Il problema della scatola di carta
Un pezzo rettangolare di cartone (40 cm x 50 cm) viene utilizzato per costruire una scatola
senza coperchio nel modo seguente: quadrati di lato x sono tagliati da ogni angolo. Il resto
viene piegato e incollato per formare una scatola. Trovare il valore di x per cui il volume
della scatola è massimo.
Cercheremo di risolvere il problema in tre modi: usando una tabella (Foglio Elettronico),
graficamente e analiticamente (senza usare la derivata) usando GeoGebra.
1. Visualizzazione del problema
L’applet mostra il cartone e il cursore nella posizione iniziale. Muovendo il cursore, la
scatola cambia la sua forma. Cerchiamo di indovinare il valore di x per cui il volume
della scatola è massimo.
2. Tabella
Il cursore è nella posizione iniziale. Il punto Vol (x, y) nell’origine. Spostando il cursore,
il punto Vol(x,y) si muove nel sistema di coordinate e le sue coordinate riempono la
tabella. Dalla tabella possiamo leggere il valore di x e il massimo V(x) (i valori sono
approssimati). Sarebbe interessante confrontare il risultato con la scelta effettuata nella
sezione 1. (Molti studenti sono deboli nello stimare i risultati).
3. Grafico
Il grafico può essere ottenuto in due modi: o direttamente muovendo il cursore (in questo
caso la tabella deve essere disattivata) oppure tracciando I punti che corrispondono alla
tabella (come normalmente facciamo in classe).
Leggendo le coordinate del punto più alto otteniamo x e il massimo V(x).
4. (Parziale) Soluzione analitica
V(x) può essere espresso come un polinomio di grado 3. Scrivendo la sua equazione nella
barra di input di GeoGebra apparirà il suo grafico. Se la nostra equazione è corretta, i
punti della sezione 3 giaceranno su di esso. Usando il comando Estremi appariranno nella
finestra di algebra le coordinate degli estremi.
Discussione:
- Perchè il grafico della sezione 3 è diverso dal grafico della sezione 4?
- Che cosa si può dire del minimo?
- I risultati delle sezioni 2, 3 e 4 sono uguali? Se no, quali sono i più accurati? Come si
può migliorare la precisione?
La derivata è insegnata a metà del grado 4. Per limiti di tempo, non siamo in grado di
risolvere il problema in classe »propriamente«, in quanto l'uso della derivata sarà
fatto nel prossimo futuro.
