IL CALCOLO DELLE PROBABILITA`

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
L’evento è un fatto che avviene in un determinato momento (evento certo), o che
potrebbe avvenire (eventi incerto) o che non può avvenire (evento impossibile).
Esempio
In un sacchetto ci sono 10 palline blu.

La probabilità di estrarre una pallina blu è un evento certo

La probabilità di estrarre una pallina verde è impossibile
In un sacchetto ci sono 6 palline blu e 4 verdi.

La probabilità di estrarre una pallina blu o una verde è un evento incerto (cioè
possibile ma non certo)
Probabilità di un evento casuale
La probabilità di un evento casuale (PE) si calcola facendo il rapporto tra il numero dei
casi favorevoli (f) e il numero dei casi possibili (n).
PE = f / n
Se tale probabilità è uguale a 1 allora l’evento è certo, se è uguale a 0 è impossibile, se è
compreso tra 0 e 1 è casuale.
Esempio
In un sacchetto ci sono 3 palline verdi e 7 rosse.

La probabilità di estrarre una pallina verde è 3/10, perché i casi possibili sono 10 e
quelli favorevoli sono 3 (evento casuale)

La probabilità di estrarre una pallina colorata è 10/10 = 1, perché i casi possibili
sono 10 e quelli favorevoli sono 10 (evento certo)

La probabilità di estrarre una pallina gialla è 0/10 = 0, perché i casi possibili sono
10 e quelli favorevoli sono 0.
Frequenza relativa di un evento casuale
La frequenza relativa (F) di un evento casuale
si calcola facendo il rapporto tra la
frequenza assoluta (numero di volte che si è verificato un evento) e il numero di prove
effettuate.
F = frequenza assoluta
n° prove effettuate
Esempio
In un sacchetto ci sono due palline una rossa e una verde.
Evento A: estrazione della pallina rossa
Evento B: estrazione della pallina verde
La probabilità matematica dei due eventi è sempre ½ = 0,5. Ma nella realtà non è così.
Osserva la tabella.
frequenze assolute
evento
100
150
200
estrazioni
estrazioni
estrazioni
22
45
72
97
28
55
78
103
10 estrazioni
50 estrazioni
A
4
B
6
Calcoliamo le frequenze relative:
frequenze relative
evento
10 estrazioni
50 estrazioni
A
4/10 = 0,4
22/50 = 0,44
B
6/10 = 0,6
28/50 = 0,56
100
150
estrazioni
estrazioni
45/100
0,45
55/100
0,55
= 72/150
200 estrazioni
= 97/200
0,48
0,485
= 78/150
= 103/200
0,52
0,515
=
=
Dalla tabella si evince che le frequenze relative degli eventi A e B, aumentando il numero
delle estrazioni, si avvicinano sempre più al valore della probabilità matematica, cioè ½ =
0,5.
Eventi indipendenti ed eventi dipendenti
“Due eventi sono indipendenti se il verificarsi di uno non cambia la probabilità del
verificarsi dell’altro.”
Esempio: in un sacchetto ci sono 3 palline rosse e 2 gialle, in un altro sacchetto ci sono 2
palline gialle e 2 rosse.
Evento A: estrazione di una pallina gialla dal primo sacchetto
Evento B: estrazione di una pallina gialla dal secondo sacchetto
Il verificarsi dell’evento A non ha alcuna influenza sul verificarsi dell’evento B, perciò i due
eventi sono indipendenti.
“Due eventi sono dipendenti se il verificarsi di uno altera la probabilità del verificarsi
dell’altro.”
Esempio: in un sacchetto ci sono 4 palline rosse e 3 gialle.
Evento C: estrazione dal sacchetto di un pallina gialla
Evento D: estrazione dallo stesso sacchetto di una seconda pallina gialla senza rimettere la
pallina precedentemente estratta
L’evento C altera il verificarsi dell’evento D: la probabilità di estrarre la prima pallina gialla
è 3/7, la probabilità di estrarre la seconda è 2/6 = 1/3. In questo casi gli eventi si dicono
dipendenti.
Probabilità di un evento composto da due eventi indipendenti
La probabilità di un evento composto da due eventi semplici tra loro indipendenti è
uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi.
Esempio: lanciamo due monete e calcoliamo la probabilità che escano due teste
1a moneta
T
Il numero dei casi favorevoli è 1
Il numero dei casi possibili è 4
T
La probabilità che escano due teste è 1/4
C
Considerando la probabilità di ciascun evento
semplice, cioè che esca testa sia sulla che
sulla seconda moneta, è ½ .
Per cui ½ ∙ ½ = ¼ .
2a moneta
T
C
C
Probabilità di un evento composto da due eventi dipendenti
La probabilità di un eventi composto da due eventi dipendenti (PCeD) è uguale al
prodotto delle singole probabilità (PC, PD) calcolate nell’ipotesi che gli eventi precedenti si
siano verificati.
PCeD = PC ּ PD(c)
(dove con PD(c) si indica la probabilità del secondo evento nell’ipotesi che si sia verificato il
primo).
Esempio: in un sacchetto ci sono 11 palline blu, 3 rosse e 7 verdi. Si estrae la prima pallina
e poi la seconda senza rimettere la prima nel sacchetto. Calcola la probabilità che
entrambe le palline estratte siano rosse.
Alla prima estrazione i casi possibili sono 21 e quelli favorevoli all’evento sono 3:
Prossa = 3/21
Alla seconda estrazione i casi possibili sono 20 e quelli favorevoli sono 2, nell’ipotesi che la
prima pallina estratta sia proprio rossa:
Prossa = 2/20
Applicando la probabilità composta, avremo che:
Prossa e rossa= 3/21ּ 2/20 = 1/70