Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio
Calcolo combinatorio
Permutazioni
Si considerino n oggetti distinti, si chiamano permutazioni semplici tutti i possibili
raggruppamenti di n oggetti in gruppi di n ciascuno, in modo che ogni raggruppamento si differenzi
da ciascuno degli altri solo per il posto degli oggetti.
Il numero di tutti i possibili raggruppamenti è:
Pn  n!  1  2  3  .....  n
dove: n! = enne fattoriale.
Esempio: Anagrammare la parola ROMA. Il numero di oggetti è
n=4
applicando la formula delle permutazioni si ottengono tutti i possibili raggruppamenti.
P4= 1234 = 24
Esempio: Tre amici hanno poggiato le loro giacche, a, b e c, su tre sedie. Al buio i tre amici
prendono le giacche. Qual è la probabilità che ognuno di essi prenda la propria giacca.
Esiste un unico evento favorevole. Il numero di eventi possibili non è altro che il numero di
permutazioni di tre oggetti, P3.
P3 = 123 = 6
La probabilità è pertanto:
1
P
6
Permutazioni con ripetizione
In questo caso tutti gli n oggetti non sono tutti distinti, quindi vi saranno m elementi uguali tra
di loro. In questo caso il numero di permutazioni (permutazioni con ripetizione) sarà inferiore al
caso in cui gli elementi erano tutti distinti. Pertanto il numero di permutazioni, Pnm  è:
P
Pnm   n
m!
Si può estendere la situazione al caso in cui vi siano più oggetti uguali tra di loro (m, r, s,..),
allora il numero di permutazioni con ripetizione è:
Pn
n!
Pnm, r, s  

m! r! s! m!r!s!
Esempio: Si consideri la parola MATEMATICA. La parola contiene 10 lettere non tutte diverse tra
di loro: la lettera M compare due volte, la T due volte, la A tre volte. Pertanto Le permutazioni
sono:
P10
10!
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10
2, 2, 3 
P10



 151 200
1  2  1  2  1  2  3
2! 2! 3! 2! 2! 3!
Disposizioni
Disposizioni semplici
Sono dati n elementi distinti ed un numero k  n, si chiamano disposizioni di classe k, tutti i
gruppi che si ottengono con k elementi ciascuno, in modo che ogni gruppo si differenzi dagli altri o
per qualche elemento o per l’ordine con cui gli oggetti sono disposti.
La formula che fornisce il numero di disposizioni di n oggetti a k a k è:
Pn
D n; k  n  n  1  n  2   .....  n  k  1 
n  k !
Esempio: In un sacchetto vi sono 5 palline di colore diverso (r=rosso, b=bianco, n=nero, a=azzurro,
v=verde). Si estraggono tre palline. Calcolare il numero di disposizioni delle 5 palline a 3 a 3:
1
Calcolo combinatorio
D 5; 3  5  5  1  .....  5  3  1  5  4  3  60
Esempio: Un sacchetto contiene una pallina bianca, b, una rossa, r, ed una azzurra, a.si estraggono
successivamente te palline senza rimetterle nel sacchetto. Qual è la probabilità che le palline estratte
siano, nell’ordine, bianca, rossa, nera?
I casi possibili risultano considerando la disposizione di 4 elementi a 3 a 3, quindi
D4; 3 = 4(4 - 1)(4 – 3 + 1)= 432 = 24
Inoltre vi è un solo caso favorevole, quindi la probabilità è:
1
P
24
Disposizione con ripetizione
Si dicono disposizioni con ripetizione della classe k, tutti i gruppi che si possono formare
con n elementi distinti, in modo che ogni gruppo ne contenga k, ma ogni elemento può essere
ripetuto 1, 2 , 3 … k volte.
Ciascun gruppo deve sempre differenziarsi da tutti gli altri o per qualche elemento o per
l’ordine di essi.
La formula per il calcolo del numero di disposizioni con ripetizione è:
D nR;k  nk
Esempio: Quanti numeri diversi, di 2 cifre ciascuno, si possono formare con le 9 cifre significative
(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9), tenendo presente che nello stesso numero le cifre possono ripetersi. Il
numero è
D R9;2  92  81
Esempio: Quanti diversi codici segreti, associati ognuno a diversa tessere bancomat, si possono
formare se ognuno di essi è costituito da 5 cifre, anche uguali, scelte tra 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Sono considerati numeri diversi numeri come 24334, 32434, 32443 …
Il numero di disposizioni è:
R
5
D10
; 5  10  100 000
Esempio: Quante colonne si dovranno giocare per fare sicuramente 13 al totocalcio.
Ogni colonna è un insieme ordinato di 13 elementi ripetuti scelti tra 1, 2 e X. Il numero di
modi in cui si possono disporre i tre simboli, anche in modo ripetuti, in una colonna con 13 posti è
il seguente:
D 3R;13  313  1 594 323
Combinazioni
Combinazioni semplici
Si chiamano combinazioni semplici, di n elementi di distinti, di classe k (kn), tutti i possibili
raggruppamenti degli n oggetti a k a k in modo che ogni raggruppamento si differenzi da tutti gli
altri almeno per un elemento.
Mentre nelle disposizioni venivano considerati distinti due gruppi che pur contenendo gli
stessi elementi, si differenziavano per la loro posizione, nelle combinazioni ciò non avviene, e i
gruppi si debbono differenziare almeno un momento, per essere distinti.
La formula per calcolare il numero di combinazioni semplici è la seguente:
D n; k n  n  1  n  2   ....  n  k  1  n 
Cn; k 

  
Pk
k!
k
Cn; k 
D n; k
Pk
n
n!
   
 k  n  k !  k!
2
Calcolo combinatorio
Esempio: Quante cartelle occorre giocare, per una ruota, al lotto, per vincere sicuramente un terno?
Il numero di cartelle è:
 90  D 90; 3 90  90  1  90  3  1 90  89  88
C90; 3    


 117 480
P3
3!
3  2 1
3 
Esempio: Un barman ha a disposizione 8 liquori. Quanti tipi di bevande può preparare utilizzandone
3 tra loro diversi?
Il numero di bevande che si possono formare è:
 8  D 8; 3 8  7  6 8  7  6
C8; 3    


 56
P3
3!
3  2 1
3
Combinazioni con ripetizioni
Si chiamano combinazioni con ripetizioni, di n elementi distinti a k a k, tutti i possibili
raggruppamenti di k elementi ciascuno, in modo che ogni elemento possa essere, in ogni gruppo,
ripetuto 1, 2, 3 …. K volte. Ogni gruppo si differenzia da tutti gli altri almeno per un elemento.
La formula è:
 n  k  1

Cn; k  
k


Calcolo combinatorio e Probabilità
Esempio: Giocando alla tombola, qual è la probabilità di fare cinquina?
È una combinazione di 90 numeri di classe 5. il numero delle cinquine è pertanto
 90  90  89  88  87  86
C90; 5    
 43 949 268
5!
5 
Di tutte queste combinazioni solo una è quella vincente o evento favorevole, per cui la
probabilità è
1
P
 2,3  10  8
43 949 268
-6
percentualmente è: 2,310 %.
Esempio: In un’urna sono presenti 5 palline uguali numerate da 1 a 5. qual è la probabilità che,
estraendole di seguito, queste si presentano nell’ordine 1, 2, 3, 4 e 5?.
Il numero dei possibili raggruppamenti è dato dalla permutazione di 5 elementi:
P5 = 5! = 12345 = 120
Di questi casi possibili, uno solo è favorevole, per cui la probabilità è:
P
1
 0,008 3
120
Esempio: Qual è la probabilità di vincere un ambo al lotto?
Si vince un ambo se due dei cinque numeri estratti sono quelli puntati. Il numero di casi
possibili non sono altro che il numero di cinquine che si possono estrarre, ovvero è una
 90 
combinazione di 90 elementi di classe 5, C90; 5     43 949 268 . Di tutte le cinquine, sono
5 
favorevoli solo quelle che contengono i due numeri puntati, che possono stare in combinazione con
 88 
i restanti 88 numeri combinati a tre a tre, C88; 3    . Pertanto il numero di casi favorevoli è:
3 
3
Calcolo combinatorio
 88  88  87  86
C88; 3    
 109 736
3!
3 
La probabilità di vincere un ambo è:
109 726
P
 0,002  0,2%
43 949 268
Esempio:
Il numero di casi possibili è una permutazione di 10 con ripetizione:
10!
10  9  8  7  6  5  4  3  2  1
3 , 3 , 2 , 2 
P10


 25 200
3! 3! 2!2!
3  2  1  3  2  1  2  1  21
Vi è un unico caso favorevole, pertanto la probabilità è:
1
P
25 200
Esempio:
Combinazione di 9 elementi a tre a tre. Da questo numero bisogna i punti allineati:
9 9  8  7 9  8  7
C9; 3    

 84
3!
3  2 1
3
Esempio:
Disposizione con ripetizione di 6 elementi di classe 2 (si considerano i due numeri centrali):
D 6R;2  6 2  36
Le prime cifre possono essere solo 5 (escludendo lo zero); l’ultima cifra possono essere sono 0
o 5. In totale 360.
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