Problema 2

20Corso di laurea in Scienze Ambientali - A.A. 2010/2011
Prova scritta di Fisica I del 21/02/2011
Problema 1
vi
(1)
Un treno, composto da due vagoni eguali (1) e (2),
di massa M = 20 ton, urta un terzo vagone (3),
identico a ciascuno dei primi due, fermo inizialmente
sui binari. Prima dell’urto la velocità del treno ha
modulo vi = 60 km/h; dopo l’urto i tre vagoni
procedono agganciati ad una velocità comune vf.
1.a) Determinare il valore della velocità vf e la
variazione complessiva di energia meccanica Em nell’urto. (quattro punti)
(3)
(2)
Se l’urto dura un intervallo di tempo T = 0.1 s
1.b) determinare le medie temporali <F1(t)>, <F2(t)> e <F3(t)> delle intensità delle forze agenti durante
l’urto su ciascuno dei tre vagoni. (quattro punti)
Supponendo che le strutture materiali di cui sono costituiti i vagoni si deformino nel momento in cui le forze
di contatto a cui sono soggetti superano una certa intensità fissata,
1.c) determinare quali vagoni subiranno una deformazione per primi, motivando la risposta. (tre punti)
Problema 2
Una sfera metallica cava di raggio esterno R = 5,0 cm e raggio interno ignoto
Ri galleggia, in equilibrio, immersa in acqua distillata esattamente per metà
(figura A). Attaccando al fondo della sfera un corpo di massa m e volume
trascurabile, la sfera e il suo carico stanno in equilibrio completamente
immersi (figura B).
2.a) Determinare la massa m dell’ oggetto aggiunto. (quattro punti)
A
pA
Si prova ad ottenere lo stesso effetto di affondamento, invece che l’aggiunta
alla sfera del peso aggiuntivo, “spingendo giù” la sfera tramite un raddoppio
pa 2 pa della pressione esterna dell’ aria sulla sua superficie emersa (e sul
pelo libero dell’acqua).
2.b) Determinare di quanto si immerge la sfera, motivando la risposta. (tre
punti)
B
Sapendo che il materiale di cui è composto la sfera ha densità  = 5 g/cm3 ,
2.c) determinare il raggio interno Ri (riferendosi per semplicità alla situazione
A). (quattro punti)
m
Soluzione 1
1.a) Durante l’urto non sono presenti forze esterne impulsive, per cui la quantità di moto del sistema si
conserva. In formule:
Qi = 2 M vi = 3 M vf = Qf
vf = 2/3 vi = 40 km/h
La variazione di energia meccanica consiste della sola variazione di energia cinetica. In formule:
Em = Ek = Ekf – Eki = ½ 3 M vf2 – ½ 2 M vi2 = (2/3 M – M) vi2 =-1/3 M vi2 = -1,8 106 J
1.b) Le variazioni di quantità di moto dei vagoni 1, 2 e 3 sono rispettivamente:
Q1 = Q2 = M(vf-vi) = -1,1 105 kg m/s
Q3 = M vf = 2,2 105 kg m/s
e
La variazione di quantità di moto diviso per il tempo impiegato per ottenere tale variazione è uguale alla
intensità media della forza agente su un corpo:
<F> = 1/T ∫F(t) dt = 1/T ∫dQ(t)/dt dt = (Qf-Qi)/T = Q /T
Per cui:
<F1> = <F2> = Q1/T = M(vf-vi)/T = -1,1 106 N
<F3> = M vf /T= 2,2 106 N
1.c) Per rispondere a questa domanda occorre conoscere le forze di contatto che si creano tra le pareti dei
vagoni al momento dell’urto. Per quel che riguarda la parete tra il vagone 3 e il vagone 2 la forza di contatto
media <F23> = <F32> è pari alla forza media <F3> responsabile della variazione della quantità di moto del
vagone 3. Per quel che riguarda invece la parete tra il vagone 1 e il vagone 2 la forza di contatto media
<F12> = <F21> è pari alla forza <F1> responsabile della variazione della quantità di moto del vagone 1.
Vediamo dunque che sulle pareti che separano il vagone 3 dal vagone 2 viene esercitata una forza doppia
rispetto a quella esercitata sulle pareti che separano il vagone 2 dal vagone 1, e quindi la prima parete a
deformarsi è quella tra il vagone 2 e il vagone 3, come del resto era logico aspettarsi.
Soluzione 2
2.a) All’ equilibrio la spinta di Archimede eguaglia in modulo il peso della sfera Mg più il peso m g del piccolo
carico.
Mg + mg = 4/3  R3 H2O g
D’ altra parte, dalla situazione di equilibrio prima di attaccare il carico, si deduce
Mg = 2/3  R3 H2O g
Quindi :
m = 2/3  R3 H2O = 0,26 kg
2.b) Aumentare la pressione esterna non produce alcun effetto di affondamento sulla sfera. Infatti,
all’aumento di pressione sulla superficie emersa della sfera , corrisponde un equivalente aumento di
pressione sulla superficie libera dell’ acqua, e un identico aumento di pressione in ogni punto del liquido.
Quindi ad un aumento della forza (verso il basso) sulla superficie semisferica emersa corrisponde un
identico aumento aumenta (verso l’ alto) della forza di Archimede sulla superficie semisferica immersa.
Possiamo notare, equivalentemente, che la forza di Archimede è pari in modulo al peso del fluido spostato, e
il peso del fluido spostato non dipende dalla pressione esterna.
2.c) La sfera è sottoposta alla spinta di Archimede e alla forza peso. L’equilibrio si raggiunge quando il peso
del liquido spostato (di volume pari a mezza sfera) è pari al peso della sfera. In formule, detto Ri il raggio
della cavità interna della sfera e H2O = 1,0 g / cm3 la densità dell’acqua, si ha :
mg = 4/3  (R3 – Ri3)  g = 2/3  R3 H2O g
→
Ri = R (( – H2O/2)/)-1/3 = 4.8 cm .