Laboratorio “Modelli lineari: funzioni, equazioni

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Laboratorio “Modelli lineari: funzioni, equazioni, sistemi e disequazioni”
Scheda di attività n.1: Problemi e modelli
Obiettivi:
 modellizzare fenomeni / relazioni con grafici, tabelle, leggi
In questa scheda sono assegnati alcuni problemi; leggili attentamente e
rispondi in modo esauriente a ciascuna domanda. Puoi costruire tabelle,
grafici, individuare formule, ….
NOTE DOCENTE
Durata stimata per il
lavoro con la classe:
2 ore
La scheda presenta sette
situazioni problematiche.
Il docente potrà limitare
il numero di situazioni
proposte alla classe; è
opportuno, però,
scegliere situazioni di
vario tipo (non solo
lineari).
I problemi proposti
possono essere studiati in
Laboratorio, con un
foglio calcolo o altro
software adeguato.
1) La listarella
Divido a metà una lunga listarella di modesto spessore. Sovrappongo le due
parti e le taglio a metà, sovrappongo ancora le listarelle ottenute e le taglio
nuovamente a metà, così via. Dopo il quarto taglio, quante listarelle ho
ottenuto? E dopo il decimo?
Trova un modo che permetta di capire come varia il numero di listarelle al
1) L(n)=2n con
variare del numero di tagli, nell’ipotesi che la listarella da suddividere sia
L: numero di listarelle
abbastanza lunga da poter fare almeno 10 tagli.
n: numero di tagli
 ………………………….………………………...………………….
………………………………………………………………………..…….
2) Come cucinare un pesce
Per cuocere il pesce al forno sono necessari 15 minuti per scaldare il forno,
più 12 minuti di cottura per ogni 0.5kg di pesce. Se compro un branzino di
2.5kg, per quanto tempo devo tenere il forno acceso perché il branzino sia
cotto? E se cuocio una palamita di 1.75Kg?
Studia la relazione tra il tempo di accensione del forno e il peso del pesce
che devo cuocere (considera pesi inferiori a 5Kg).
NB: si adotta qui la
notazione F(x)=…
L’insegnante può
sostituirla con altre
equivalenti quali
F:x… o altre
2) Tempo di cottura.
Branzino (2.5kg):
t=75’
Palamita (1.75kg):
t=42’
………………………………………………………………………..…….
t(p)=15+24p
con
t: tempo(minuti)
p: peso(kg)
3) Il flacone
In un flacone vi sono 400cl di un particolare liquido. Sapendo che ogni
giorno ne evaporano 20cl, come varia la quantità di liquido che rimane nel
flacone al variare del numero di giorni trascorsi?
3) L(t)=400-20t
con
L: livello (cl)
t: tempo (giorni)
 ………………………….………………………...………………….
 ………………………….………………………...………………….
………………………………………………………………………..…….
4) Area e lato di un quadrato
Stabilisci quale relazione esiste tra l’area di un quadrato e la misura del suo
lato.
 ………………………….………………………...………………….
4) A(x)=x2
con
A: misura dell’area
x: misura del lato
………………………………………………………………………..…….
5) Il prezzo del pane
Un forno vende il pane a 3.1 euro al chilo. Come varia il prezzo del pane al
5) C(p)=3.1p
con
C: prezzo del pane (€)
1.1
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NOTE DOCENTE
p: peso (kg)
variare del peso?
 ………………………….………………………...………………….
………………………………………………………………………..…….
6) Le tariffe postali (Adattamento da PISA2003)
In Zedlandia le tariffe postali si basano sul peso (arrotondato al grammo) di
ciò che viene spedito come mostrato nella seguente tabella:
Peso (arrotondato al grammo)
Fino a 20g
21 g – 50 g
51 g – 100 g
101 g – 200 g
201 g – 350 g
351 g – 500 g
501 g – 1000 g
1001 g – 2000 g
2001 g – 3000 g
Tariffa
0,46 zed
0,69 zed
1,02 zed
1,75 zed
2,13 zed
2,44 zed
3,20 zed
4,27 zed
5,03 zed
Giacomo vuole spedire a un amico due lettere, che pesano rispettivamente
40 grammi e 80 grammi. In base alle tariffe postali zedlandesi, decidi se è
più economico spedire due lettere in un’unica busta o spedire le lettere in
due buste separate.
 ………………………….………………………...………………….
………………………………………………………………………..…….
Traccia, su un foglio a parte, il grafico della relazione "Peso-Tariffa".
6) Costo spedizione:
Una busta: 1.75€
Due buste: 1.71€
Il grafico può essere
costruito con un
opportuno software
7) L’altalena
Due ragazzi che pesano
rispettivamente 40kg e 50kg
giocano su un’altalena come
quella in figura. Il più pesante
si dispone sull’asta di legno a
2 m dal punto di appoggio
(fulcro).
a) A quale distanza dal fulcro dell’altalena deve disporsi l’altro ragazzo per
fare equilibrio?
Ricorda: P:R=br:bp con P e R costanti dove
P-peso, R-resistenza, br-braccio resistenza, bp-braccio peso
b) Il ragazzo più leggero (R) se ne va e al suo posto si avvicendano, uno
alla volta, altri tre ragazzi che pesano rispettivamente 45kg, 56kg, 38kg.
Se il peso P rimane invariato e nella stessa posizione iniziale, dove si
deve sedere ogni ragazzo affinché l’altalena rimanga in equilibrio?
c) Mantenendo fisso P, che tipo di relazione matematica lega il peso di un
ragazzo alla sua distanza dal fulcro dell’altalena?
7a) br=2.5m
7b)
R=45  br2,22
R=56  br2,17
R=38  br2,63
7c)
br(x)=100/x
con x: peso di R
1.2
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NOTE DOCENTE
 ………………………….………………………...…………………….
………………………….………………………...…………………………...
………………………….………………………...…………………………...
………………………….………………………...…………………………...
In conclusione.
A ogni problema hai potuto associare un’opportuna relazione, secondo te
alcune delle relazioni individuate presentano analogie?Motiva la risposta.
 ………………………….………………………...…………………….
………………………….………………………...…………………………...
………………………….………………………...…………………………...
Le sette funzioni
assegnate sono di vario
tipo:
lineare
n.2-3-5
lineare a tratti
n.6
prop.diretta
n.5
prop.inversa
n.7
quadratica
n.4
esponenziale
n.1
………………………….………………………...…………………………... E’ importante far
………………………….………………………...…………………………... emergere i vari tipi di
funzione e le loro
………………………….………………………...…………………………... analogie/differenze
partendo dalle risposte
………………………….………………………...…………………………... fornite dagli studenti.
………………………….………………………...…………………………...
Sarà compito del
docente:
CONSIDERAZIONI SULLE RELAZIONI LINEARI
Riflettendo sui problemi che hai analizzato in questa scheda, hai incontrato a) chiarire che le
successive attività
relazioni di vario tipo. Alcune coinvolgono il quadrato di una variabile, altre ilverteranno sullo studio
reciproco di una variabile, in altre ancora per descrivere la relazione tra le
delle funzioni lineari e di
variabili hai bisogno dell’operazione di potenza. In qualcuna, invece, puoi
altri modelli lineari;
notare che tutte le variabili compaiono solo come base con esponenti di primo
b) commentare le due
grado, mentre nessuna variabile compare come esponente.
notazioni indicate per la
Queste relazioni, che possono assumere le forme
funzione lineare;
y=mx+q
o anche
ax+by+c=0
c) approfondire ulteriori
si dicono LINEARI e saranno oggetto di studio nelle prossime schede.
aspetti relativi alla
funzioni lineari (anche
con esempi relativi
all’indirizzo di studio
della classe).
1.3
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NOTE DOCENTE
ULTERIORI ATTIVITA’ – Problemi e modelli
UA1) Fenomeni e grafici
Sotto sono riprodotti sei grafici. Tra essi ve ne sono quattro che rappresentano
i seguenti fenomeni:
a) come è variata l’altezza di una persona nei suoi primi 30 anni;
b) la spesa per comprare l’uva in un supermercato al variare del suo
peso;
c) la temperatura interna di un frigorifero che viene aperto e spento,
in funzione del tempo trascorso da quando è stata aperta la porta e
il frigorifero è stato spento;
Alcuni grafici si prestano
d) il numero di batteri di una coltura al variare del tempo.
a interpretazioni non
univoche, che possono
essere discusse in classe.
Numerando i grafici da
g1 a g6, le associazioni
corrette dovrebbero
essere:
UA1.1) Numera i grafici e associa a ogni fenomeno il grafico
corrispondente, motivando le scelte.
a) …………………………………………………………………….
b) …………………………………………………………………….
c) …………………………………………………………………….
1.1a) g2
1.1b) g5
1.1c) g3
d) ……………………………………………………………………. 1.1d) g1
UA1.2) Considera i grafici corrispondenti ai fenomeni a)-b): specifica sugli 1.2a)
assi cartesiani le scale e le unità di misura
X: tempo(anni) ; Y: cm
1.2b)
X: peso (g) ; Y: €
UA2) 1a legge di Ohm
In fisica, la 1a legge di Ohm può essere sintetizzata con la formula I 
V
R
dove I, V, R rappresentano nell’ordine:
un’intensità di corrente (I) ,
una differenza di potenziale (V) ,
una resistenza (R).
In parole, la 1a legge di Ohm afferma che: in un conduttore l'intensità della
corrente è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata
ai due estremi ed è inversamente proporzionale alla resistenza del
conduttore.
Consideriamo un circuito avente inizialmente:
 una differenza di potenziale (V) di 16 volt
 una resistenza (R) di 2 ohm
 una circolazione di corrente avente intensità (I) di 8 ampere.
a) Se manteniamo costante la resistenza (R) di 2 ohm, che cosa accade
dell’intensità di corrente (I), assegnando alla tensione (V) i valori: 4 – 8 2a) I=V/2
– 16 – 32 volt?
Costruisci la tabella e traccia il grafico della funzione ottenuta.
1.4
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NOTE DOCENTE
b) Se invece manteniamo costante la differenza di potenziale (V) di 16 volt, 2b) I=16/R
come varia l’intensità di corrente (I) se la resistenza (R) assume i valori
La due richieste di
di 1 – 2 – 4 – 8 – 16 ohm?
tabella/grafico sono
Costruisci la tabella e traccia il grafico della funzione ottenuta.
adattabili ad attività di
Laboratorio
UA3) Lo “zoom”
Usando la funzione “zoom” di un programma di videoscrittura si può
modificare l’ampiezza della visualizzazione della pagina. Facendo varie
prove si ottengono approssimativamente le seguenti misure (in centimetri)
della dimensione della pagina:
100%
75%
50%
25%
larghezza
22
16,5
11
5,5
lunghezza
28,6
21,5
14,3
7,2
zoom
a) Completa la seguente tabella, calcolando volta per volta, l’area della
pagina visualizzata:
100%
75%
50%
25%
larghezza
22
16,5
11
5,5
lunghezza
28,6
21,5
14,3
7,2
zoom
3a) La tabella può essere
facilmente ricostruita e
completata con un foglio
di calcolo, ottenendo per
l’area i valori (in cm2):
629,2 ; 353,93 ;
157,3 ; 39,33
area
b) Esprimi per mezzo di un grafico e mediante gli strumenti dell’algebra le
relazioni tra:
- larghezza e zoom,
- lunghezza e zoom,
- lunghezza e larghezza,
- area e zoom.
UA4) Il parchimetro (adattamento da MaCoSa. http://macosa.dima.unige.it)
Un parcheggio a pagamento è dotato di parchimetro. Ogni 0.7Euro inseriti
fanno avanzare il timer di mezz’ora; quindi con =0.7Euro si può
parcheggiare al più mezz’ora, con 1.4 al più un’ora,…
Al massimo si può parcheggiare 3 ore.
Costruisci una tabella a due colonne, in cui inserisci il tempo e i prezzi
relativi e poi rappresenta i dati in un piano cartesiano (considera i tempi
multipli di 10 minuti).
3b)
larg = 22z
lung = 28,6z
lung = larg *
28,6 / 22
A = 22*28,6*z2
con z:zoom
4) La tabella può essere
facilmente costruita con
un software tipo foglio di
calcolo
1.5