esercizi

ESERCIZIO 1 – Supponiamo di avere due urne uguali.
La prima U1 contiene 9 palline bianche e 1 nera, la
seconda U2 contiene 1 pallina bianca e 9 nere.
Lancio un dado: se esce 1 o 2 pesco una pallina da U1,
se esce un altro numero pesco una pallina da U2 .
Calcolare:
1. la probabilità di estrarre una pallina bianca p(B)
2. la probabilità di estrarre una pallina bianca, avendo
scelto la prima urna p(B/U1)
3. la probabilità di aver scelto la prima urna, sapendo
che è stata estratta una pallina bianca p(U1/B)
1
 p(U1) = 3
2
, p(U2) = 3
9
 p(B/U1) = 10
1 9 2 1 11
  

3
10
3
10
30 (dal grafo)
 p(B)=
 dalla formula di Bayes
9 1 30 9
 

p(U1/B)= 10 3 11 11
ESERCIZIO 2 – Supponiamo di avere due sacchetti S1,
S2 indistinguibili. S1 contiene 6 palline numerate da 1 a
6.
S2 contiene 4 palline numerate da 1 a 4.
Supponiamo di scegliere a caso un sacchetto con
1
probabilità 2 .
Calcolare:
1. la probabilità di estrarre il numero 1
2. la probabilità di estrarre il numero 5
3. la probabilità di aver scelto il primo sacchetto,
sapendo che è uscito il numero 1
4. la probabilità di aver scelto il secondo sacchetto,
sapendo che è uscito il numero 1
1
 p( S1) = 2
1
 p(1 / S1 )= 6
1 1 1 1 5
   
 p( 1 )= 2 6 2 4 24
dalla formula di Bayes:
3
1 - p(S1/1)= 5
(dal grafo)
2
p(S1/1)= 5
p(S2/1)=
ESERCIZIO 3 – Supponiamo di avere due urne uguali.
La prima U1 contiene 2 palline rosse e 38 gialle, la
seconda U2
contiene 1 pallina rossa e 9 gialle.
Supponiamo di scegliere a caso una delle due urne con
1
probabilità 2 .
Calcolare:
1. la probabilità di estrarre una pallina rossa p(R) [una
pallina gialla p(G)]
2. la probabilità di aver scelto la prima urna, sapendo
che è stata estratta una pallina rossa p(U1/R)
[sapendo che è stata estratta una pallina gialla].
2
 p( R/U1) = 40
1 2 1 1
3

 

 p(R)= 2 40 2 10 40
(dal grafo)
1 38 1 9 37

 

 p(G)= 2 40 2 10 40 (dal grafo)
 dalla formula di Bayes:
2
U1/G )= 3
1
p( U1/R )= 3
e
p(
ESERCIZIO 4 – Risolvere l’Esercizio 1 supponendo di
scegliere entrambe le urne con probabilità
1
2 .
ESERCIZIO 5 – Risolvere l’Esercizio 2 supponendo che il
primo sacchetto contenga solo i numeri da 1 a 3 ed abbia
2
probabilità 5 di essere scelto.
ESERCIZIO 6 – Risolvere l’Esercizio 3 supponendo che
la prima urna contenga 100 palline rosse e 900 gialle.
ESERCIZIO 7 - Una scatola contiene quattro cioccolatini
avariati e sette buoni.
Quale è la probabilità che estraendone due a caso almeno
uno di questi sia buono ?
E la probabilità che siano esattamente due buoni ?
[v. Dispense prof. A. Torre]