Compito di Fisica 1 23 Luglio 2014 Corso di Laurea in Ingegneria elettronica e delle Telecomunicazioni 1. Un tubo orizzontale liscio di lunghezza L = AB = 50cm ruota con velocità angolare ω = 2 rad/s intorno ad un asse verticale. Una particella, posta all’estremità A al tempo t = 0 ha velocità v0 = - Lωur. Determinare le funzioni r(t), distanza della particella dall’asse di rotazione e v(t), velocità della particella, in funzione del tempo. ω v0 B A ur 2. Un ragazzo è appoggiato alla parete A di un vagone (M = massa ragazzo + vagone) inizialmente fermo e posto su un piano orizzontale. All’istante t = 0 il ragazzo lancia una palla ( m = massa palla ) sul fondo del vagone con velocità v0 verso la parete opposta (L = AB). Siano nulli i coefficienti di attrito palla/vagone e vagone/piano. La palla v0 urta la parete in B elasticamente quindi colpisce la parete A B opposta in A con urto anelastico, in modo che la sua x O velocità finale sia nulla. (a) Determinare il tempo totale in cui avviene il moto della palla; (b) Descrivere il moto del vagone in tale intervallo di tempo. 3. Un rocchetto è costituito da due dischi coassiali omogenei di stessa densità, rispettivamente di massa m1 e m2 = 900g, uguale altezza h e raggi R1 =0.1m, R2 =3R1. Il sistema poggia su un piano orizzontale. Una fune è avvolta sul disco di raggio minore, la fune viene tirata mediante una forza F con inclinazione θ rispetto all’orizzontale. (a) Determinare quale valore deve assumere il modulo della forza F perché il rocchetto strisci senza ruotare se il piano è scabro con coefficiente di attrito µ = 0.2 e θ = π/6. (b) Determinare per quali valori di F e dell’angolo θ il rocchetto si ha rotolamento in assenza di attrito. F R1 θ R2 4. Un fluido di viscosità 0.9Ns/m2 e densità 1260 kg/m3 viene pompato in un tubo orizzontale di diametro 1cm e lunghezza 5m in modo da mantenere una portata pari a Q = 3 litri/min. Valutare se il flusso del fluido nel tubo è di tipo laminare o turbolento e determinare la perdita di pressione lungo il tubo. 5. Due oggetti di alluminio (numero atomico = 13) rispettivamente di massa m1 = 100g e m2 =200g, con temperature iniziali T1 =4K e T2 = 12K , vengono posti a contatto termico all’interno di un contenitore adiabatico. Determinare: (a) la temperatura finale di equilibrio e la variazione di entropia dell’universo sapendo che in tale regione di temperatura il calore specifico molare del materiale dipende dalla temperatura con relazione C(T) = AT3 con A=3.15x10-5 J/(mol K4); (b) come varierebbero i risultati ottenuti in (a) nel caso in tale regione di temperatura utilizzassimo la legge di Dulong-Petit ? Soluzioni 1. Il moto del punto materiale può essere visto in un sistema non inerziale dove la forza apparente agente sul è = la forza centrifuga F = ma = mω2r ur → = secondo per dr ottengo : = =− ln . Poiché vdt = dr, se moltiplico il primo membro per vdt ed il . Integrando con condizione iniziale: v = v0 per r = L abbiamo: − = − (segno – perché v opposta a ur). Da =− e quindi : =− =− scriviamo . La velocità risulta: = e quindi la legge oraria : = da cui , osservando che otteniamo ottenendo: =− . 2. All’inizio il sistema è fermo e quindi la quantità di moto totale è nulla. Quando il ragazzo lancia la palla agiscono solo forze interne e quindi la quantità di moto totale del sistema si conserva, perciò il vagone inizia a =− muoversi con velocità V tale che: mv0 + MV = 0 → = in B, si calcola considerando: x = vt → − . Il tempo della prima collisione con la parete, da cui abbiamo: ∆ ! = # $ !" . Durante la collisione elastica si conserva sia la quantità di moto totale che l’energia cinetica totale del sistema: % & −' & =' ( − % (ì 1 % 2 & Prima dell’urto 1 + % 2 & 1 = % 2 ( 1 + % 2 Vi vi ( Dopo l’urto vf Vf da cui si ottiene vi –vf = Vf – Vi . Inoltre valgono le: & =− & ; ( =− ( x quindi : vi = vf ; Vi = Vf, cioè le velocità restano invariate in modulo ma cambiano di verso dopo l’urto. L’intervallo di tempo per raggiungere la parete opposta, in A, dopo la prima collisione, è: ∆ = # $ !" . (b) Il moto del vagone nel tempo spazio percorso è -! = − =+ + " = ∆ 0<t< ! =− " # $ !" # $ !" = ∆ !. La collisione anelastica avviene perciò all’istante è un moto rettilineo uniforme con velocità . Nel tempo # $ !" < t < # $ !" =− la velocità del vagone è , il moto è rettilineo uniforme, nel tempo ∆t2 il vagone percorre il tratto: - = + , ritornando all’istante T nella posizione iniziale, O. . Lo ∆ = 3. I due dischi hanno stessa densità ρ e stessa altezza h quindi m1 = ρ πR12 h , m2 = ρ πR22 h quindi: m1 = m2R12/ R22 = m2/9 = 100g. Pongo: M = m1 + m2 = 1kg. (a) Se il corpo striscia senza rotolare le equazioni cardinali della meccanica si scrivono: ./012 − 3 = '4 .1 52 + 6 = 7 38 − .8! = 0 con 3 = :6. Abbiamo quindi: .8! = : '; − .1 52 8 → .= <=> ? =@ "<=> ABCD . (b) Le equazioni cardinali della meccanica nel caso particolare richiesto divengono: ./012 = '4 .1 52 + 6 = 7 .8! = EF ! ! > > => > @ =@ ! con E = %! 8! + % 8 = %! 8! 1 + = 41%! 8! , 4 = F8 abbiamo: ./012 = 10%! 4 . = 41%! 8! 4 8 Perciò: /012 = ! => H! =@ = 0.73 → θ = 43°. Inoltre deve valere N ≥ 0 e quindi . ≤ 4. (a) Utilizziamo il numero di Reynolds: 8 = Velocità media del fluido nel condotto: < ? ABCD , (uguaglianza se µ ≠ 0). J = . K >= N O= > = P ! QR O P ! QS = 0.64 A . Allora 8 = J = K = 4.48 ≪ 1200 perciò il moto del fluido è laminare. (b) Utilizzando la legge di Hagen-Poiseouille: ∆W = NXK O=Y = 9.2 ∙ 10P 74. 5. Il numero di moli corrispondenti alla massa dei due corpi è rispettivamente 5! = (a) Poiché il sistema è all’interno di un contenitore adiabatico Qtot = 0 Te Te Te T1 T1 T1 Q1 = ∫ dQ = ∫ n1c(T )dT =n1 ∫ AT 3 dT =n1 Te T → T @ \ = ! ] = 3.85 , n2 = 2n1. Q1 + Q2 = 0 con: e e A A 4 Te − T14 ; Q2 = ∫ dQ = ∫ n 2 c(T ) dT =n 2 ∫ AT 3 dT =n 2 Te4 − T24 . 4 4 T2 T2 T2 [ ] [ ] Si ottiene: Te = 4 n1T14 + n2T24 . Entropia dell’Universo : ∆Su = ∆Samb + ∆Ssistema. Poiché non si ha scambio di n1 + n2 calore tra sistema ed ambiente, ∆Samb = 0 Tf Tf T Tf Tf T → ∆Su = ∆Ssistema = ∆S1 + ∆S2 con: e n c(T )dT dQ A ∆S1 = ∫ = ∫ 1 = n1 ∫ AT 2 dT =n1 Te3 − T23 >0 T T 3 T1 T Al T1 [ ] e n c(T ) dT dQ A ∆S 2 = ∫ =∫ 2 = n 2 ∫ AT 2 dT =n 2 Te3 − T23 < 0 T T 3 T2 T2 T2 [ ] Complessivamente la variazione di entropia dell’universo risulta ∆S u > 0 > 0 perché la trasformazione è irreversibile. (b) Se utilizzassimo la legge di Dulong – Petit , per la quale il calore specifico molare è indipendente dalla temperatura e pari a c = 3R = 24.93 J/mol, avremmo: Te = n1c T1 + n2 cT2 n1c + n2 c = 9.33K . Per la valutazione dell’entropia dell’Universo risulterebbe ∆Su = ∆S1 + ∆S2 con: Te dQ e n1 c dT ∫T T = T∫ T = n1 3R ln T1 1 1 Te ∆S1 = T T Te n c dT T > 0; ∆S 2 = ∫ dQ = ∫ 2 = n 2 3R ln e T T T2 T T e 2 1 < 0 tale che ∆S u > 0 . Si osserva che la valutazione realistica è quella fatta nel caso (a), infatti per poter applicare la legge di Dulong – Petit è necessario che la temperatura del corpo sia molto maggiore della temperatura di Debye, ΘD del materiale ( per l’alluminio ΘD dell’ordine di 400 K ) mentre per temperature molto inferiori a ΘD l’andamento del calore specifico è appunto funzione di T3.