Facoltà
Architettura
Insegnamento:
Istituzioni di matematiche I e
Geometria
Docente
Prof. Giannangelo Luisi
Numero di crediti:
Conoscenze preliminari
9
Anno Accademico
2009-2010
Geometria Euclidea nel piano e nello spazio
Geometria Analitica nel piano Cartesiano
Il modulo ha l'obiettivo di fornire agli allievi gli strumenti per rappresentare
analiticamente grafici di funzioni, curve e superfici algebriche: coniche e
quadriche.
Obiettivi formativi:
MAT/03
MATRICI, DETERMINANTI, SISTEMI LINEARI
Generalità sulle matrici. Determinante di una matrice quadrata. Operazioni tra matrici.
Matrici invertibili. Matrici ortogonali. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari.
Sistemi di Cramer. Teorema di Rouchè-Capelli. Discussione di sistemi con parametro.
VETTORI DELLO SPAZIO
Definizione di vettore. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore.
Dipendenza lineare. Basi e componenti. Basi ortonormali. Prodotto scalare. Prodotto
vettoriale. Prodotto misto. Vettori del piano.
GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO
Riferimento ortonormale del piano. Rappresentazioni della retta. Parallelismo. Fasci di
rette. Angoli di due rette. Perpendicolarità. Distanze. Rappresentazioni della
circonferenza e relative proprietà. Cambiamenti di riferimenti ortonormali. Coniche
come luoghi geometrici. Coniche come curve algebriche del secondo ordine. Invarianti.
Posizioni di una retta rispetto ad una conica. Tipi di coniche. Equazione canonica di una
conica.
GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO
Riferimento ortonormale e coordinate cartesiane dello spazio. Rappresentazioni del
piano. Parallelismo tra piani. Fasci di piani. Rappresentazioni della retta. Problemi di
parallelismo e intersezione. Angoli. Distanze. Rappresentazioni della sfera e della
circonferenza. Rappresentazioni di una superficie. Rappresentazioni di una curva. Curve
piane e curve sghembe. Coni e cilindri. Proiezioni di una curva. Superfici di rotazione.
POLINOMI ED EQUAZIONI NEL CAMPO COMPLESSO
GENERALITÁ SUGLI SPAZI VETTORIALI
Definizione di spazio vettoriale e prime proprietà. Esempi di spazi vettoriali. Sottospazi
di uno spazio vettoriale. Combinazioni e dipendenza lineare di vettori. Basi e dimensione
di uno spazio vettoriale. Sottospazi generati.
GEOMETRIA PROIETTIVA
Coordinate omogenee ed equazioni omogenee degli elementi del piano e dello spazio.
Coniche e loro classificazione. Quadriche e loro classificazione. Sezione di un piano con
una quadrica.
ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA
TEORIA DEGLI INSIEMI E INTERVALLI SULLA RETTA
FUNZIONI
Concetto di funzione. Funzione composta di più funzioni. Iniettività, suriettività,
biiettività, invertibilità di una funzione. Operazioni di restrizione e riduzione di una
funzione. Tracciamento del grafico delle funzioni elementari. Alcune matematizzazioni
di problemi concreti con il concetto di funzione. Funzione parte positiva e parte negativa
di una funzione, funzione valore assoluto, funzioni monotone e strettamente monotone,
in senso locale e in senso globale. Punti di minimo e di massimo. Funzioni periodiche,
funzioni pari e dispari. Funzione parte pari e parte dispari di una funzione.
LIMITI
Definizione di punto di accumulazione, definizione di limite. Teorema della permanenza
del segno, Teorema dell’unicità del limite. Regole algebriche per il calcolo dei limiti.
Infiniti e infinitesimi. Ordine di un una funzione infinita o infinitesima. Utilizzo della
parte principale di una funzione nel calcolo dei limiti. Asintoti verticali, orizzontali e
obliqui.
CONTINUITÀ
Definizione intuitiva del concetto di funzione continua su un insieme. Teorema della
permanenza del segno. Formalizzazione del concetto di funzione continua in un punto.
Teoremi sulle funzioni continue: Teorema di Weierstrass, teorema della permanenza del
segno, teorema degli zeri, Teorema di Bolzano.
DERIVABILITÀ
Concetto di derivabilità di una funzione in un punto. Significato geometrico e
fisico del concetto di derivata. Derivate di ordine superiore al primo. Teorema
di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica e fisica. Polinomi
approssimanti. Polinomio di Taylor e formula del resto di Peano. Applicazioni
del Polinomio di Taylor al calcolo dei Limiti (Teorema dell’Hopital. Utilizzo
del Teorema dell’Hopital per risolvere le forme indeterminate (0/0) e (/) e
per il calcolo dei limiti notevoli). Formula del Binomio di Newton. Condizioni
sufficienti per la monotonia e la convessità di una funzione.
Articolazione in tipologie
didattiche
STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Studio del segno della funzioni resto del Polinomio di Taylor di diverso ordine
per dedurre informazioni sul grafico della funzione (segno, monotonia,
convessità).
Il corso comprende lezioni teoriche ed esercitazioni
Prova finale:
Esame scritto ed orale
Testi di riferimento
principali
TESTI CONSIGLIATI
Appunti delle lezioni.
Marcellini – Sbordone
