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Teoria dei giochi – Esonero 3
Data di consegna 14.11.2005
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Istruzioni:
Utilizzare lo spazio reso disponibile nei fogli presenti.
Rispettare la data di consegna
NON LIMITATEVI a fornire il risultato (ad es.: l’equilibrio è (T,D).) ma dimostrare come si ottiene
il risultato segnalato.
Cercate di essere originali.
Esercizio 1: Collusione e trigger strategy.
Due imprese stanno giocando un gioco sulla definizione dei prezzi simile ad un dilemma del
prigioniero ripetuto all’infinito. Le imprese devono decidere ogni periodo se fissare un prezzo alto
oppure un prezzo basso. I payoff nella tabella indicano il livello di profitto ottenuto dalle imprese
nelle varie combinazioni possibili.
Impresa 2
basso
basso 5 , 5
Impresa 1
alto
alto
20 , 0
0 , 20 10 , 10
Le imprese, all’inizio di ogni periodo scelgono il livello dei prezzi simultaneamente. Nell’equilibrio
di questo gioco, se fosse ad un solo periodo, ogni impresa sceglierebbe un livello dei prezzi basso.
Essendo il gioco ripetuto all’infinito, possiamo avere che la collusione può essere conveniente in
quanto, se entrambe fissano prezzi alti ottengono un payoff di10. Per garantire la collusione, ogni
impresa utilizza una trigger strategy del tipo visto a lezione: si continua a colludere fino a quando
l’altro non tradisce. Dal momento in cui una delle due imprese tradisce, nel periodo successivo a ciò
si ritorna all’equilibrio di Nash tradizionale in cui le due imprese non colludono e ottengono un
payof di 5 per tutta la durata infinita del gioco. Dimostrare che la collusione è possibile se e solo se
il tasso di interesse r è inferiore ad ½ (sugg.: l’impresa i tradirà se e solo se il valore attuale da essa
ottenuta da quando tradisce fino all’infinito è maggiore del valore attuale da essa ottenuta
cooperando.)
(utilizzate il foglio 1bis se necessario)
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Esercizio 2:backward induction
Trovate l’equilibrio di backward induction del gioco presentato nella figura successive:
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Esercizio 3:giochi bayesiani
Due persone sono coinvolte in una disputa. Il signor 1 non sa se il signor 2 è forte oppure debole. Il
signor 1 assegna una probabilità  alla possibilità che la persona 2 sia forte. La persona 2 ha
informazione completa. Ogni persona può scusarsi oppure combattere. Ogni persona ottiene un
payoff di 0 se si scusa (indipendentemente da ciò che fa l’altro) e un payoff di di 1 se combatte e il
suo avversario si scusa. Se entrambi gli opponenti combattono allora i loro payoff saranno (-1,1) se
il signor 2 è forte e (1,-1) se il signor 2 è debole. Formulate la situazione descritta come un gioco
bayesiano e trovate il suo equilibrio bayesiano se è minore di ½ e se è maggiore di ½.
(utilizzate il foglio 2 bis se necessario)
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Esercizio 4
Considerate il seguente gioco a due giocatori:
a) Supponiamo che il gioco sia giocato simultaneamente:
a. Trovate tutti gli equilibri di Nash e calcolate i payoff attesi da ogni giocatore negli
equilibri.
b. Visti i payoff realizzati nell’equilibrio, esiste una “promessa” da parte di uno o di
entrambi che permetterebbe di ottenere payoff migliori ? (esempio, se fossimo nel
dilemma del prigioniero, per ottenere l’ottimo paretiano, la promessa di entrambe
dovrebbe essere: “qualsiasi cosa accada non ti tradirò” e la razionalità alla base del
gioco dovrebbe garantire che gli individui mantengono sicuramente le promesse).
Chi promette cosa? Nel caso in cui nessuno abbia convenienza a promettere niente si
dimostri che “non promettere” è conveniente.
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b) Supponiamo che il gioco sia giocato in sequenza e che il giocatore 1 muova per primo; il
giocatore 2 osserva la mossa di 1 ed effettua la sua scelta.
c) Disegnate la forma estesa del gioco e trovate l’equilibrio perfetto nei sottogiochi
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