Universita’ di Udine ­ Unita’ di Ricerca in Didattica della Fisica Scheda MQUD_Form1 Cognone/Nome ___________________________________ Scuola ________________________ Data _________________ Scheda MQUD_Form1 ­ Dai concetti al formalismo Il principio di sovrapposizione lineare. Il contesto fenomenologico della polarizzazione della luce consente di avviare alla formalizzazione del quadro concettuale. Costituisce obiettivo di questa scheda la rappresentazione formale dello stato di polarizzazione di un fotone, del principio di sovrapposizione lineare quantistico, della probabilità di transizione tra stati. N.B. I vettori (versori) vengono rappresentati con lettere in grassetto – es.: V In carattere normale indicano gli stati – es.: V indica lo stato di polarizzazione verticale. 1. Stati quantistici e vettori. A_Si allineano due polaroid F1 ed F2, che hanno direzioni permesse individuate dal versore U e in quella del versore W [(U▪ U)=1 e (W▪ W)=1]. F1 polaroid F2
Fotoni U incidenti W
U W q
Su F1 incide un fascio di N fotoni. A1. Se si indica con q l'angolo formato da U e W, qual è la probabilità P che un fotone 2
trasmesso da F1 venga trasmesso anche da F2? ___cos q____ A2. Il prodotto scalare tra i vettori W e U é dato da: (W×U) __ cosq_______ A3. Come si può esprimere P per mezzo per prodotto scalare(W×U)? P=cos 2q=(W×U) 2 A1_Si fissa la direzione permessa di F2 (cioè si fissa W). Ø La probabilità di trasmissione di un fotone che incide su F2: X è completamente definita da U è definita da U e da qualche altro fattore (specificare quale)______ non dipende da U Ø Lo stato del fotone prima di incidere su F2: X è completamente definito quando è definito U è definito assegnando U e qualche altro fattore (specificare quale)______ non dipende da U A2_ Se si fissa F2 in modo che la sua direzione permessa sia individuata dal vettore W’¹W, quale delle risposte alle domande del punto A1 cambieresti? Spiega ___Nessuna: la probabilità di trasmissione è ancora definita unicamente da U, come pure lo stato del fotone. Universita’ di Udine ­ Unita’ di Ricerca in Didattica della Fisica Scheda MQUD_Form1 A3_ Si può concludere che il comportamento statistico di un fotone che incide su F2: X è completamente determinato da U per qualsiasi W è determinato da U e qualche altro fattore (specificare quale)_____ per qualsiasi W non dipende da U A4_ Si può rappresentare lo stato del fotone trasmesso da F1 con un vettore u//U. Tale associazione é sufficiente per riprodurre i risultati sperimentali (la legge di Malus)? Spiega ___SI. Con esso si può riprodurre la legge fenomenologica di Malus, e in particolare si possono fare le previsioni certe nelle situazioni opportune. A5_ Lo stato del fotone trasmesso da F2 é rappresentato da: u//U X w //W da__________ B_ La probabilità P rappresenta la probabilità di transizione fra due stati del fotone. Esplicita questa affermazione alla luce del semplice formalismo che é stato introdotto. Nell’interazione con un polaroid quando un fotone viene trasmesso da un polaroid a causa dell’interazione con esso il suo stato cambia da quello rappresentato dal versore u a quello rappresentato dal versore v.
Il fatto che lo stato u di un fotone sia convenientemente espresso da un vettore u porta ad indagare le conseguenze che ne derivano sul piano formale. Esse sono sintetizzate dal principio di sovrapposizione quantistico. 2. Il principio di sovrapposizione A_Un fotone nello stato rappresentato dal versore u incide su: Ø un polaroid con direzione permessa individuata dal versore H. 2 Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? ___(H×u) ________ Ø un polaroid con direzione permessa individuata dal versore V, con V ^ H. Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? __(V×u) 2 =1­(H×u) 2 _______ B_Il versore u può essere espresso con la seguente combinazione lineare dei vettori v//V e h//H: u=Y 1v+Y 2h Ø Completare le seguenti espressioni: h×u=h×(Y 1v+Y 2h) = Y 1 h×v+Y 2 h×h= ___Y 2______________ v×u=v×(Y 1v+Y 2h) = Y 1 v×v+Y 2 v×h= _____Y 1____________ Universita’ di Udine ­ Unita’ di Ricerca in Didattica della Fisica Scheda MQUD_Form1 C_Dal risultato precedente si può concludere che (collegare le caselle con frecce su cui riportare dei verbi appropriati in modo da ottenere delle frasi compiute – distinguere i due casi utilizzando in uno la linea continua à e nell’altro la linea tratteggiata ­ ­ ­ ­>): Poiché u è un versore, si ha : [(u▪ u)=1] 2 2 E anche: (u▪ u)= (Y 1v+Y 2h) ×(Y 1v+Y 2h) =__(Y 1) +(Y 2) _______________=1 Ø Quale interpretazione si può dare alla somma: ? ____La probabilità che in seguito all’interazione con un polaroid verticale il fotone sia trasmesso (con polarizzazione V) o sia assorbito è uguale a 1. Ø Qual è la probabilità che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato dal versore u, dopo aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si trovi o nello stato H o nello stato V Ø Si può affermare con certezza che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato da u, dopo aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si troverà nello stato V (nello stato H)? spiegare ______________________________________________________________ D_Casi certi e stati ortogonali. Un fotone nello stato h ha probabilità __1_ di essere trasmesso da un Polaroid H. Un fotone nello stato h ha probabilità _0__ di essere trasmesso da un Polaroid V. Un fotone nello stato v ha probabilità _1__ di essere trasmesso da un Polaroid V. Un fotone nello stato v ha probabilità _0_ di essere trasmesso da un Polaroid H. 2 La probabilità di transizione hàv o vàh é uguale: P= (h·v) =__0____ Come già discusso in precedenza, le proprietà associate a fotoni nello stato V e fotoni nello stato h sono mutuamente esclusive. Gli stati in cui si trovano tali fotoni sono rappresentati da:
Universita’ di Udine ­ Unita’ di Ricerca in Didattica della Fisica Scheda MQUD_Form1 X vettori mutuamente ortogonali q vettori fra loro paralleli q vettori che formano un angolo q=___ Due stati di dicono ortogonali se le proprietà che li caratterizzano sono mutuamente esclusive. 2_ Esplorazione di ipotesi Nella scheda 2 abbiamo esplorato la possibilità che un fascio di fotoni con polarizzazione a 45° sia composto per metà da fotoni con polarizzazione verticale e per metà da fotoni con polarizzazione orizzontale (ipotesi A) 2 A_In questo schema, (Y 1) rappresenta: q la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *) X la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà D ) q altro (specificare)__________ 2 In questo schema, (Y 2) rappresenta: X la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *) q la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà D ) q altro (specificare)__________ B_Un fascio di fotoni nello stato rappresentato da u incide su un polaroid con direzione permessa W. Poiché il versore u può essere espresso da u=Y 1v+Y 2h, la probabilità che un fotone venga trasmesso dal polaroid è data da: P(D) =P(u àw)=(u×w) 2 =[(Y 1v+Y 2h) ×w ] 2 = [(Y 1 (v×w) +Y 2(h ×w ))] 2 = 2 2 2 2 = (Y 1) (v×w ) + (Y 2) (h ×w ) + 2 (Y 1Y 2 (v×w ) (h ×w ) (°°) 2 Il fattore (h×w) fornisce la probabilità P(D|h) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone possieda abbia polarizzazione orizzontale Il fattore (v×w ) 2 fornisce la probabilità P(D|v) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone possieda abbia polarizzazione verticale. Il primo termine dell'espressione (°°), dato dal prodotto (Y 1) 2 (v×w ) 2 , non è altro che la probabilità che un fotone con proprietà V venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D.
Universita’ di Udine ­ Unita’ di Ricerca in Didattica della Fisica Scheda MQUD_Form1 2 2 Il secondo termine dell'espressione (°°), dato dal prodotto (Y 2) (h ×w) , non è altro che la probabilità che un fotone con proprietà V venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D. Se fosse valida l'ipotesi A la probabilità di rivelare un fotone oltre il polaroid sarebbe data da: P(D) =(Y 1) 2 (V’•v’) 2 +(Y 2) 2 (H’•v’) 2 = P(H) P(D½H) + P(V) P(D½V) Il terzo termine dell'espressione (°°), dato da _2 (Y 1Y 2 (v×w) (h ×w)_, non ha analogo classico. Il formalismo con cui viene espresso il principio di sovrapposizione lineare quantistico, che consiste in niente altro che esprimere un qualsiasi vettore di stato come combinazione di altri vettori di stato, traduce quanto è stato appreso nelle schede precedenti: l'insieme di fotoni nello stato a 45° non può essere pensato come somma di due insiemi disgiunti di fotoni ciascuno dei quali è formato da un ugual numero di fotoni con proprietà mutuamente esclusive. C. Conclusioni. C1. Riepiloga le conclusioni raggiunte in questa scheda discutendo brevemente il caso dello stato di polarizzazione a 45º (rappresentato dal vettore u 45) considerato come sovrapposizione degli stati h e v, rappresentati rispettivamente dai versori h e v. C2. Concludi questa scheda riepilogando il significato fisico e l‘espressione formale del principio di sovrapposizione quantistico. Un qualsiasi stato fisico u di un sistema può essere sempre espresso come sovrapposizione di due altri stati distinti del sistema w e w’, ossia il vettore di stato u può essere espresso come combinazione lineare dei due vettori di stato w e w ’: u = Y 1w + Y 2w ’ Viceversa dati due stati distinti w e w’ una loro sovrapposizione è ancora uno stato del sistema. Ossia la combinazione lineare di due vettori di stato ancora un vettore di stato:
Y 1w + Y 2w ’ = u vettore di stato Le proprietà che si possono associare al sistema in una sovrapposizione di stati sono incompatibili con le proprietà associabili al sistema quando si trova in ciascuno degli stati componenti.
