La scoperta degli irrazionali

La scoperta degli irrazionali
Ci sembra però che sia buona cosa ripercorrere il cammino dei grandi in modo completo: vi
raccontiamo così come si è svolta la prima dimostrazione della storia della matematica.
Siamo in una scuola un po' particolare, quella di Pitagora. Non ci sono lavagne o quaderni, la
matematica si fa ragionando e discutendo ad alta voce.
Vorremmo proprio farvi rivivere la situazione, perciò vi proponiamo un copione teatrale: uno di
voi dovrà impersonare un anziano maestro, un altro il suo allievo Ippaso.
Occorre anche un narratore che ci descriverà l'atmosfera, mentre tutti gli altri, oltre che spettatori,
potranno impersonare il coro di tutti gli altri allievi della scuola.
Narratore:
Il sole era prossimo al tramonto, due uomini erano seduti sulla spiaggia ed intorno, a poca
distanza altri uomini più giovani osservavano in silenzio.
Il più anziano che ha una lunga barba bianca, si alza
Maestro: Eletti fratelli, ricordiamo gli insegnamenti del nostro grande maestro Pitagora!
Coro (ad alta voce alzandosi in piedi) Ogni cosa è numero! Egli lo disse!
Ippaso: o anziano fratello, desidero sottoporre alla tua saggezza e a quella dei fratelli qui
riuniti, un problema che da qualche giorno mi turba.
Maestro (con sarcasmo) Quale grave sventura turba i tuoi sonni?
Ippaso: Il grande Pitagora affermò che ogni cosa è composta da punti. Il nome di questi
punti è monadi.
Coro : Egli stesso lo disse.
Narratore: le prime parole di Ippaso non destano molto interesse, sta ricordando cose che
tutti conoscono molto bene.
Ippaso: Da ciò possiamo dedurre che ogni segmento può essere ricoperto da un certo numero di
monadi e che ogni coppia di segmenti ammette un rapporto espresso dal rapporto tra due
numeri interi.
Maestro: ma ciò che tu dici è del tutto evidente: se il primo segmento è costituito da m monadi ed il
secondo segmento è costituito da n monadi, il rapporto di questi due segmenti sarà quello
m
delle monadi, cioè
n
Coro
Egli stesso lo disse!
Ippaso
Egli stesso lo disse, egli stesso. Ma, o anziano fratello, degnati ora di considerare la
diagonale ed il lato di uno stesso quadrato. Essi siano costituiti da m monadi e da n
m
monadi, il loro rapporto può essere scritto
n
Ma questo rapporto potrebbe essere semplificabile; operiamo allora ogni possibile
semplificazione e scriviamo tale rapporto, ridotto finalmente ai minimi termini, nella
a
forma
b
Essendo i due segmenti il cateto e l'ipotenusa di una stesso triangolo rettangolo isoscele,
affermiamo, senza alcun timore di essere smentiti, che risulta
a2 = 2b2 .
Narratore: Ippaso ha applicato il celebre Teorema del Maestro e tutti ora lo ascoltano con
attenzione.
Ippaso: eletti fratelli, a2, essendo uguale a 2b2, è un numero pari. Pertanto anche a deve
essere pari.
Maestro: sicuramente perché il quadrato di un numero dispari sarebbe dispari.
Narratore: Ippaso comincia ad essere molto nervoso, si guarda intorno spaurito, muove la testa a
scatti nervosamente.
Ippaso: Ricordate? Avevo affermato che il rapporto a:b era ridotto ai minimi termini; dunque il
numero b deve essere dispari altrimenti a e b avrebbero in comune il fattore 2.
Maestro: (dopo un attimo di esitazione) Continua fratello!
Ippaso: avevamo anche stabilito che a è un numero pari, ovvero che a =2c. da ciò segue che a2=
4c2, ma era a2 = 2b2 dunque possiamo affermare 2b2 = 4c2
O anche b2 = 2c2
E b2 è pari, allora è un numero pari anche b.
Capite fratelli? Poco fa avevo affermato che deve essere un numero dispari, ora invece sono
costretto ad ammettere che lo stesso b deve essere un numero…….. pari.
Narratore: Tutto intorno si sente un improvviso brusio di stupore, il maestro si stringe
nervosamente la barba, ha uno sguardo preoccupato.
Ippaso: tutto ciò è molto strano, vero fratelli?
Ora ditemi: può forse esistere un numero che sia contemporaneamente pari e dispari?
Sappiamo tutti che ciò non è possibile! E allora, per quale motivo il mio ragionamento è
arrivato ad una conclusione assurda? Non ci resta che ammettere, fratelli, che altrettanto
assurde erano le mie ipotesi: ovvero che era contro ragione attribuire al rapporto della
diagonale e del lato di uno stesso quadrato il rapporto di due numeri interi.
Narratore: il sole è tramontato, i bagliori dei fuochi rischiarano la spiaggia, Ippaso è pallido, ha la
fronte imperlata di sudore.
Ippaso (balbettando) Fratelli, dobbiamo ammettere l'impossibilità che quei due segmenti siano
costituiti….. (a voce più bassa) siano costituiti da monadi.
Maestro (si alza di scatto, spalanca le braccia e grida) Taci Ippaso, non osare! Ah non
pronunciare quelle parole maledette! Tu conosci la sorte riservata ai traditori
Ippaso (si copre il volto con la veste e fugge) alcuni cercano di inseguirlo
Maestro: non serve: tornerà……. Tornerà o saranno gli dei a trovarlo.
Narratore: dopo qualche mese sulla stessa spiaggia viene rinvenuto il corpo di un uomo. Si pensa
che possa essere Ippaso, trovato e punito dagli Dei per aver osato contraddire gli
insegnamenti del maestro.
In realtà, su tanti allievi come Ippaso si fonda la nostra cultura, in ogni campo, e non solo in
matematica perché……
Da Don Milani: Lettera ad una Professoressa.
Un augurio che tutto questo possa accadere anche per voi.
Bibliografia
Giorgio Tomaso Bagni, Matematici, ed. Antilia
le illustrazioni sono tratte da
Anna Parisi, Numeri magici e stelle vaganti, ed. Lapis