Esercizio 1

UNIVERSITA’ DI BOLOGNA - FACOLTA’ DI ECONOMIA
Esami di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
10 Gennaio 2006
Esercizio 1
E' ormai noto che il 98% degli studenti che si presentano allo scritto d'esame del corso di Statistica
ha con se' la calcolatrice, mentre il restante 2% ne e' sprovvisto.
Se allo scritto si presentano 12 studenti,
(a) qual e' la probabilitµa che tutti abbiano la calcolatrice?
(b) qual e' la probabilità che almeno uno di essi sia sprovvisto della calcolatrice?
(c) Inaspettatamente si presentano all'esame 80 studenti. Qual e' approssimativamente la
probabilità che la percentuale di studenti sprovvisti di calcolatrice sia inferiore al 5%?
E' noto inoltre che, complessivamente, il 64,5% degli studenti riesce a superare la prova scritta
di Statistica, ma tale percentuale scende al 40% tra gli studenti che sono sprovvisti di
calcolatrice.
(d) Se uno studente e' dotato di calcolatrice, con che probabilita' egli riuscira' a superare la
prova scritta?
(e) Sapendo invece che tale studente e' stato bocciato, si calcoli la probabilità che fosse
sprovvisto della calcolatrice.
Esami di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
31 Gennaio 2006
Esercizio 1
Una “slot-machine” è composta di tre ruote, su ciascuna ci sono 4 simboli (uva, ciliegia, melone,
BARRA). La seguente è la disposizione dei simboli su ciascuna ruota.
RUOTA 1 RUOTA 2 RUOTA 3
uva
15 volte
15
15
ciliegia
9
7
3
melone
5
5
6
BARRA
1
3
6
Azionando una leva le 3 ruote girano ed esce per ciascuna di esse uno dei 4 simboli Le possibili
vincite sono le seguenti
3 BARRE
100 Euro
3 meloni
15 Euro
3 ciliegie
10 Euro
nessuna barra
1 Euro
a) Calcolare la probabilità di uscire per ciascun simbolo su ciascuna ruota
b) Calcolare le probabilità di ottenere le seguenti disposizioni di simboli
i)
3 BARRE
ii)
2 ciliegie
c) Calcolare la probabilità di vincere almeno 10 Euro in una sola giocata
d) Calcolare il valore atteso della vincita in ciascuna giocata e la sua deviazione standard
e) Si fa una simulazione al calcolatore di n = 1000 giocate ottenendo le seguenti frequenze
(numero di volte in cui ciascun simbolo appare su ciascuna ruota)
RUOTA 1 RUOTA 2 RUOTA 3
uva
485 volte
515
505
ciliegia
295
222
97
melone
189
170
210
BARRA
31
93
188
Far vedere che i valori osservati sono abbastanza vicini ai valori attesi e dare una giustificazione
teorica del perchè.
f) Dire quanto deve deve essere grande il numero n di giocate per ottenere, con probabilità
maggiore di 95%, almeno una volta la vittoria da 100 Euro.
Esercizio 2
In un negozio di abbigliamento arrivano mediamente 5 clienti ogni ora. Supponendo che gli arrivi
seguano una distribuzione di Poisson, si determini:
a) la probabilità che in un’ora arrivino più di due clienti.
b) La probabilità che in 2 ore arrivino 5 clienti.
c) La probabilità che durante la prima ora di lavoro arrivino almeno 3 clienti, sapendo che nelle
prime 2 ore di lavoro sono arrivati 5 clienti.
Inoltre, sapendo che un anno è composto da 300 giorni lavorativi, si calcoli
e) la probabilità che in un anno il negozio abbia un numero di clienti superiore a 11900.
f) Il numero minimo di clienti in un anno cui corrisponde una probabilità pari a 0,15.
Esami di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
20 febbraio 2006
Esercizio 1
Un portafoglio azionario e’ composto da due titoli A e B con rendimento variabile. Il rendimento di
A (in centinaia di Euro) ha distribuzione di probabilità uniforme in (0,1) e il rendimento di B
uniforme in (0,2).
a)
Qual e’ il rendimento atteso del portafoglio?
b)
Calcolare la varianza per il titolo A e quella per il titolo B
c)
Scegliendo a caso uno dei due titoli, qual e’ la probabilità che il rendimento sia superiore
a 0,8?
d)
Se il rendimento e’ superiore a 0,8 qual è la probabilità di aver scelto A?
Supponendo che il portafoglio sia composto da un pacchetto (A1,A2) di 2 titoli indipendenti
l’uno dall’altro il cui comportamento è come quello di A, e da un pacchetto (B1,B2) di 2 titoli
indipendenti con comportamento come quello di B
e)
calcolare la probabilità che scegliendo a caso uno dei due pacchetti il rendimento di
entrambi i titoli sia inferiore a 0,5.
f)
Dire se le variabili casuali X1 e X2 che indicano i rendimenti dei due titoli del punto e)
sono indipendenti o no, e spiegare perché.
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
7 Giugno 2006
Esercizio 1
In un esame agli studenti è stato chiesto di risolvere due esercizi di probabilità, di cui il secondo
piu’ difficile del primo. Nella classe i 5/6 degli studenti hanno risolto correttamente il primo
esercizio e 7/12 hanno risolto correttamente il secondo. Degli studenti che hanno risolto bene il
primo, 3/5 hanno fatto bene anche il secondo.
Scelto uno studente a caso, sia A l’evento che lo studente abbia fatto bene il primo esercizio e B che
abbia fatto bene il secondo.
a)
Esprimere a parole gli eventi AB e AB e calcolare le loro probabilità.
b)
Calcolare la probabilità che lo studente abbia svolto correttamente uno dei due esercizi e
l’altro no.
c)
Se lo studente ha risolto correttamente il secondo problema, qual è la probabilità che abbia
risolto correttamente anche il primo?
d)
Se lo studente ha sbagliato il secondo esercizio, trovare la probabilità che il primo problema
sia stato risolto correttamente
e)
Se lo studente ha sbagliato il primo esercizio, trovare la probabilità che lo studente abbia
sbagliato anche il secondo.
f)
Calcolare la probabilità che scelti a caso 5 studenti che non hanno copiato il compito l’uno
dall’altro, almeno 4 abbiano fatto bene almeno uno dei due esercizi.
g)
Il secondo esercizio è formato da 2 domande b1) e b2): l’esercizio è giusto se si risponde
correttamente ad entrambe le domande. Si indichino rispettivamente con B1 e B2 gli eventi
“rispondere correttamente a b1” e “rispondere correttamente a b2”. Assumendo che B1 e B2
siano indipendenti, se la probabilità di rispondere correttamente ad almeno a uno tra b1) e b2)
è P(B1  B2) = 17/18, calcolare le probabilità di B1 e B2 .
Esercizio 2
Il tempo necessario all’operatore di un call center per risolvere i problemi che gli vengono posti
da un cliente nel corso di una chiamata segue una distribuzione uniforme continua nell'intervallo
(1;9) minuti (dopo 9 minuti il supervisore di sala interrompe di ufficio la chiamata). Calcolare:
a) la probabilita' che una chiamata duri piu' di 7 minuti;
b) la probabilita' che una chiamata duri tra 2 e 5 minuti;
c) il numero medio di clienti a cui l’operatore riesce a rispondere in 2 ore.
I clienti che chiamano quando l’operatore è occupato vengono messi in lista di attesa. Se
all’operatore del call center durante un turno arrivano in tutto 32 chiamate, assumendo che i tempi
relativi a clienti diversi siano tra loro indipendenti
d) calcolare il valore atteso e la varianza del tempo totale richiesto per rispondere alle 32
chiamate;
e) calcolare la probabilita' che l’operatore riesca a rispondere a tutti i 32 clienti nelle 2 ore di
durata del suo turno.
f)
Quale dovrebbe essere la durata complessiva del turno affinche' si possa rispondere a tutti i 32
clienti con probabilita' pari al 90%?
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
14 luglio 2006
Esercizio 1
In una gara tra due barche a vela A e B, consistente in una serie di prove indipendenti, la gara e’
vinta dalla prima tra A e B che vince 3 prove.
Le probabilità di vittoria sono influenzate dalle condizioni atmosferiche. Se il tempo e’ brutto le
probabilità di vittoria per A in ciascuna prova sono 0,9 e se il tempo e’ bello 0,4. Per ciascuna gara
indipendentemente, la probabilità di brutto tempo e’ 0,2.
a) Trovare la probabilità di A di vincere la prima gara.
b) Se A ha vinto la prima gara, trovare la probabilità che il tempo fosse brutto
c) Ogni gara vinta dà luogo a punteggio = 3 punti e ogni gara persa = -1 punto. Qual è il
valore atteso del punteggio di A dopo la prima vittoria di A ?
d) Trovare la probabilità di A di vincere tutta la competizione
e) Ripetere il calcolo di c) se tutte le prove si tengono nello stesso giorno, cioè le condizioni
atmosferiche sono le stesse per tutte le prove (è brutto, con prob 0,2).
Esami di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
13 Settembre 2006
Esercizio 1
Una finanziaria offre tre tipologie di prestito ai propri clienti, da 500 €, 2000 € e 10000 €. In base
all’esperienza accumulata è noto che la percentuale di clienti insolventi tra coloro che richiedono un
prestito di 500 € è dell’1%, mentre sale al 2% per le altre due tipologie di prestito.
a) Se in una giornata si presentano due clienti per sottoscrive un finanziamento da 500 €
ciascuno, qual è la probabilità che nessuno dei due risulti insolvente?
b) Se si presentano quattro clienti, ciascuno dei quali sottoscrive un finanziamento da 2000 €,
qual è la probabilità che almeno due di essi risultino insolventi?
c) Calcolare la probabilità al punto b) nel caso in cui i quattro finanziamenti richiesti fossero
stati tre da 2000 € ed uno da 10000 €.
E’ noto inoltre che il 30% dei clienti richiede finanziamenti da 500 €, mentre il 50% da 2000 €.
d) Se un giorno si presenta il Sig. Rossi, qual è la probabilità che risulti insolvente?
e) Se il Sig. Rossi è risultato insolvente, qual è la probabilità che il finanziamento da lui
richiesto fosse stato di 10000 €?
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
30 Gennaio 2007
Esercizio 1
Per le elezioni del sindaco in un dato comune si sono proposti 2 candidati: A, della
coalizione di centrodestra, e B del centrosinistra.
Dai dati relativi alle precedenti elezioni politiche è noto che il 40% della cittadinanza sostiene il
centrosinistra, un terzo sono elettori di centrodestra, e i restanti cittadini appartengono all’elettorato
di altri partiti
Supponendo che gli elettori delle due coalizioni votino per il proprio rappresentante, e che i cittadini
non appartenenti alle due coalizioni abbiano la stessa probabilità di votare ciascuno dei due
candidati
a) Calcolare la probabilità che un cittadino scelto a caso voti per il candidato sindaco B,
sostenuto dal centrosinistra.
b) Se un cittadino vota per il rappresentante del centrodestra, qual è la probabilità che faccia
parte dell’elettorato del centrodestra?
c) Quale e’ la probabilita’ che un cittadino voti per il candidato del centrodestra se non e’ un
elettore del centrodestra?
Esami di ELEMENTI DI PROBABILITÀ E STATISTICA - CLEF
13 Febbraio 2007
Esercizio 1
In un videogame a pagamento si paga 1 EURO per giocare una partita: in caso di vittoria la partita
successiva è gratis, se si vince anche quella la successiva è ancora gratis, e così via. Supponendo
che ci sia uguale probabilità p = 0,2 di vincere in ciascuna partita, e che le partite siano
indipendenti,
a) dire qual è la distribuzione di probabilità del numero di partite giocate da un dato giocatore,
Alberto, che paga solo 1 EURO
b) dire qual è il numero atteso di partite giocate da Alberto.
Alberto e un suo amico, Bruno, hanno solo 1 Euro a testa e giocano entrambi.
c) Qual è la probabilità che il numero totale di partite giocate da Alberto e Bruno sia = 3?
d) E la probabilità che sia = 4? Generalizzare la risposta trovando la distribuzione di
probabilità della variabile N = numero totale di partite giocate da Alberto e Bruno.
e) Se si sa che il numero totale di partite giocato dai due amici è 3, trovare la distribuzione di
probabilità del numero di partite giocate da Alberto.
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
28 Maggio 2007
Esercizio 1
Alcuni semafori a 3 fasi (rosso verede giallo) sono programmati in modo da restare per il
48% del tempo sul rosso, altrettanto sul verde, e il tempo restante sul giallo. Il signor X è un
guidatore prudente e non passa mai con il giallo.
a)
Il signor X va al lavoro con l’auto. Se ci sono 6 semafori del tipo descritto sopra sulla
sua strada e non sono sincronizzati, qual è la probabilità che X non si debba fermare
mai?
b)
Qual è la probabilità che X si debba fermare o 2 o 3 volte?
Il signor Y fa un altro percorso con 7 semafori non sincronizzati dello stesso tipo precedentemente
descritto, ma va di fretta e di abitudine passa anche con il semaforo giallo.
c)
Qual è la probabilità che il signor Y si debba fermare al massimo 2 volte?
d)
Calcolare la differenza media del numero di fermate al semaforo tra Y e X, se i due
percorsi sono indipendenti.
Il signor Z fa lo stesso percorso di X, è una persona distratta e ogni tanto passa anche con il
semaforo rosso: in media questo gli succede una volta su cento. Se tutti e 6 i semafori sono dotati di
un sistema di controllo per multare gli automobilisti che passano con il rosso,
e)
Calcolare la probabilità che Z non sia multato mai in un mese di 25 giorni lavorativi,
considerando sia l’andata che il ritorno dal lavoro.
f)
Calcolare la probabilità che Z sia multato almeno 2 volte nello stesso mese.
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
26 Giugno 2007
Esercizio 2
Quando si chiama il 444 di una compagnia telefonica, corrispondente a un particolare
servizio telefonico, nell’80% dei casi si riceve il messaggio di attendere in linea, e a quel punto la
persona che chiama deve decidere se rimanere in linea o riagganciare. La percentuale di clienti che
riagganciano è 60%.
(a)
Qual è la probabilità che quando si chiama il 444 la telefonata vada a buon fine, cioè il
cliente parli con l’operatore?
(b)
Se un cliente sta parlando, qual è la probabilità che abbia ottenuto subito la
comunicazione senza aver dovuto attendere?
Quando si riesce a parlare subito senza dover attendere in linea, la durata T di una telefonata è una
variabile casuale continua che segue una distribuzione esponenziale con densità


f(t) = ½e-t/2
f(t) = 0
dove t indica il tempo.
se 0 t
se t < 0
(c)
Calcolare la durata media della telefonata.
(d)
Se la compagnia telefonica fa pagare le chiamate 1 Euro per lo scatto alla risposta più 1 Euro
per ogni minuto o frazione di minuto, calcolare la probabilità per una chiamata al numero 444 si
spendano almeno 5 Euro.
(e)
Quando si riceve il messaggio di attendere e non si riaggancia, ma si rimane in attesa della
risposta, la durata della telefonata T segue la legge di probabilità
t
P(T  t) = 1 – exp(- ) se 0 t,
6
Calcolare la densità di probabilità.
P(T  t) = 0
se t < 0
Esame di ELEMENTI DI PROBABILITA’ E STATISTICA - CLEF
10 Settembre 2007
Esercizio 1
In un esperimento effettuato per studiare il comportamento di un agente economico che deve
scegliere tra diverse azioni, tutte con un esito incerto, l’esito e’ rappresentato da due quantità
aleatorie X1 e X2 (che rappresentano rispettivamente una vincita e una perdita) la cui distribuzione
di probabilità congiunta è la seguente
X1 = 0
X1= 50 Euro
0,1
0,5
X2 = 0
0,2
0,2
X2 = 100 Euro
a) Trovare le distribuzioni marginali di X1 e X2 e dire se sono indipendenti.
b) Trovare il valore atteso del premio totale X1 + X2.
c) Trovare la varianza di X1 + X2.
d) Trovare la distribuzione di probabilità del premio totale condizionatamente al fatto che non
sia negativo.
e) Ai partecipanti all’esperimento si chiede di scegliere le probabilità congiunte nella tabella in
modo che il valore atteso del premio totale non sia mai negativo. Dire quali sono i valori
massimi di ciascuna probabilità nella tabella.