195. La spirale aurea e l`algebra lineare

Matematicamente.it Magazine
• NUMERO 21 − GENNAIO 2014 •
195. La spirale aurea e l’algebra lineare
Francesco Daddi
Liceo Scientifico “XXV Aprile” Pontedera
È molto interessante scoprire le inaspettate applicazioni dell’algebra lineare alle più diverse
branche della matematica. Ad esempio si veda [1] dove si trova una formula chiusa per la successione di Padovan. Nel presente articolo si mostra come l’algebra lineare porti all’equazione di spirali
auree; infine viene proposto un approccio√alternativo, utilizzando i numeri complessi.
1+ 5
, ricordiamo che una spirale aurea è una particolaIndicata con φ la sezione aurea
2
re spirale logaritmica (si veda [2]) che ammette, in un opportuno sistema di riferimento polare,
2
un’equazione del tipo ρ = ρ0 φ− π θ . Ad ogni variazione di un angolo di ampiezza π/2 in senso
antiorario la distanza dal polo si ottiene da quella precedente mediante la moltiplicazione per il
fattore 1/φ; in un sistema di riferimento cartesiano una spirale aurea, in generale, ha equazioni
parametriche della forma

a
π



x = t cos
t + β + x0


φ
2


con t parametro reale
(1)



π
a



 y = φt sin 2 t + β + y0
dove (x0 , y0) è il centro della spirale a cui la curva tende per t → +∞.
Consideriamo il rettangolo aureo R0 di vertici
n
o
R0 : A0 = (0, 0) , B0 = (φ, 0) , C0 = (φ, 1) , D0 = (0, 1)
e determiniamo le equazioni della similitudine diretta S che lo trasforma nel rettangolo (ancora
aureo) di vertici rispettivamente
n
o
R1 : A1 = B0 = (φ, 0) , B1 = C0 = (φ, 1) , C1 = (1, 1) , D1 = (1, 0) ;
con semplici calcoli si trova

1 

!  0 −  !
!

x′
φ
φ  x


S : ′ = 
 y + 0 .
y
 1

0 
φ
L’unico punto fisso della trasformazione S è
√ !
√
5+3 5 5+ 5
,
,
Ω=
10
10
che si può determinare anche intersecando i segmenti A0 C0 e A1 C1 .
9
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Se applichiamo la trasformazione S al rettangolo R1 , ovvero se applichiamo S2 al rettangolo R0 ,
si ottiene il rettangolo (si ricordi che φn = Fn φ + Fn−1 dove Fk è il k-esimo numero della successione
di Fibonacci)
(
!
!)
1
1
R2 : A2 = B1 , B2 = C1 , C2 = 1 ,
, D2 = φ ,
φ
φ
e successivamente, applicando di nuovo S al rettangolo R2 (ovvero applicando S3 al rettangolo R0 ),
si ricava
!)
!
(
2
2 1
,
, 1 ;
, D3 =
R3 : A3 = B2 , B3 = C2 , C3 =
φ φ
φ
analogamente si ottengono i rettangoli
(
!
!)
2
2
2
R4 : A4 = B3 , B4 = C3 , C4 =
,
, D4 = 1 , 2 ,
φ φ2
φ
!
!)
(
3
2
1
3
e così via...
R5 : A5 = B4 , B5 = C4 , C5 = 2 , 2 , D5 = 2 ,
φ
φ
φ
φ
La successione dei rettangoli Ri è descritta nella figura seguente:
Figura 1: Successione dei rettangoli aurei.
10
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Riscrivendo le equazioni della trasformazione S nella forma (Ω è punto fisso di S)


 0 − 1 
!
!
!

x′
xΩ
φ  x − xΩ


= 
+
,
y′
yΩ
 y − yΩ
 1

0 
φ
le coordinate dell’immagine Ak del punto A0 = (0, 0) mediante la trasformazione Sk sono
x Ak
y Ak
!
k

 0 − 1 
!
!

xΩ
φ  0 − xΩ


= 
 0 − yΩ + yΩ
 1

0 
φ
mentre per le coordinate di Dk , immagine di D0 mediante la trasformazione Sk , si ha
xD k
yD k
!
k

 0 − 1 
!
!

xΩ
φ  0 − xΩ


= 
 1 − yΩ + yΩ .
 1

0 
φ
Per determinare in modo semplice la generica potenza k-esima della matrice è sufficiente osservare che






1 k
π 
π
π
π
 0 − 1 


 0 − 
 cos
 cos

k − sin
k 
−
sin






φ  1 
φ 
1 


2
2 
2
2



 = 
 =

da cui

 .
k 
 1
 φ 

 1
π
π 


π
π
φ






sin
cos

0 
0 
k
cos
k 
sin
2
2
φ
φ
2
2
Considerando k reale (nessuno infatti ci vieta di estendere il dominio di k), la curva alla quale
appartengono i punti Ak ha equazioni parametriche
√ 
√  


π
π   5 + 3 5   5 + 3 5 

k − sin
k  −
!
 cos
 

2
2  
x
10   10 
1 
= k 
√  + 
√ 
 
y
φ 
π
π





 sin
k
cos
k   − 5 + 5   5 + 5 
2
2
10
10
ovvero
√
√
√

"
#

1
π
π
5
5
+
5
5
+
3
5
5
+
3



x= k · −
cos
k +
sin
k +


10
2
10
2
10
φ



(2)


√
√
√
"
#



5+3 5
1
π
π
5+ 5
5+ 5



sin
k −
cos
k +
.
 y = φk · − 10
2
10
2
10
yΩ
xΩ
, sin β = − q
e tenendo conto delle
Scegliendo β tale che cos β = − q
x2Ω + y2Ω
x2Ω + y2Ω
formule trigonometriche di addizione, le equazioni (2) diventano
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q



x2Ω + y2Ω


π



x=
cos
k + β + xΩ


2
φk



q




x2Ω + y2Ω


π



k + β + yΩ ;
sin
 y=
2
φk
dal confronto con le equazioni (1) si deduce che la curva (2) è pertanto una spirale aurea avente
centro nel punto Ω (detto “occhio di Dio” da Clifford A. Pickover); nella figura 2 questa spirale è la
curva tratteggiata.
Allo stesso modo si trova che la curva che passa per tutti i punti Dk ha equazioni parametriche
√
√
√

"
#

1
5
+
3
5
5
5
π
π
5
−
5
+
3



x= k · −
cos
k −
sin
k +


10
2
10
2
10
φ



(3)


√
√
√
"
#



5+3 5
π
π
1
5− 5
5+ 5



sin
k +
cos
k +
;
 y = φk · − 10
2
10
2
10
anch’essa è una spirale aurea di centro Ω; nella figura 2 questa spirale è la curva a tratto continuo.
Figura 2: Sono disegnati tutti i rettangoli immagini del rettangolo iniziale R0 fino a k = 6, con passo
∆k = 0, 2. Le due spirali sono state disegnate per 0 ≤ k ≤ 6.
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In alternativa all’uso delle matrici è possibile utilizzare i numeri complessi; ricordiamo che, in
generale, una generica similitudine diretta di equazioni
!
! !
!
x′
a −b x
τx
=
+
y′
b a
y
τy
può essere riscritta, utilizzando i numeri complessi, nel modo seguente:
x′ + i y′ = (a + i b)(x + i y) + τx + i τ y .
Nel nostro caso particolare la trasformazione S ha equazione
z′ =
i
· (z − zΩ ) + zΩ
φ
√
√
5+ 5
5+3 5
+i
.
dove zΩ =
10
10
Calcolando le immagini di zA0 = 0 + 0 i mediante Sk si ha
ik
· zA0 − zΩ + zΩ ⇒
k
φ
√
√ !
√
√
5+3 5
ik
5+ 5
5+ 5
5+3 5
zAk = k · −
−i
+i
;
+
10
10
10
10
φ
π
π
k
k + i sin
k , quindi
sfruttando la formula di De Moivre risulta i = cos
2
2
√
√ !
√
√
1
π
π
5+3 5
5+ 5
5+ 5
5+3 5
zAk = k · cos
k + i sin
k · −
−i
+i
;
+
2
2
10
10
10
10
φ
zAk =
svolgendo i calcoli si ricava
√
√
√
"
#
5+3 5
π
π
5+ 5
5+3 5
1
zAk = k · −
cos
k +
sin
k +
+
10
2
10
2
10
φ
√
√
√ )
( "
#
1
5+3 5
π
π
5+ 5
5+ 5
−
+i
sin
k −
cos
k +
10
2
10
2
10
φk
ritrovando così le equazioni (2).
Allo stesso modo si ricavano le immagini di zD0 = 0 + i mediante Sk :
ik
· zD0 − zΩ + zΩ ⇒
k
φ
√ !
√
√
√
5+ 5
5+ 5
5+3 5
5+3 5
ik
−i
+i
⇒
+
= k · i−
10
10
10
10
φ
zDk =
zDk
zDk
√
√
√
"
#
π
π
1
5− 5
5+3 5
5+3 5
= k· −
cos
k −
sin
k +
+
10
2
10
2
10
φ
√
√ )
√
( "
#
1
π
π
5− 5
5+ 5
5+3 5
+i
sin
k +
cos
k +
−
10
2
10
2
10
φk
ritrovando così le equazioni (3).
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Bibliografia e Sitografia
[1] F. Daddi, Una formula chiusa per i numeri di Padovan, Archimede, 4/2011, pp. 203-207.
[2] M. J. Vygodskij, Manuale di matematica superiore, Edizioni MIR, Mosca, 1978.
[3] http:\\en.wikipedia.org/wiki/Golden_spiral
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