matematica in breve

TEORIA MATEMATICA IN BREVE
Le funzioni matematiche:
Si raccomanda lo studio di pagina 17 della dispensa.
 DEFINIZIONE DI FUNZIONE
Si dice FUNZIONE una relazione che associa ad ogni valore della variabile x
(appartenente ad un particolare insieme detto DOMINIO) uno e uno solo
valore della y (appartenente all’insieme detto CODOMINIO)
x è detta variabile INDIPENDENTE
y è detta variabile DIPENDENTE
La funzione si indica con la seguente simbologia:
y=f(x)
(leggi y uguale effe di x)
e significa appunto che il valore di y è funzione di x
 DEFINIZIONE DI DOMINO O CAMPO DI ESISTENZA
Insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile indipendente x
 DEFINIZIONE DI CODOMINIO
insieme dei possibili valori che la variabile dipendente y può assumere
 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
Le funzioni si possono classificare in base alla natura delle espressioni in cui
compare la variabile indipendente x; in particolare si hanno le FUNZIONI
ALGEBRICHE (razionali intere e fratte, irrazionali pari e dispari).
Una funzione si dice RAZIONALE se le operazioni che si devono eseguire sulla
variabile indipendente x sono quelle di addizione, sottrazione,
moltiplicazione divisione ed elevamento a potenza con esponente intero.
In particolare si dice che la funzione è RAZIONALE INTERA se non compaiono
operazioni con la variabile x al divisore. Si dice RAZIONALE FRATTA se
compare la variabile x al divisore (denominatore).
Una funzione si dice IRRAZIONALE se sulla variabile x si applica, oltre alle
operazioni già elencate, anche l’estrazione di radice.
In particolare se l’indice della radice è un numero pari si dice che la funzione
è IRRAZIONALE PARI, se invece l’indice è dispari si dice la funzione è
IRRAZIONALE DISPARI.
 COME SI INDIVIDUA IL DOMINIO NELLE FUNZIONI RAZIONALI INTERE
Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre
possibili quindi per le funzioni razionali intere il dominio è dato da
x  R (qualsiasi valore di x appartenente all’insieme dei numeri reali),
ovvero ( -∞;+ ∞)
 COME SI INDIVIDUA IL DOMINIO NELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
si pone il denominatore ≠ 0 perché non c’è un corrispettivo numerico per il
calcolo ( un numero diviso zero non ha significato)
 COME SI INDIVIDUA IL DOMINIO NELLE FUNZIONI IRRAZIONALI PARI
si pone il radicando ≥ 0 perché l’operazione di estrazione di radice di indice
pari ha risultato reale se il radicando è positivo o nullo ( la radice quadrata
di zero o di numero positivi esiste)
 COME SI INDIVIDUA IL DOMINIO NELLE FUNZIONI IRRAZIONALI DISPARI
il dominio è dato da qualsiasi valore di x appartenente ai numeri reali ( -∞;
+∞) perché l’operazione di estrazione di radice di indice dispari ha sempre
senso purché esista il radicando
(si può estrarre la radice sia nei numeri positivi che negativi)
 COME SI INDIVIDUANO LE INTERSEZIONI CON GLI ASSI
si risolve tramite sistema ( per l’intersezione con asse x poniamo y=0 ; per
l’intersezione con asse y poniamo x=0)
 COME SI INDIVIDUA LA POSITIVITÀ (segno di una funzione)
Si pone la funzione > 0
LIMITI
 A CHE COSA SERVONO I LIMITI
Servono per individuare il comportamento della funzione agli estremi del
dominio e per individuare gli eventuali asintoti.

LIMITE SINISTRO E DESTRO
Limite sinistro:
limf (x)
xa
descrive il comportamento della
funzione
nell’intorno sinistro di a
(x assume dei valori “molto vicini ad a” ma più piccoli)
Limite destro:
limf (x)
xa
descrive il comportamento della funzione
nell’intorno destro di a
(x assume dei valori “molto vicini ad a” ma più grandi)

LIMITI NOTEVOLI
a a

 

lim
x 
0

x

0
Ovvero: se si divide un valore FINITO (a diverso da 0) per un valore INFINITESIMO
(“molto vicino a 0) allora si ottiene un valore INFINITO (“molto grande in valore
assoluto”)
a a
 0
lim
x 


x


Ovvero: se si divide un valore FINITO (a) per un valore INFINITO (“molto grande in
valore assoluto”) allora si ottiene un valore INFINITESIMO (“molto vicino a 0”)
Per le operazioni sui limiti vedere tavola riassuntiva pag. 50
Per il calcolo dei limiti per funzioni razionali intere e fratte vedi da pag. 51 a
pag. 56.
 QUALI SONO LE FORME INDETERMINATE E QUALI SONO LE TECNICHE DI
ELIMINAZIONE
0/0 scomposizione (si scompongono sia il numeratore che il denominatore
e si semplifica)
∞/∞ si raccoglie il termine di grado massimo sia a numeratore che a
denominatore e si nota che al tendere di x a ∞, i termini di grado inferiore
tendono a 0 diventando trascurabili
+∞
- ∞ si raccoglie il termine di grado massimo e si nota che al tendere di
x a ∞, i termini di grado inferiore tendono a 0 diventando trascurabili
 CONCETTO DI ASINTOTO
L’asintoto è una retta alla quale la funzione di avvicina indefinitamente,
ovvero la distanza fra retta e funzione tende a 0.
Una funzione può ammettere asintoti
- verticali che hanno equazione del tipo x= costante
- orizzontali che hanno equazione del tipo y=costante
- obliqui che hanno equazione del tipo y=mx+q
 COME SI TROVANO GLI ASINTOTI
Una funzione ammette un asintoto verticale se
lim f ( x)= ∞
x→a− ¿
lim f ( x)= ∞
e/o
x→a+ ¿
L’equazione dell’asintoto è x=a
Una funzione ammette un asintoto orizzontale se
f(x)a
lim
x

L’equazione dell’asintoto è y=a
Una funzione può ammettere asintoto obliquo solo se
f(x)
lim
x

Se una funzione ammette asintoto obliquo questo ha equazione
y=mx+q
dove
f(x)
mlim e
x
x

f(x

q

)
mx
lim
x


questi limiti devono esistere ed essere finiti.
 FUNZIONE CRESCENTE in un intervallo I
Una funzione y=f(x) si dice (strettamente) crescente nell’intervallo I se
x1, x2 I
se
x 1< x 2
allora se f (x 1)< f ( x 2)
(al crescere di x cresce anche la y )
 FUNZIONE DECRESCENTE in un intervallo I
Una funzione y=f(x) si dice (strettamente) crescente nell’intervallo I se
x1, x2 I
se x 1< x 2 allora se f (x 1)> f ( x 2)
(al crescere di x la y decresce)
MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE
 MASSIMO RELATIVO DI UNA FUNZIONE
Se la funzione è prima crescente e poi è decrescente, il punto in cui la
tangente è orizzontale si dirà punto di massimo relativo.
 MINIMO RELATIVO DI UNA FUNZIONE
Se la funzione è prima decrescente e poi è crescente, il punto in cui la
tangente è orizzontale si dirà punto di minimo relativo.
(nota bene: se si hanno più punti di massimo o minimo relativi e la funzione è
limitata, allora è possibile individuare i minimi o massimi assoluti mettendo a
confronto i valori delle y corrispondenti ai massimi o minimi relativi)
DERIVATA DI UNA FUNZIONE
 INCREMENTO DI UNA FUNZIONE
Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo I e, fissato un particolare
punto x di questo intervallo, diamo ad x un arbitrario incremento h, cioè
consideriamo il punto x+h. In questo punto la funzione assumerà il valore f(x+h);
la differenza f(x+h)-f(x) rappresenta l’incremento che la funzione subisce quando
passa dal valore x al valore x+h.
(nota bene: h è l’incremento dalla x, mentre f(x+h)-f(x) è l’incremento della y)
 RAPPORTO INCREMENTALE
Il rapporto
f(xh
)f(x)
h
fra l’incremento della funzione e quello
della variabile indipendente si chiama rapporto incrementale.
Questo rapporto indica come cresce (o decresce o rimane costante) la y (valore
della funzione) al variare della x .
Il rapporto incrementale indica la velocità con cui avviene la variazione di y al
variare di x.
(nota bene: si potrebbe anche pensare come
y
,
x
dove  indica differenza
ovvero incremento)
 DEFINIZIONE DI DERIVATA
Si chiama derivata della funzione y=f(x) nel punto x, il limite, se esiste, del
rapporto incrementale al tendere a 0 dell’incremento dato alla variabile
indipendente.
Ovvero:
f(
x

h
)

f(
x
)
y
'
lim
h
h

0
La derivata, quindi il limite del rapporto incrementale per h tendente a 0 indica la
velocità istantanea con cui avviene la variazione di y rispetto al variare di x.
La derivata può essere indicata anche con f’(x) Dy Df(x).
 SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA
Vedi disegno a pagina 66!
Il rapporto incrementale di una funzione f(x) si identifica con in coefficiente
angolare (m) della secante che unisce i punti P(x;f(x)) e Q(x+h;f(x+h))del grafico
della funzione.
Se facciamo tendere h a 0 (h-> 0), il rapporto incrementale tende alla derivata e il
punto Q tende a coincidere con il punto P, ovvero la secante diventa tangente.
Dunque:
La derivata di una funzione f(x), in un punto, rappresenta il coefficiente angolare
della retta tangente in quel punto alla curva relativa alla funzione f(x).
(nota bene: la tangente ad una curva è una retta che tocca la curva in un solo
punto)
 CORRISPONDENZA FRA SEGNO DELLA DERIVATA E LA MONOTONIA DELLA
FUNZIONE
La derivata è positiva se la funzione cresce (la tangente è crescente ed ha
il coefficiente angolare positivo ovvero m>0)
La derivata è negativa se la funzione decresce (la tangente è decrescente
ed ha il coefficiente angolare negativo ovvero m<0)
La derivata è = 0 la funzione è stazionaria (la tangente è costante, cioè
orizzontale ed ha il coefficiente angolare nullo ovvero m=0)
 TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE
- La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate
delle funzioni stesse.
Ovvero:
se y=f(x)+g(x) allora y’=f’(x)+g’(x)
- La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata
della prima funzione per la seconda funzione più il prodotto della prima funzione
per la derivata della seconda.
Ovvero:
se y=f(x).g(x) allora y’=f’(x).g(x)+f(x).g’(x)
- La derivata del quoziente di due funzioni (con denominatore diverso da 0
nei punti in cui è calcolata la derivata) è uguale ad una frazione che ha come
denominatore il quadrato del denominatore e per numeratore il prodotto della
derivata del numeratore per il denominatore non derivato meno il prodotto del
numeratore non derivato per la derivata del denominatore.
Ovvero:
f (x)
se y  g(x)
f'(
x
)
g
(
x
)

f(
x
)
g
'(
x
)
'
allora y
2


g
(
x
)
 RICERCA DEI MASSIMI E DEI MINIMI DI UNA FUNZIONE
Nei punti dove si annulla la derivata la funzione può avere un massimo o di
minimo relativo, poiché in tali punti la tangente è parallela all’asse delle ascisse.
Ricordiamo inoltre che
- se la funzione è crescente in un punto allora derivata in quel punto
è positiva.
-
se la funzione è decrescente in un punto allora derivata in quel
punto è negativa.
Per trovare i punti di massimo minimo relativo bisogna quindi studiare la seguente
disequazione :
y'  0
Individuando i punti in cui la funzione si annulla (quindi i potenziali massimi o
minimi relativi) e gli intervalli in cui la derivata è positiva e quindi la funzione
crescente oppure la derivata è negativa e quindi la funzione decrescente.
Se in un punto c la derivata si annulla e la derivata y’ in un intorno sinistro di c è
positiva e in un intorno destro di c è negativa allora per x=c la funzione ha un
punto di massimo relativo.
Se in un punto c la derivata si annulla e la derivata y’ in un intorno sinistro di c è
negativa e in un intorno destro di c è positiva allora per x=c la funzione ha un
punto di minimo relativo. Per ottenere le ordinate dei punti di massimo o di
minimo relativi basterà sostituire nella funzione il valore delle x.