Compito di Fisica 1 23 Luglio 2014 Corso di Laurea in Ingegneria

Compito di Fisica 1
23 Luglio 2014
Corso di Laurea in Ingegneria elettronica e delle Telecomunicazioni
1. Un tubo orizzontale liscio di lunghezza L = AB = 50cm ruota con
velocità angolare ω = 2 rad/s intorno ad un asse verticale. Una
particella, posta all’estremità A al tempo t = 0 ha velocità v0 = - Lωur.
Determinare le funzioni r(t), distanza della particella dall’asse di
rotazione e v(t), velocità della particella, in funzione del tempo.
ω
v0
B
A
ur
2. Un ragazzo è appoggiato alla parete A di un vagone (M = massa ragazzo + vagone) inizialmente fermo e
posto su un piano orizzontale. All’istante t = 0 il ragazzo
lancia una palla ( m = massa palla ) sul fondo del vagone con
velocità v0 verso la parete opposta (L = AB). Siano nulli i
coefficienti di attrito palla/vagone e vagone/piano. La palla
v0
urta la parete in B elasticamente quindi colpisce la parete
A
B
opposta in A con urto anelastico, in modo che la sua
x
O
velocità finale sia nulla. (a) Determinare il tempo totale in
cui avviene il moto della palla; (b) Descrivere il moto del vagone in tale intervallo di tempo.
3. Un rocchetto è costituito da due dischi coassiali omogenei di stessa densità,
rispettivamente di massa m1 e m2 = 900g, uguale altezza h e raggi R1 =0.1m, R2
=3R1. Il sistema poggia su un piano orizzontale. Una fune è avvolta sul disco di raggio
minore, la fune viene tirata mediante una forza F con inclinazione θ rispetto
all’orizzontale. (a) Determinare quale valore deve assumere il modulo della forza F
perché il rocchetto strisci senza ruotare se il piano è scabro con coefficiente di
attrito µ = 0.2 e θ = π/6. (b) Determinare per quali valori di F e dell’angolo θ il
rocchetto si ha rotolamento in assenza di attrito.
F
R1
θ
R2
4. Un fluido di viscosità 0.9Ns/m2 e densità 1260 kg/m3 viene pompato in un tubo orizzontale di diametro 1cm
e lunghezza 5m in modo da mantenere una portata pari a Q = 3 litri/min. Valutare se il flusso del fluido nel tubo
è di tipo laminare o turbolento e determinare la perdita di pressione lungo il tubo.
5. Due oggetti di alluminio (numero atomico = 13) rispettivamente di massa m1 = 100g e m2 =200g, con
temperature iniziali T1 =4K e T2 = 12K , vengono posti a contatto termico all’interno di un contenitore
adiabatico. Determinare: (a) la temperatura finale di equilibrio e la variazione di entropia dell’universo
sapendo che in tale regione di temperatura il calore specifico molare del materiale dipende dalla temperatura
con relazione C(T) = AT3 con A=3.15x10-5 J/(mol K4); (b) come varierebbero i risultati ottenuti in (a) nel caso in
tale regione di temperatura utilizzassimo la legge di Dulong-Petit ?
Soluzioni
1. Il moto del punto materiale può essere visto in un sistema non inerziale dove la forza apparente agente sul è
=
la forza centrifuga F = ma = mω2r ur →
=
secondo per dr ottengo :
=
=−
ln
. Poiché vdt = dr, se moltiplico il primo membro per vdt ed il
. Integrando con condizione iniziale: v = v0 per r = L abbiamo:
−
=
−
(segno – perché v opposta a ur). Da
=−
e quindi :
=−
=−
scriviamo
. La velocità risulta:
=
e quindi la legge oraria :
=
da cui , osservando che
otteniamo
ottenendo:
=−
.
2. All’inizio il sistema è fermo e quindi la quantità di moto totale è nulla. Quando il ragazzo lancia la palla
agiscono solo forze interne e quindi la quantità di moto totale del sistema si conserva, perciò il vagone inizia a
=−
muoversi con velocità V tale che: mv0 + MV = 0 →
=
in B, si calcola considerando: x = vt →
−
. Il tempo della prima collisione con la parete,
da cui abbiamo: ∆
!
=
#
$
!"
. Durante la collisione
elastica si conserva sia la quantità di moto totale che l’energia cinetica totale del sistema:
%
&
−'
&
='
(
− % (ì
1
%
2
&
Prima dell’urto
1
+ %
2
&
1
= %
2
(
1
+ %
2
Vi
vi
(
Dopo l’urto
vf
Vf
da cui si ottiene vi –vf = Vf – Vi . Inoltre valgono le:
&
=−
&
;
(
=−
(
x
quindi : vi = vf ; Vi = Vf, cioè le velocità
restano invariate in modulo ma cambiano di verso dopo l’urto. L’intervallo di tempo per raggiungere la parete
opposta, in A, dopo la prima collisione, è: ∆
=
#
$
!"
.
(b) Il moto del vagone nel tempo
spazio percorso è -! = −
=+
+
"
=
∆
0<t<
!
=−
"
#
$
!"
#
$
!"
= ∆ !. La collisione anelastica avviene perciò all’istante
è un moto rettilineo uniforme con velocità
. Nel tempo
#
$
!"
< t <
#
$
!"
=−
la velocità del vagone è
, il moto è rettilineo uniforme, nel tempo ∆t2 il vagone percorre il tratto: - = +
, ritornando all’istante T nella posizione iniziale, O.
. Lo
∆
=
3. I due dischi hanno stessa densità ρ e stessa altezza h quindi m1 = ρ πR12 h , m2 = ρ πR22 h quindi: m1 = m2R12/
R22 = m2/9 = 100g. Pongo: M = m1 + m2 = 1kg. (a) Se il corpo striscia senza rotolare le equazioni cardinali della
meccanica si scrivono:
./012 − 3 = '4
.1 52 + 6 = 7
38 − .8! = 0
con 3 = :6. Abbiamo quindi: .8! = : '; − .1 52 8
→ .=
<=> ?
=@ "<=> ABCD
.
(b) Le equazioni cardinali della meccanica nel caso particolare richiesto divengono:
./012 = '4
.1 52 + 6 = 7
.8! = EF
!
!
>
> =>
>
@ =@
!
con E = %! 8! + % 8 = %! 8! 1 +
= 41%! 8! , 4 = F8 abbiamo:
./012 = 10%! 4
. = 41%!
8!
4
8
Perciò: /012 =
! =>
H! =@
= 0.73 → θ = 43°. Inoltre deve valere N ≥ 0 e quindi . ≤
4. (a) Utilizziamo il numero di Reynolds: 8 =
Velocità media del fluido nel condotto: <
?
ABCD
, (uguaglianza se µ ≠ 0).
J =
.
K
>=
N
O= >
=
P ! QR
O P ! QS
= 0.64
A
. Allora 8 =
J =
K
= 4.48 ≪ 1200
perciò il moto del fluido è laminare.
(b) Utilizzando la legge di Hagen-Poiseouille: ∆W =
NXK
O=Y
= 9.2 ∙ 10P 74.
5. Il numero di moli corrispondenti alla massa dei due corpi è rispettivamente 5! =
(a) Poiché il sistema è all’interno di un contenitore adiabatico Qtot = 0
Te
Te
Te
T1
T1
T1
Q1 = ∫ dQ = ∫ n1c(T )dT =n1 ∫ AT 3 dT =n1
Te
T
→
T
@
\
=
!
]
= 3.85 , n2 = 2n1.
Q1 + Q2 = 0 con:
e
e
A
A 4
Te − T14 ; Q2 = ∫ dQ = ∫ n 2 c(T ) dT =n 2 ∫ AT 3 dT =n 2 Te4 − T24 .
4
4
T2
T2
T2
[
]
[
]
Si ottiene: Te =
4
n1T14 + n2T24
. Entropia dell’Universo : ∆Su = ∆Samb + ∆Ssistema. Poiché non si ha scambio di
n1 + n2
calore tra sistema ed ambiente, ∆Samb = 0
Tf
Tf
T
Tf
Tf
T
→ ∆Su = ∆Ssistema = ∆S1 + ∆S2 con:
e
n c(T )dT
dQ
A
∆S1 = ∫
= ∫ 1
= n1 ∫ AT 2 dT =n1 Te3 − T23 >0
T
T
3
T1
T Al
T1
[
]
e
n c(T ) dT
dQ
A
∆S 2 = ∫
=∫ 2
= n 2 ∫ AT 2 dT =n 2 Te3 − T23 < 0
T
T
3
T2
T2
T2
[
]
Complessivamente la variazione di entropia dell’universo risulta ∆S u > 0 > 0 perché la trasformazione è
irreversibile.
(b) Se utilizzassimo la legge di Dulong – Petit , per la quale il calore specifico molare è indipendente dalla
temperatura e pari a c = 3R = 24.93 J/mol, avremmo: Te =
n1c T1 + n2 cT2
n1c + n2 c
= 9.33K . Per la valutazione
dell’entropia dell’Universo risulterebbe ∆Su = ∆S1 + ∆S2 con:
 Te
dQ e n1 c dT
∫T T = T∫ T = n1 3R ln T1
1
1
Te
∆S1 =
T
T
Te
n c dT

T
 > 0; ∆S 2 = ∫ dQ = ∫ 2
= n 2 3R ln e
T
T

 T2
T
T
e
2
1

 < 0 tale che ∆S u > 0 .

Si osserva che la valutazione realistica è quella fatta nel caso (a), infatti per poter applicare la legge di Dulong
– Petit è necessario che la temperatura del corpo sia molto maggiore della temperatura di Debye, ΘD del
materiale ( per l’alluminio ΘD dell’ordine di 400 K ) mentre per temperature molto inferiori a ΘD l’andamento
del calore specifico è appunto funzione di T3.