La spirale logaritmica - Liceo Scientifico Grassi

Ottonello Andrea, Minola Davide e Zunino Gabriele
Classe 3^C
LA SPIRALE LOGARITMICA
Spaccato di una conchiglia di un Nautilus con le
cavità disposte approssimativamente secondo una
spirale logaritmica. Una spirale logaritmica, spirale
equiangolare o spirale di crescita è un tipo
particolare di spirale che si ritrova spesso in natura.
La spirale logaritmica è stata descritta la prima volta
da Descartes e successivamente indagata estesamente
da Jakob Bernoulli, che la definì Spira mirabilis, "la
spirale meravigliosa".
DEFINIZIONE
Una spirale è una curva che si avvolge attorno a un determinato punto centrale o asse, avvicinandosi
o allontanandosi progressivamente, a seconda di come un punto si muove; pertanto, non ha un
punto di inizio, ma prosegue infinitamente sia verso l’interno che verso l’esterno, mantenendo la
sua forma al variare della scala di osservazione. In particolare, la spirale logaritmica, o
equiangolare, fu studiata da Renato Cartesio nel 1638 e può essere distinta da un'altra ben nota
spirale, quella di Archimede, per il fatto che le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica
aumentano secondo una progressione geometrica, mentre in quella archimedea le distanze sono
uguali. Verso la fine del 1600, il matematico Jackob Bernoulli scoprí molte proprietà della spirale
logaritmica. Una spirale logaritmica si può ottenere considerando una semiretta che ruota
uniformemente intorno ad un suo estremo e un punto che si muove lungo questa semiretta con una
velocità che aumenta man mano che il punto si allontana dall’estremo fissato. La curva tracciata dal
punto in movimento è, appunto, una spirale logaritmica.
L'equazione della curva, in coordinate polari (r, θ), può essere
scritta come:
r = ρkθ
in cui k è una costante reale e ρ una costante reale e positiva.
Poiché θ può essere ricavato dalla relazione precedente tramite
l'applicazione dei logaritmi, è nato il termine "spirale logaritmica".
Abbazia benedettina di Melk: scala a
chiocciola a forma di spirale
logaritmica
Se k>0 la spirale si avvolge intorno al punto centrale in senso antiorario:
0,8
0,6
0,4
y
0,2
0
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
-0,2
-0,4
x
Se k=0 la spirale degenera in una circonferenza:
y
2
1,5
1
0,5
y
0
-3,6
-2,6
-1,6
-0,6
0,4
1,4
2,4
3,4
-0,5
-1
-1,5
-2
x
Se k<0 la spirale si avvolge intorno al punto centrale in senso orario:
y
8
y
3
-10
-8
-6
-4
-2
0
-2
-7
-12
x
2
4
6
8
10
LA SPIRALE E FIBONACCI
La spirale logaritmica può essere realizzata anche utilizzando i numeri di Fibonacci:
Ogni numero della sequenza è la somma dei due
numeri precedenti. Esempio: 3+5=8; 13+21=34;
55+89=144; ecc...
Consideriamo ora un rettangolo ABCD con i lati in rapporto aureo AD/AB = 1,618... Se al suo
interno tracciamo il quadrato di lato CD, il rettangolo restante avrà i lati in rapporto aureo AB/AE =
1,618...
Se ripetiamo questa operazione infinite volte, otterremo sempre dei rettangoli con i lati in rapporto
aureo tra loro. Dopo le precedenti osservazioni, mostriamo che si può disegnare una spirale
logaritmica, utilizzando i numeri di Fibonacci:
Consideriamo un quadrato ABCD di lato
AB=1.
Costruiamo sul lato AB=1 il quadrato ABEF e,
centrando in A, tracciamo l’arco di circonferenza
BF.
Sul lato FD=DA+AF=1+1=2 costruiamo il
quadrato FGHD e, centrando in D,
tracciamo l’arco di circonferenza FH.
Sul
lato
CH=CD+DH=1+2=3
costruiamo il quadrato CHIL e,
centrando in C, tracciamo l’arco di
circonferenza HL.
Sul lato EL=EC+CL=2+3=5
costruiamo il quadrato ELMN,
centrando in E, tracciamo l’arco di
circonferenza LN.
Sul lato GN=GE+EN=3+5=8 costruiamo
il quadrato GNOP e, centrando in G,
tracciamo l’arco di circonferenza PN.
Sul lato PI=PG+GI=5+8=13
costruiamo il quadrato PQRI e,
centrando in H, tracciamo l’arco
di circonferenza RP.
Il procedimento precedente può essere iterato e la spirale prosegue all'infinito.
RETTANGOLO AUREO
A
A’
E
B
Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla
sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il
rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a, i cui vertici
chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in
senso orario, AEFD. Quindi dividere il segmento AE in due
chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in
A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del D
F
segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo
ABCD è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:
AE:AB=EB:AE
TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e
l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il
lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale
da creare una sezione aurea. Infatti, il triangolo ABC è simile al triangolo
BCD. E da questo risulta che:
AC:BC=BD:DC
e dunque:
AC:AD=AD:DC
TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36°
ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la
differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea.
Infatti, il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura
precedente.
SPIRALE AUREA
Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna
un quadrato con lato uguale al lato minore del
rettangolo, il rettangolo differenza sarà
anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta
l’operazione per almeno cinque volte al fine di
avere un effetto visivo adeguato. Si punti la
punta del compasso sul vertice del quadrato
che giace sul lato lungo del rettangolo e si
tracci l’arco che unisce gli estremi dei due lati
che formano l'angolo scelto. Si ripete
l'operazione per ogni quadrato disegnato in
modo da creare una linea continua.
PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI
La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che
il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di
raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il
pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che i
Pitagorici chiamarono pentagramma o pentalfa o pentacolo.
Essi lo considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come
loro segno di riconoscimento, ottenuto dal decagono regolare
congiungendo un vertice si e uno no. A questa figura è stata
attribuita per millenni à un’importanza misteriosa probabilmente
per la sua proprietà di generare la sezione aurea, da cui è nata.
Infatti, i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aurea.
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che
unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°,
con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di
due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà
descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una
sua diagonale e il punto d'intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in
due segmenti che stanno nel rapporto aureo.
COME SI REALIZZA IL PENTAGONO STELLATO
Si disegna tracciando tutte le diagonali possibili di un pentagono
regolare fino ad ottenere una stella a 5 punte. Questa figura, come
vedremo, possiede numerose proprietà, la più interessante delle
quali è costituita dal fatto che la figura che si ottiene all'interno
della stella è un secondo pentagono che a sua volta può contenere
un'altra stella e così via, tracciando stelle e pentagoni sempre più
piccoli. Dopo il punto, che può essere infinitamente piccolo
(adimensionale) e la retta, monodimensionale, che può continuare
ad essere tracciata all'infinito, il pentagramma può essere ritenuto
come figura bidimensionale che può essere rappresentata con una
progressione infinita. Misurando i segmenti che si ottengono
dall'intersezione reciproca delle diagonali, si determina che
l'intera diagonale sta alla parte maggiore come la stessa parte
maggiore sta alla parte minore. La parte maggiore è quindi la
"sezione aurea" del segmento che costituisce la diagonale intera,
in un rapporto che è f= 1,618.. (numero d'oro).
Come si può notare dalla figura a lato:
-- Il triangolo isoscele, formato dalle diagonali coincidenti, è un
triangolo aureo, dove la bisettrice dell'angolo di base divide il lato
opposto in parti auree.
-- La base del triangolo BED corrisponde al lato del pentagono ed
è uguale alla lunghezza della parte maggiore della diagonale
sezionata (AR).
-- E' aureo anche il rapporto tra i segmenti
F = LH/ BL = 1,618.
S, possiamo individuare ben 20 triangoli aurei, di 4 dimensioni
diverse:
- 5 triangoli EBD
- 5 triangoli TBR
- 5 triangoli FBG
- 5 triangoli ABF
In ognuno di questi triangoli possiamo tracciare la bisettrice di un
angolo di base.
Bisecando l'angolo in R del triangolo TBR e per tutti e 5 i
triangoli, si ottiene la girandola della figura 4.
- Il rapporto tra l'area del Cerchio più grande, circoscritto al
pentagono grande, ed il cerchio più piccolo, circoscritto al
pentagono piccolo, è:1.05146/0.40162=2.618 che corrisponde al
quadrato del Numero d'0ro f2 = (1.618)2
- Il rapporto tra il Pentagono grande ed il pentagono piccolo è:
0.6571/0.0958 = 6.854, che corrisponde a: f4 = (1.618)4. Lo stesso
rapporto si individua anche tra l'area del pentagono piccolo ed
quello ancora più piccolo, all'interno della figura.
- Il rapporto tra la superficie della Stella grande e la stella piccola
è: 0.31/0.045= 6.88, molto vicino al valore di 6.85
- Anche il rapporto tra i Triangoli EBD e TBR è 6.854, tra ABR e TBR è 2.618, così come tra TBR
e TAR e così via... Rapporti aurei si possono individuare anche nei rapporti tra i rispettivi perimetri
delle quattro figure: il risultato sarà sempre 1.618 o 2.618 o 6.854 che corrispondono sempre al
numero d'oro elevato al quadrato (f2 = (1,618)2), con l'eccezione del rapporto tra i perimetri delle
due stelle che è uguale a 2,4825
SPIRALE LOGARITMICA E ARCHIMEDEA
La spirale logaritmica può essere distinta dalla spirale archimedea dal fatto che le distanze fra i
bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica, mentre in una
spirale archimedea queste distanze sono costanti. Ogni linea retta passante per l'origine interseca la
spirale logaritmica con lo stesso angolo α, che può essere calcolato (in radianti) come arctan
(1/ln(b)). L'angolo di inclinazione della spirale è l'angolo (costante) che la spirale forma con i cerchi
centrati all'origine. Può essere calcolato come arctan(ln(b)). Una spirale logaritmica con
inclinazione 0° (b = 1) è un cerchio; il caso limite di una spirale logaritmica con inclinazione 90° b
= 0 o b = ∞) è una semiretta che parte dall'origine. Le spirali logaritmiche sono autosimili nel senso
che sono congruenti a sé stesse sotto trasformazioni di similitudine (scalandole si ottiene lo stesso
risultato che ruotandole). Una trasformazione di scala con un fattore di b2π porta a ottenere la spirale
originale, senza rotazione. La spirale logaritmica è inoltre congruente alla sua involuta, evoluta e
alla curva pedale basata sul suo centro. Partendo da un punto P e muovendosi all'interno della
spirale, si deve girare attorno al centro infinite volte prima di raggiungerlo; tuttavia, la distanza
totale coperta da questo percorso è finita. Il primo ad accorgersi di questo fatto è stato Evangelista
Torricelli ancora prima che l'analisi fosse inventata. La distanza totale coperta è r/cos(α), dove r è la
lunghezza del segmento che congiunge P all'origine. È possibile costruire una spirale logaritmica
approssimata con inclinazione di circa 17.03239 gradi usando i numeri di Fibonacci o il rapporto
aureo. Inoltre, la funzione esponenziale mappa tutte le rette non parallele all'asse reale o
immaginario nel piano complesso, su tutte le spirali logaritmiche nel piano complesso con centro in
0. A meno di multipli di 2πi per le rette, la mappatura di tutte le rette su tutte le spirali logaritmiche
è una suriezione. L'angolo di inclinazione della spirale logaritmica è l'angolo fra la retta e l'asse
immaginario
SPIRALI LOGARITMICHE IN NATURA
I falchi si avvicinano alla loro preda secondo una spirale logaritmica: il loro angolo di vista migliore
forma un certo angolo con la loro direzione di volo, e questo angolo è l'inclinazione della spirale. Si
possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come
fillotassi. Un esempio sono alcune piante grasse. Gli insetti si avvicinano a una sorgente di luce
seguendo una spirale logaritmica perché sono abituati ad avere la sorgente di luce a un angolo
costante rispetto al loro percorso di volo. In genere il sole è l'unica sorgente di luce e volando in
questo modo si ottiene un percorso praticamente rettilineo. I bracci delle galassie sono
approssimativamente spirali logaritmiche. Si pensa che la nostra stessa galassia, la Via Lattea, abbia
quattro bracci spirali principali, ciascuno dei quali è una spirale logaritmica con inclinazione di
circa 12 gradi. I bracci dei cicloni tropicali, come gli uragani, formano spirali logaritmiche. In
biologia, strutture approssimativamente simili alla spirale logaritmica si trovano facilmente, ad
esempio nelle ragnatele e nelle conchiglie dei molluschi. La ragione è questa: si parte da una figura
geometrica bidimensionale e di forma irregolare F0. Si espande F0 di un certo fattore per ottenere
F1, e si pone F1 vicino a F0, in modo che due lati coincidano. Ora si espande F1 dello stesso fattore
per ottenere F2, e si pone accanto a F1 come prima. Ripetendo questi passi si ottiene
un'approssimazione della spirale logaritmica la cui inclinazione è determinata dal fattore di
espansione e dall'angolo che formano la figura una accanto all'altra.