Strutture Algebriche
Docente: Francesca Benanti
21 gennaio 2008
1
Operazioni
Definizione Sia A un insieme non vuoto, A 6= ∅. Una operazione ∗ (o
operazione binaria o legge di composizione interna) su A è un’applicazione
dal prodotto cartesiano A × A in A
A×A→A
(a, b) → a ∗ b
Quindi è un legge che associa ad ogni coppia a, b di elementi di A un e un
solo elemento di A, a ∗ b.
a e b sono detti operandi
a ∗ b è detto risultato
Definizione Un insieme non vuoto A 6= ∅ su cui è definita un’operazione ∗
è detto struttura algebrica, e si denota
(A, ∗) oppure A(∗)
Esempi
1. Sia A = N
a ∗ b = a + b è un’operazione
(N, +) è una struttura algebrica
Analogamente
a ∗ b = a · b è un’operazione
(N, ·) è una struttura algebrica
1
2. (Z, +), (Q, +), (R, +), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) sono strutture algebriche
3. Sia A = N, definiamo ∀a, b ∈ N
a ∗ b = ab
ab ∈ N, dunque ∗ è un’operazione in N
(N, ∗) è una struttura algebrica
4. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = ab
∗ non è un’operazione, infatti
2 ∗ (−3) = 2−3 =
1
6∈ Z
23
5. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a∗b=a+b−2
a + b − 2 ∈ Z, dunque ∗ è un’operazione in Z
(Z, ∗) è una struttura algebrica
6. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = a + b − ab
a + b − ab ∈ Z, dunque ∗ è un’operazione in Z
(Z, ∗) è una struttura algebrica
Osservazione: Se un’operazione ∗ è definita su un insieme finito avente n
elementi, allora può essere rappresentata mediante una tabella di tipo n × n,
detta tavola moltiplicativa di ∗, in cui il valore di a ∗ b viene scritto nella casella all’incrocio della riga corrispondente ad a e della colonna corrispondente
a b.
Esempio: Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo ∀a, b ∈ Z5
a∗b=r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Tavola moltiplicativa:
∗
0
1
2
3
4
2
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Proprietà delle operazioni
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗. Si
dice che ∗ è un’operazione associativa se, ∀a, b, c ∈ A
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni associative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab .
L’operazione non è associativa, infatti
(a ∗ b) ∗ c = (ab ) ∗ c = (ab )c = abc
mentre
c
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (bc ) = ab
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
L’operazione è associativa, infatti
(a ∗ b) ∗ c = (a + b − 2) ∗ c = (a + b − 2) + c − 2 = a + b + c − 4
e
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c − 2) = a + (b + c − 2) − 2 = a + b + c − 4
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗. Si
dice che ∗ è un’operazione commutativa se, ∀a, b ∈ A
a∗b=b∗a
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni commutative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab .
L’operazione non è commutativa, infatti
a ∗ b = ab
mentre
b ∗ a = ba
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
L’operazione è commutativa
4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo ∀a, b ∈ Z5
a∗b=r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
L’operazione è commutativa
La tavola moltiplicativa è simmetrica rispetto alla diagonale principale
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗. Un
elemento e ∈ A è detto elemento neutro di A se, ∀a ∈ A
a∗e=e∗a=a
Esempi:
1. In (N, +), (Z, +) (Q, +), (R, +)
e = 0,
In (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
e = 1.
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab .
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
a ∗ e = ae = a ⇒ e = 1
ma
1 ∗ a = 1a = 1 6= a
Non esiste elemento neutro!
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
Esiste e ∈ Z tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
Risolviamo
a+e−2=a
e+a−2=a
Soluzione:
e=2
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a∗b=r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
Allora
e=0
∗
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato di operazione ∗ e sia
e ∈ A un elemento neutro di A. Si dice che a∗ ∈ A è simmetrico di a ∈ A se
a ∗ a∗ = a∗ ∗ a = e
In notazione moltiplicativa: a∗ = a−1 inverso
In notazione additiva: a∗ = −a opposto
Esempi:
1. In (N, +)
−0 = 0,
−n 6∈ N0 ∀n 6= 0
In (N, ·)
1−1 = 1,
n−1 6∈ N, ∀n 6= 1
2. In (Z, +)
−n ∈ Z, ∀n ∈ Z
In (Z, ·)
1−1 = 1, −1−1 = −1
n−1 6∈ Z, ∀n 6= 1, −1
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
3. In (Q, +)
−a ∈ Q, ∀a ∈ Q
In (Q, ·)
a−1 ∈ Q, ∀a 6= 0
4. In (R, +)
−a ∈ R, ∀a ∈ R
In (R, ·)
a−1 ∈ R, ∀a 6= 0
5. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a∗b=r
dove r è il resto della divisione di a + b per 5
Allora
e=0
1∗ = 4, 2∗ = 3, 3∗ = 2
∗
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
3
Strutture algebriche con una sola operazione
Definizione: Un insieme non vuoto (A, ∗) dotato di operazione ∗ associativa è detto semigruppo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab .
(N, ∗) non è un semigruppo.
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
(N, ∗) è un semigruppo.
Definizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se ∗ gode della proprietà commutativa allora (A, ∗) è detto semigruppo commutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
semigruppi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
(N, ∗) è un semigruppo commutativo.
Proposizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se in A esiste un elemento neutro
allora questo è unico.
Definizione: Un semigruppo (A, ∗) è detto monoide se possiede l’elemento
neutro.
Definizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se ∗ gode della proprietà commutativa allora (A, ∗) è detto monoide commutativo.
Esempi:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
monoidi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b − 2.
(N, ∗) è un monoide commutativo.
Proposizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se a ∈ A possiede simmetrico a∗ ∈ A
allora questo è unico.
Definizione:
Un monoide (G, ∗) è detto gruppo se ogni suo elemento
possiede simmetrico. Dunque (G, ∗) è gruppo se
1. l’operazione ∗ è associativa;
2. esiste l’elemento neutro e ∈ G;
3. ∀a ∈ G esiste il simmetrico a∗ ∈ G.
Definizione: Sia (G, ∗) un gruppo. Se ∗ gode della proprietà commutativa
allora (G, ∗) è detto gruppo commutativo o abeliano.
Esempi:
1. (N, +) non è un gruppo;
(N, ·) non è un gruppo.
2. (Z, +) è un gruppo abeliano;
(Z, ·) non è un gruppo.
3. (Q, +) è un gruppo abeliano;
(Q∗ , ·) è un gruppo abeliano.
4. (R, +) è un gruppo abeliano;
(R∗ , ·) è un gruppo abeliano.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
4
Strutture algebriche con due operazioni
Definizione: Si definisce anello, e si indica (A; ∗, ◦) un insieme A in cui
sono definite due operazioni ∗ e ◦ tali che:
1. (A, ∗) è un gruppo abeliano;
2. (A, ◦) è un semigruppo;
3. Valgono le proprietà distributive:
a ∗ (b ◦ c) = (a ∗ b) ◦ (a ∗ c),
(a ◦ b) ∗ c = (a ∗ c) ◦ (b ∗ c).
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) è detto commutativo se (A, ◦) è un semigruppo commutativo.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) è detto con unità se (A, ◦) è un monoide.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) è detto campo se (A − {e∗ }, ◦) è un gruppo
commutativo.
Esempi:
1. (N; +, ·) non è un anello;
2. (Z; +, ·) è un anello commutativo con unità;
3. (Q; +, ·) è un campo;
4. (R; +, ·) è un campo.
5
Gruppo di Klein
Consideriamo un punto P=(x,y) del piano cartesiano e le quattro trasformazioni geometriche
• L’identità id che al punto P=(x,y) fa corrispondere se stesso;
id : P = (x, y) → P = (x, y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• la simmetria rispetto all’asse delle ascisse, Sx , che al punto P=(x,y) fa
corrispondere il punto P’=(x,-y)
Sx : P = (x, y) → P 0 = (x, −y)
• la simmetria rispetto all’asse delle ordinate, Sy , che al punto P=(x,y)
fa corrispondere il punto P”=(-x,y)
Sy : P = (x, y) → P 00 = (−x, y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• la simmetria rispetto all’origine, S0 , che al punto P=(x,y) fa corrispondere il punto P”’=(-x,-y)
S0 : P = (x, y) → P 000 = (−x, −y)
Consideriamo l’insieme costituito da queste quattro trasformazioni:
K = {id, Sx , Sy , S0 }
Definiamo in esso l’operazione di composizione che indichiamo con ◦ nel modo
seguente:
comporre due trasformazioni vuol dire eseguire prima l’una e poi l’altra.
Ad esempio:
Sy ◦ Sx : P (x, y) → P 0 = (x, −y) → P 000 = (−x, −y)
Possiamo scrivere la tavola moltiplicativa:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
◦
id
Sx
Sy
S0
id
id
Sx
Sy
S0
Sx
Sx
id
S0
Sy
Sy
Sy
S0
id
Sx
S0
S0
Sy
Sx
id
(K, ◦) è un gruppo commutativo, detto Gruppo di Klein
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
