezione di Fisica

Università degli Studi di Udine - Piano Nazionale Lauree Scientifiche
Progetto IDIFO5 - Scuola Nazionale di Fisica Moderna per Insegnanti
SNFMI – Università di Udine, 8-12 settembre 2014
Cognome __________________________ Nome _____________________ Udine _______________
Scheda 15 - MQUD_Form - Dai concetti al formalismo
Il principio di sovrapposizione lineare.
La semplicità della fenomenologia della polarizzazione permette una costruzione graduale della
descrizione formale dei processi. Dalle leggi classiche relative ai molti fotoni dell’intensità luminosa
misurata si costruisce gradualmente la rappresentazione formale dello stato di polarizzazione di un
fotone, del principio di sovrapposizione lineare quantistico, della probabilità di transizione tra stati, dei
proiettori.
N.B. I vettori (versori) vengono rappresentati con lettere in grassetto – es.: V
In tondo si indicano gli stati – es.: V indica lo stato di polarizzazione verticale.
1. Stati quantistici e vettori.
A. Si allineano due polaroid F1 ed F2, orientati secondo i versori U e W rispettivamente [(U▪ U)=1 e (W▪
W)=1].
F1
polaroid
F2
Fotoni
U
incidenti
U
W
W

Su F1 incide un fascio di N fotoni.
A1. Se si indica con
 l'angolo formato da U e W, qual è la probabilità P che un fotone trasmesso da F1
venga trasmesso anche da F2? _
cos2 ______
A2. Il prodotto scalare tra i vettori W e U é dato da: (WU) __=
(cos ) _______
A3. Come si può esprimere P per mezzo per prodotto scalare (WU)?
(cos )2
//
(WU)2
//
(WU)2=(cos )2
A1. Si fissa la direzione permessa di F2 (cioè si fissa W).

La probabilità di trasmissione di un fotone che incide su F2:
X
è completamente definita da U
 //
X è definita da U e da qualche altro fattore (specificare quale)______
W // cos 
non dipende da U

Lo stato del fotone prima di incidere su F2:
X è completamente definito quando è definito U
X è definito assegnando U e qualche altro fattore (specificare quale)_
non dipende da U

//
W // cos 
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A2. Se si fissa F2 in modo che la sua direzione permessa sia individuata dal vettore W’W, quale delle
risposte alle domande del punto A1 si deve cambiare? Motivare la risposta
A) nessuna
B) cambia rispetto al versore w'
C) cambia solo la prima perché l'angolo tra i due cambia, ma i fotoni in uscita da F1 sono sempre gli
stessi
D) la prima poiché cambia , quindi supponendo che l'angolo individuato tra U e W' sia ' la probabilità di
2
trasmissione dipende da U e da cos ’
E) la probabilità di trasmissione di un fotone che incide su F2 dipende da u e da w', lo stato del fotone
prima di incidere su F2 rimane unicamente dipendente da u
A3. Si può concludere che il comportamento statistico di un fotone che incide su F2:
X
è completamente determinato da U per qualsiasi W
X è determinato da U e qualche altro fattore (specificare quale)

//
W // cos 
per qualsiasi W
non dipende da U
A4. Si può rappresentare lo stato del fotone trasmesso da F1 con un vettore u//U. Tale associazione é
sufficiente per riprodurre i risultati sperimentali (la legge di Malus)? Spiega
A) Sì è sufficiente conoscere l'angolo 
B) Sì perché la probabilità dipenderà dal prodotto scalare, che è sempre lo stesso, e dall'angolo
Se u//U allora sarà anche w//W e quindi si avrà lo stesso angolo  e riproduce i risultati della legge di
Malus
Sì è sufficiente perché considerando che i vettori sono paralleli e il verso è il medesimo, in questo
modo  non cambia
Sì, perché il prodotto scalare rimane lo stesso
C) Sì è sufficiente perché posso riprodurre i risultati sperimentali per qualsiasi angolazione assuma il
polaroid F2, conoscendo l'angolo  fra F1 e F2.
D) Nel momento in cui conosco lo stato del fotone io posso riprodurre i risultati sperimentali per tutte le
angolazioni che il polaroid F2 può assumere, semplicemente calcolandomi l'angolo
E) Sì, è sufficiente perché lo stato del fotone trasmesso non dipende dal polaroid F2
A5. Lo stato del fotone trasmesso da F2 é rappresentato da:
u//U
X
w//W
X
da___cos _______
2
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B. La probabilità P rappresenta la probabilità di transizione fra due stati del fotone. Esplicitare questa
affermazione alla luce del semplice formalismo che é stato introdotto.
A) P=(UW)2
B) La probabilità P è rappresentata dalla probabilità che ha un fotone di transire da uno
stato U a uno stato W in relazione all'angolo di trasmissione Q
C) Il fotone se viene trasmesso transisce nello stato w//W se non viene trasmesso
transisce nello stato mutuamente esclusivo allo stato w//W
Il fatto che lo stato u di un fotone sia convenientemente espresso da un vettore u porta ad indagare le
conseguenze che ne derivano sul piano formale. Esse sono sintetizzate dal principio di sovrapposizione
quantistico.
2. Il principio di sovrapposizione
A. Un fotone nello stato rappresentato dal versore u incide su:

un polaroid con direzione permessa individuata dal versore H.
Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? ___________
A) (UH) , (UH) = cos 
2
B) cos  con  angolo tra la direzione H è quella individuata dal versore u
2
2
2
un polaroid con direzione permessa individuata dal versore V, con V  H.

Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? _______________
A) (UV) , (UH) = cos 
2
B) sen 
2
C) cos ’ (’ pari a 90°-//’ pari a 90°+//’ pari a 180°-)
2
2
2
B. Il versore u può essere espresso con la seguente combinazione lineare dei vettori v//V e h//H:
u=1v+2h

Completare le seguenti espressioni:
hu=h(1v+2h) = 1 hv+2 hh=
A)
B)
C)
(hv=cos90°=0; h×h=cos0°=1) 2
0+ 2
2
1 hv+2 h2
vu=v(1v+2h) = 1 vv+2 vh=
1
1+0

1 v2+2 hv
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C. Probabilità di trasmissione. Dal risultato precedente si può concludere che (collegare le caselle con
frecce su cui riportare dei verbi appropriati in modo da ottenere delle frasi compiute – distinguere i due
casi utilizzando in uno la linea continua  e nell’altro la linea tratteggiata - - - ->):
che incide su
passante attraverso
Poiché u è un versore, si ha : [(u▪ u)=1], si deve avere anche:
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C2. Quale interpretazione si può dare alla somma:
?
- perché sono mutuamente esclusive e quindi sono sicura di averlo o in 12 o in 22 --> è la
totalità degli eventi possibili [Nota: è la studentessa che lo ha fatto capire all’intera
classe….normalmente prendeva 4 nei compiti di matematica]
- 12 e 2 caratterizzano sommati tutte le sorti possibili del fotone: la somma tra la probabilità
di essere trasmesso e quello di essere assorbito cioè 1
- la probabilità che il fotone passi o in stato H o in stato V
- 1 si può vedere come la totalità degli eventi. Un fotone può essere trasmesso (caso 1, fase
indicata da 12) oppure no (22), attraverso un polaroid con versore V.
C3. Qual è la probabilità che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato dal versore u, dopo aver
interagito con il polaroid (dopo la misura) si trovi o nello stato H o nello stato V
- 12 è la probabilità che si trovi nello stati V, mentre 22 è la probabilità che si trovi nello stato
H. La probabilità di trovarli in uno di questi stati è 1
- 12 che si trovi nello stato V, 22 che si trovi nello stato H
- hanno la medesima probabilità
C4. Si può affermare con certezza che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato da u, dopo aver
interagito con il polaroid (dopo la misura) si troverà nello stato V (nello stato H)?
- No, perché c'è sempre una possibilità diversa da 0 che un fotone nello stato U si trovi nell'altro stato
- No, posso prevedere che in base all'angolo  avrà più o meno possibilità probabilistiche di
passare allo stato V o allo stato sicuramente in uno dei due stati passerà
- No si può prevedere con certezza se il fotone si troverà in uno stato piuttosto che nell'altro,
siamo solo certi che si troverà sicuramente in uno dei 2 stati.
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D. Casi certi e stati ortogonali.
D1. Un fotone nello stato h ha probabilità _1__ di essere trasmesso da un Polaroid H.
D2. Un fotone nello stato h ha probabilità _0_ di essere trasmesso da un Polaroid V.
D3. Un fotone nello stato v ha probabilità _1_ di essere trasmesso da un Polaroid V.
D4. Un fotone nello stato v ha probabilità _0_ di essere trasmesso da un Polaroid H.
2
D5. La probabilità di transizione hv o vh é uguale: P= (hv) =__0__
E. Le proprietà associate a fotoni nello stato V e fotoni nello stato h sono mutuamente esclusive. Gli stati
in cui si trovano tali fotoni sono rappresentati da:
X


vettori mutuamente ortogonali
vettori fra loro paralleli
vettori che formano un angolo =___
Due stati si dicono ortogonali se le proprietà che li caratterizzano sono mutuamente esclusive.
2. Esplorazione di ipotesi
Ipotesi A. Un fascio di fotoni con polarizzazione a 45° è composto per metà da fotoni con polarizzazione
verticale e per metà da fotoni con polarizzazione orizzontale.
2
A1.In questo schema, (1) rappresenta:

la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *)
X

la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà  )

altro (specificare)__________
2
A2. In questo schema, (2) rappresenta:
X

la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *)

la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di
attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà  )

altro (specificare)__________
B. Un fascio di fotoni nello stato rappresentato da u incide su un polaroid con direzione permessa W.
B1. Poiché il versore u può essere espresso da u=1v+2h, la probabilità che un fotone venga
trasmesso dal polaroid, e quindi venga rivelato da D, è data da:
2
2
2
P (D) =P(u w)=(uw) =[(1v+2h) w] = [1vw + 2h w] =
= 1 (vw) + 2 (hw) + 2 12 (vw + h w)
2
2
2
2
(°°)
2
B2.Il fattore (hw) fornisce la probabilità P(D|h) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone
possieda abbia polarizzazione orizzontale
2
B2.1 Il fattore (vw) fornisce la probabilità P(D|v) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone
possieda abbia polarizzazione verticale
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2
2
B3. Il primo termine dell'espressione (°°), dato dal prodotto (1) (vw) , non è altro che la probabilità
che un fotone con proprietà V venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D.
2
2
B3.1 Il secondo termine dell'espressione (°°), dato dal prodotto (2) (hw) , non è altro che la probabilità
che un fotone con proprietà H venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D.
C. Se fosse valida l'ipotesi A la probabilità di rivelare un fotone oltre il polaroid sarebbe data da:
2
2
2
2
P(D) =(1) (V’•v’) +(2) (H’•v’) = P(H) P(DH) + P(V) P(DV)
C1. Il terzo termine dell'espressione (°°), dato da 2 12 (vw + h w), non ha ragione di essere
nell’ipotesi A (non ha analogo classico).
Ne consegue che il formalismo con cui viene espresso il principio di sovrapposizione lineare quantistico
(la combinazione lineare con cui può essere scritto un qualsiasi vettore di stato) traduce il fatto che
l'insieme di fotoni nello stato a 45° non può essere pensato come somma di due insiemi disgiunti di fotoni
ciascuno dei quali è formato da un ugual numero di fotoni con proprietà mutuamente esclusive. Si deve
scartare l’ipotesi A.
C. Conclusioni sul principio di sovrapposizione
C1. Si discuta brevemente il significato di sovrapposizione di stati quantistici facendo riferimento allo stato
di polarizzazione a 45º (rappresentato dal vettore u45) considerato come sovrapposizione degli stati h e v,
rappresentati rispettivamente dai versori h e v.
C2. Conclusione sul significato fisico e l‘espressione formale del principio di sovrapposizione quantistico.
-
U=1v+2h dove, 1 e 2 indicano la probabilità che il fotone nello stato U ha di passare a uno
degli altri due stati
Il versore u può essere rappresentato con la seguente combinazione lineare dei vettori v//V e h//H
u45=1v+2h
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C1.
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D. Verso gli operatori lineari
Nei punti precedenti è stato introdotta la rappresentazione vettoriale degli stati quantistici e del principio di
sovrapposizione, riconoscendo il ruolo che gioca il prodotto scalare nella determinazione delle probabilità
di transizione. Si esplicita ora la connessione tra prodotto scalare e operatori di proiezione, come ponte
verso la rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari.
D1. Un fascio di fotoni preparato nello stato rappresentato dal versore u (es.: fotoni trasmessi da un
polaroid, orientato secondo il versore U//u), incide su un polaroid (ideale) orientato secondo il versore V.
D1.1 In base al principio di sovrapposizione, come si può esprimere il versore u in termini dei versori v
(v// V) e h (h// H)?
u = ______ + ________
D1.2 Qual à la probabilità P di trasmissione di ciascun fotone (esprimila sia utilizzando l’ampiezza
opportuna che hai indicato nella risposta precedente, sia per mezzo di un opportuno prodotto scalare):
_____________________
____________________
D1.3 P rappresenta la probabilità che, in seguito all’interazione con il polaroid, un fotone effettui la
transizione (completa la frase):
dallo stato ________ allo stato _______
D2. Tale probabilità può essere espressa nel seguente modo:
2
P = (u· v) = (u· v)( v· u) = u · (v v·) u,
con la convenzione che bisogna effettuare i prodotti da destra a sinistra.
Tra parentesi compare l’oggetto matematico vv·: il versore v ripetuto due volte e seguito dal segno di
prodotto scalare.
Per capire che tipo di oggetto matematico costituisca vv· , si può vedere come agisce quando viene
applicato ad un vettore di stato.
D2.1 Determina i risultati delle seguenti applicazioni (si sottintende che si stanno seguendo le
convenzioni sin qui introdotte per l’indicazione dei versori):
(vv·)v = _____________________
(vv·)h = ____________________
(vv·)u = _____________________
B2.2. L’applicazione di vv· a un qualsiasi vettore produce sempre un vettore parallelo a: ______
B2.3
-
Come si può interpretare geometricamente questo fatto? ________________________
il polaroid cambia la polarizzazione della luce da u a v, come vv. parallelizza da u a v, mentre il
rapporto quadrato dei moduli dei vettori u(proiettato) e v da’ la P di trasmissione
La correlazione è rappresentata dalla corrispondenza tra la proiezione e la probabilità di transizione,
infatti il coseno dell'angolo formato dall'asse di trasmissione del polaroid e dalla direzione di
preparazione del fotone è correlato alla probabilità di trasmissione; in questo senso possiamo
affermare che minore è l'angolo maggiore è la probabilità di trasmissione infatti la proiezione è più
grande
C. La rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari si effettua valutando il valore di
aspettazione di una osservabile fisica: si pesano i possibili esiti di una misura (gli autovalori), con le
corrispondenti proprietà di transizione, ossia con i quadrati dei prodotti scalari tra il vettore dello stato
iniziale del sistema e i ciascuno dei vettori dei possibili stati finali (autovettori). Come in D2 è semplice far
emergere l’operatore che rappresenta l’osservabile misurata. Per come viene costruito esso ha come
autovettori i vettori dei possibili stati finali di una misura e come autovalori i possibili esiti stessi della
misura. Si rende conto in questo modo della connessione operatori lineari e osservabili fisiche, rendendo
conto del significato fisico di tale connessione.