Esercizi di Matematica Discreta
Soluzioni
1) Ogni parola del quesito dipende dalle variabili
x1 = scelta delle 3 posizioni in cui inserire la lettera a
x2 = scelta dei valori da inserire nella prima delle 2 rimanenti posizioni.
x3 = scelta dei valori da inserire nella seconda delle 2 rimanenti posizioni.
I valori possibili di x1 corrispondono alle combinazioni semplici di 5 caselle prese a 3 a 3 e sono in
5
numero di (
)=10. Fissato un valore di x1, i valori possibili di x2 sono in numero di 4 (in tale
3
posizione si deve inserire un valore scelto fra le 4 lettere b,c,d,e). Fissato un valore di x 1 e un valore
di x2, i valori possibili di x3 sono di nuovo in numero di 4. La risposta è il prodotto 1044=160
2) Se mcd(a,b)=1, sappiamo che esistono due coefficienti interi relativi x,y tali che 1=ax+by. Se c è
un qualunque numero naturale, moltiplicando ambo i membri per c si ha c=a(xc)+b(yc) e si ottiene
che c è combinazione lineare di a,b con coefficienti interi relativi xc, yc rispettivamente.
3) Applichiamo il principio di induzione al predicato P(n)=” 21+22+…+2n=2n+1-2”.
P(1) è vero perché 21=21+1-2. Supponendo vero P(k), dimostriamo vero P(k+1):
P(k+1)=” 21+22+…+2k+1=2k+2-2 “ (da dimostrare vero).
Ma si calcola che 21+22+…+2k+1=(21+22+…+2k)+2k+1=(2k+1-2)+2k+1=22k+1-2=2k+2-2
(dove si è sfruttato che, per ipotesi, è vero P(k)=” 21+22+…+2k=2k+1-2”).
4) Si può utilizzare il principio di inclusione-esclusione in forma positiva. Se A è l’insieme di tutte
le parole di lunghezza 4 sull’alfabeto di 8 lettere, in corrispondenza delle 2 proprietà indicate nel
suggerimento, si costruiscono 2 sottoinsiemi di A:
X1 = { parole xA / la prima e la seconda lettera di x sono uguali }
X2 = { parole xA / la seconda e la terza lettera di x sono uguali }
La risposta al quesito è la cardinalità dell’unione X1X2:
X1X2=X1+X2-X1X2
Applicando il principio delle scelte multiple si hanno i seguenti valori:
X1=82=X2, X1X2=8
da cui X1X2=82+82-8=120
5) Si può utilizzare il principio di inclusione-esclusione in forma negativa. Se A è l’insieme di tutte
le funzioni f: B={1,2,3,4} C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (che ha cardinalità 124), si
costruiscono i 2 sottoinsiemi di A:
X1 = { funzioni fA / f soddisfa la proprietà a)}
X2 = { funzioni fA / f soddisfa la proprietà b)}
e si calcola A-X1X2. Si ha poi:
X1X2=X1+X2-X1X2=104+1211109-10987
(dove i valori numerici si ottengono applicando opportunamente il principio delle scelte multiple).
La risposta è dunque 124-(104+1211109-10987)=…….
6) Seguendo il suggerimento, si può usare il principio delle scelte multiple: i modi di scegliere i 6
15
lanci (fra 15) in cui esce un pari sono in numero di (
); fissati i 6 lanci, i modi di scegliere i
6
numeri pari che escono in tali lanci sono in numero di 36; fissati i 6 lanci e i numeri pari che escono
in tali lanci, i modi di scegliere i numeri (dispari) che escono nei rimanenti 9 lanci sono in numero
15
di 39. La risposta è dunque il prodotto (
)3639=……….
6
7) Ognuno dei sottoinsiemi da contare si ottiene dall’unione di {1,2} (termine fissato) con un
sottoinsieme dell’insieme {3,4,5,6,7} (termine variabile). Quindi il numero di tali sottoinsiemi
coincide con il numero dei sottoinsiemi di {3,4,5,6,7} (che ha cardinalità 5) ed è dunque 25.
8) Primo caso: nessun palo è colorato di rosso. In questo caso ognuno dei 7 pali può essere colorato
con 4 possibili colori, e le colorazioni sono in numero di 47.
Secondo caso: esattamente un palo è colorato di rosso e gli altri 6 con uno dei 4 colori rimanenti. In
questo caso si sceglie la posizione del palo rosso (7 scelte possibili) e, fissata questa, si scelgono i
colori per gli altri 6 pali (46 scelte possibili), quindi il numero di colorazioni è il prodotto 746.
Terzo caso: esattamente due pali sono colorati di rosso e gli altri 5 con uno dei 4 colori rimanenti. In
7
questo caso si scelgono le posizioni dei 2 pali rossi ((
) scelte possibili) e, fissate queste, si
2
scelgono i colori per gli altri 5 pali (45 scelte possibili), quindi il numero di colorazioni è il prodotto
7
7
(
)45. La risposta è la somma 47+746+(
)45=…………
2
2
