Scheda 6: IL TEOREMA DEL COSENO
1.
Completa lo schema seguente per richiamare alcune relazioni che legano gli elementi di un
triangolo rettangolo:
AB = c
CA = b
CB = a
Dal Teorema di Pitagora:
a 2 b 2 ......
Dalla definizione di coseno:
....
cos
....
da cui c cos ......
2.
Apri il file geogebra "Teor_coseno" ed esplora la figura facendo variare h. Completa la tabella
seguente per spiegare il teorema del coseno utilizzando la definizione del coseno sopra
ricordata.
Triangolo rettangolo
in esame
ACH di ipotenusa b e
AH cateto adiacente
all'angolo α.
ABD di ipotenusa c e
AD cateto adiacente
all'angolo α.
CHB di ipotenusa a e
HB cateto adiacente
all'angolo β.
AKB di ipotenusa c e
KB cateto adiacente
all'angolo β.
AKC di ipotenusa b e
CK cateto adiacente
all'angolo γ.
CDB di ipotenusa a e
CD cateto adiacente
all'angolo γ.
Rettangolo
Base
Altezza
Area
AOPH
AH = b·cosα
AO = c
b·c·cosα
ADEJ
AD = ...........
AJ = .....
...............
HPSB
HB = ...........
BS = .....
...............
KBTL
KB = ...........
BT = .....
...............
CKLM
CK = ...........
CM = .....
...............
CFED
CD = ...........
CF = .....
...............
Le coppie di rettangoli equivalenti sono: .......................... - .......................... - .........................
Quando l'angolo γ diventa acuto, il lato c non cambia mentre i lati a e b aumentano, da cui
risulta che a 2 b 2 c 2 .
Considerando i quadrati costruiti sui lati come somma dei corrispondenti rettangoli, si ha che
per avere l'area del quadrato AOSB, ovvero c2 , debbo sottrarre alla somma delle aree a2 + b2 le
aree dei due rettangoli equivalenti FCDE e CKLM.
Ottengo dunque c2 = a2 + b2 - ................................
3.
Apri il file geogebra "Teor_coseno_ottuso" ed esplora la figura per scoprire perché la relazione
scritta qui sopra vale anche se l'angolo γ diventa ottuso.
4.
Dato un triangolo qualsiasi si hanno le seguenti relazioni:
5.
Il teorema del coseno vale anche per il triangolo rettangolo? Motiva la risposta.
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
6.
Riprendiamo il problema iniziale del missile antiaereo.
12
Per calcolare la lunghezza di PM, lato opposto all'angolo di 65°, applico il teorema del coseno
al triangolo PMR non rettangolo.
Secondo tale teorema, PM2 = .......................................................................................................
da cui PM = ................
7.
La foto qui sotto a sinistra mostra un esperimento di fisica: nel punto A vengono prodotte due
particelle che decadono dopo aver percorso le distanze AB e AC indicate nella figura a destra;
l'esperimento consente di misurare anche la distanza BC. Quanto è ampio l'angolo fra le
traiettorie delle due particelle?
Per calcolare l'ampiezza dell'angolo α, opposto al lato ......., applico il teorema del coseno al
triangolo ABC.
Secondo tale teorema, BC2 == ..................................................................................................
da cui cos α = ......................................
da cui α = ..................
