funzioni ed equazioni 1b

Funzioni ed equazioni
Modelli matematici per studiare relazioni tra grandezze
Scheda 1 (B)
4. Risoluzione di equazioni: considerazioni generali
La modellizzazione mediante un'equazione di una certa situazione è, in genere, finalizzata a
ottenere una rappresentazione quantitativa di come una grandezza varia al variare di un'altra o di
altre.
Questo era il caso del primo esempio del §2: esprimere la distanza tra le due navi in movimento
in funzione del tempo, ovvero determinare la velocità con cui le due navi si allontanano.
Nel caso del secondo esempio abbiamo
espres-so il volume V della scatola in funzione
del taglio T. Il grafico di questa funzione ci
permette di avere in un colpo d'occhio l'idea di
come varia il volume, ci permette di stimare
come operare il taglio in modo da ottenere il
volume massimo o, ad esempio, da ottenere un
volume di 300 cm3.
In questo paragrafo ci occuperemo in particolare dei metodi per risolvere le equazioni rispetto a
una variabile fissata. Alcuni aspetti verranno approfonditi nel paragrafo successivo.
A. Metodo grafico
È impiegabile quando: • si ha a che fare con un'equazione che coinvolge solo due variabili e che
si è in grado di rappresentare graficamente ("a mano" o con l'ausilio di un opportuno programma),
• si vuole trovare, fissato un valore di una delle due variabili, quale o quali valori assume l'altra
variabile.
Riferendosi al caso, appena citato, della costruzione della scatola, fissato V=300, possiamo
risolvere graficamente l'equazione (20–2T) 2 ·T = 300 (rispetto all'unica variabile che vi compare)
e trovare come soluzioni (cioè come valori da assegnare a T affinché l'equazione risultante sia vera)
0.9 e 6.6.
Si tratta di approssimazioni delle soluzioni: graficamente non possiamo trovare le soluzioni
esatte.
Dal semplice grafico non possiamo però essere sicuri di
aver trovato tutte le soluzioni. Ad es., nel caso
dell'equazione appe-na considerata, se allargo l'intervallo in
cui far variare T posso trovare altri punti che intersecano la
retta V=300: a lato si vede che anche 12.5 (valore
approssimato) è una soluzione.
Chi mi assicura che non ve ne siano altre? Per trovare una risposta certa devo svolgere delle
consi-derazioni teoriche, non basta procedere per tentativi. Sul problema di stabilire quante possono
essere le soluzioni di un'equazione ci soffermeremo nella scheda 2 (§4).
Comunque, nel caso particolare della nostra scatola, dovendoci restringere a 0<T<10, il metodo
grafico è sufficiente: eventuali soluzioni al di fuori di questo intervallo non ci interessano.
Il metodo grafico può far sorgere un ulteriore problema: chi mi assicura che, ad esempio nel
caso della equazione già considerata, il grafico intersechi effettivamente la retta V=300, cioè che
non la scavalchi senza avere punti in comune con essa?
Anche su questo problema ci soffermeremo nella scheda 2.
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A lato è rappresentata graficamente l'equazione y=f(x) per una particolare
funzione f. Deducine quali sono le soluzioni delle equazioni f(x)=0 e f(x)=0.4
scelte tra le seguenti: –1.75, 1.2, –1.2, 0.9.
B. Prima di mettersi a manipolare l'equazione …
… è bene cercare di capire se è effettivamente necessario fare manipolazioni o se è possibile
risolvere l'equazione direttamente; nel caso si debba procedere con manipolazioni, è bene cercare di
scegliere le trasformazioni più convenienti: non esiste un'unica ricetta per risolvere un'equazione!
Ad esempio di fronte all'equazione:
Error!= 3 senza fare trasformazioni devi comprendere che l'unica soluzione è 2: risolvere (rispetto
a x) questa equazione vuol dire rispondere alla domanda «per quali numeri si può dividere 6
ottenendo 3?» e dovresti sapere che per ottenere 3 occorre che 6 sia diviso per 2;
7w = 7
devi capire immediatamente che essa ha per soluzione w = 1: l'unico numero che
moltiplicato per 7 dà come risultato 7 è 1;
t 2 +1= 0
devi subito concludere che non ci sono soluzioni: qualunque sia t, t 2 ≥0 e, quindi,
t 2 +1>0 ;
Error!= 1 devi subito concludere che non ci sono soluzioni: il rapporto tra numeri differenti non è
mai 1;
x(x+1)=0 senza sviluppare x(x+1) in x2 +x devi osservare che affinché il prodotto tra x e x+1 sia
0 occorre o che x sia 0 o che x+1 sia 0 (cioè x sia –1), per cui le soluzioni sono 0 e –1.
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In quali dei seguenti casi potete dire a priori (senza manipolazioni, grafici, …) quante sono le
soluzioni?
Error!= 1.5
Error!= 1.5
Error!= 1.5
(x–1)2 + (x+3)2 = 0
C. È opportuno esaminare il dominio dell'equazione
•
In alcuni casi devo risolvere un'equazione rispetto a una variabile v che rappresenta una
grandezza o una quantità che può variare non in tutto IR, ma solo in un suo sottoinsieme. Cioè devo
trovare v per cui siano vere non solo l'equazione, ma anche altre condizioni.
Ad esempio nel caso della scatola già richiamato all'inizio del paragrafo devo trovare T per cui
siano vere sia l'equazione (20–2T) 2 ·T = 300 che la disequazione 0<T<10.
Nel caso del problema «trova un numero naturale il cui quadrato aumentato di 1 sia 100» posso
considerare la equazione n 2 + 1 = 100 assieme alla condizione n  IN. Senza questa condizione
troverei la soluzione 99 = 9.9498…; con la condizione n  IN non ho invece soluzioni.
•
In altri casi può accadere che l'equazione non sia definita su tutto IR in quanto per alcuni valori
della variabile rispetto a cui si vuole risolvere l'equazione qualche sottotermine diventerebbe
indefinito. In tali casi l'esame preventivo del dominio può far risparmiare inutili manipolazioni:
x–4 = 2–x è definita se x–4≥0 AND 2–x≥0, cioè se x≥4 AND 2≥x, ma le condizioni x≥4 e
2≥x sono contraddittorie; in altre parole il 1° termine dell'equazione è definito per x≥4, il 2°
per x≤2, e quindi l'equazione non è definita per alcun x. Non ha quindi senso cercare per
quali x è vera.
19 Qual è il dominio dell'equazione –x = x ? Qual è l'insieme delle sue soluzioni?
D. Possono esserci diverse quantità di soluzioni
Per alcuni tipi di equazioni ( scheda 2) si può stabilire a priori quante sono le soluzioni. Ma
non c'è un metodo generale per stabilirlo. La quantità delle soluzioni può variare da caso a caso:
3(x+1)–1 = 3(x+1)+1 [applicando "–3(x+1)", cioè la sottrazione di 3(x+1)] equivale a –1=1, che è
fal-sa; in questo caso ci sono 0 soluzioni: comunque sostituisca a x un numero ottengo
un'equazione falsa.
Invece di dire che l'equazione è falsa per ogni x si usa dire, più in breve, che è falsa (qualche
libro dice che l'equazione è impossibile, intendendo: "è impossibile risolvere l'equazione rispetto
a x").
Più in generale ogni condizione che assuma il valore di verità "falso" comunque si
sostituiscano numeri alle variabili (senza rendere indefiniti i termini che compaiono in essa)
viene detta falsa. Ad esempio w>1 AND w<0 è una condizione falsa.
3(x+1)–1 = 2(x+1)+x equivale [sviluppando] a 3x+2 = 3x+2, che è vera per ogni x: in questo
caso ci sono infinite soluzioni; anzi, ogni numero è soluzione.
Si dice anche, più in breve, che l'equazione è vera.
Più in generale ogni condizione che assuma il valore di verità "vero" comunque si
sostituiscano numeri alle variabili (senza rendere indefiniti i termini che compaiono in essa)
viene detta vera.
Le equazioni vere vengono chiamate anche identità.
x2 = k (risolta rispetto a x) ha 2 soluzioni se
k>0, ne ha 1 se k=0, nessuna se k<0
( figura a lato);
|x–2| + |x+1| = 3 ( figura a lato) ha infinite
soluzioni:
se x  [–1, 2]
vale più di 3.
|x–2| + |x+1| vale 3, altrimenti
Quindi le soluzioni sono tutti i numeri x t.c. –
1 ≤ x ≤ 2. È un insieme infinito di soluzioni, ma
non si ha che ogni numero è soluzione. Pur avendo
infinite soluzioni, l'equazione non è un'identità.
Nota. Il fatto che un'equazione contenente variabili sia un'identità (cioè sia vera) non comporta
necessariamente che i due membri di essa siano termini equivalenti:
– nel caso di 3(x+1)–1 = 2(x+1)+x sono di fronte a un'identità e a termini, 3(x+1)–1 e 2(x+1)+x, che
sono equivalenti,
– ma nel caso di –x = x sono di fronte a un'identità (infatti è definita solo per x=0 e, per tale valore, diventa 0=0, che è vera), mentre i termini –x e x non sono equivalenti in quanto hanno domini diversi
(il 1° è definito per x≤0, il 2° per x≥0).
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Per ciascuna delle equazioni seguenti stabilite:
suoi membri sono termini equivalenti.
Error!= Error!
• quante soluzioni ha, • se è un'identità, • se i
Error!= 2x
[FIX indica il troncamento agli interi]
FIX(x) = x
E. Verifica
Quando si è risolta un'equazione attraverso manipolazioni è utile verificare se le soluzioni
trovate sono effettivamente soluzioni, cioè se, sostituite alla variabile assunta come incognita,
rendono vera l'equazione.
Infatti nel corso della manipolazione potrebbero essersi verificati degli errori.
Ad es. se risolvo 12 + Error!= 3x + Error!così:
12 + Error!= 3x + Error!


Error!
applico – E r r o r !
l'equazione
12 = 3x

12 + Error!– Error!= 3x + Error!–
x=4
semplifico applico / 3 e inverto
e poi verifico quanto ottenuto sostituendo 4 a x nell'equazione originale, ottengo:
12 + Error!= 3·4 + Error!cioè: 12 + Error!= 12 + Error!che non è definita.
Quindi 4 non è una soluzione.
L'errore che è stato commesso nel corso della manipolazione è discusso nel paragrafo 5.
Nota. In alcuni casi, di fronte a calcoli complicati per cui è necessario usare la CT, sostituendo alla variabile
incognita la soluzione trovata e sviluppando i calcoli, a causa delle approssimazioni operate dalla CT si
ottengono a 1° e a 2° membro dell'equazione valori diversi, anche se, in genere, di poco.
Per un semplice esempio si consideri l'equazione 1020 x+3–1020 = 3. Evidentemente 1 è soluzione dell'equazione, ma se sostituisco x con 1 e calcolo 1020 1+3–1020 con una CT, ottengo 0 invece di 3.
F. Incognite, parametri, variabili di input e di output
Di fronte a equazioni contenentiL = F s
più variabili, come quelle a lato, siError!
può scegliere in più modi l'incognita.
Gt = (Ru - Ci) n - Cf
x2 + y2 = 1
A=
In questi casi risolvere l'equazione rispetto alla variabile assunta come incognita consiste nel
trovare non valori numerici ma termini (che possono contenere tutte o alcune delle altre variabili)
che sostituiti a tale variabile rendono l'equazione vera, cioè un'identità:
– nel caso della 1ª equazione, se prendo s come incognita ottengo la soluzione:
s = L/F
– nel caso della 2ª, se prendo Ru come incognita ottengo la soluzione:
Ru = E r r o r+! Ci
– nel caso della 3ª, se prendo y come incognita ottengo le soluzioni: y = 1–x2 e y = –
1–x2
21 Verifica se questi termini sono effettivamente soluzioni delle prime tre equazioni.
22 Risolvi la quarta equazione sia rispetto a b che rispetto a B.
Quando si fissa una variabile come incognita le altre variabili dell'equazione sono chiamate
parametri.
Ad esempio nel caso della seconda equazione, se considero Ru come incognita Gt, Cf, n e Ci
sono i parametri.
La soluzione E r r o +r !Ci, cioè il termine da sostituire a Ru affinché l'equazione diventi una
equazio-ne vera (un'identità), descrive le soluzioni di tutte le equazioni che si ottengono mettendo al
posto di Gt, Cf, n e Ci particolari valori numerici.
Ad esempio se Gt = 1 miliardo, Cf = 100 milioni, n = 1 milione, Ci = 800, ottengo la soluzione:
(109+108)/106 +800 = 103 +102 +800 = 1000+100+800 = 1900.
Questo è l'uso della parola "parametro" quando si ha a che fare con equazioni rispetto alle quali
si è fissata una incognita.
Quando si descrive una funzione, ad esempio f: x kx o g: x ax+b, vengono chiamati
parametri le variabili diverse dalla variabile di input che compaiono nel termine che descrive
l'output. Nel caso di f il parametro è k, nel caso di g i parametri sono a e b.
Se descrivo una funzione mediante un'equazione, ad esempio se scrivo y = ax+b specificando
che x è la variabile di input e y è la variabile di output, chiamo parametri le variabili diverse dalle
variabili di input e di output. Nel caso esemplificato i parametri sono a e b.
Nel caso della funzione a lato, che sintetizza le diverse funzioni:
dato, totale Error!· 100, dato, totale Error!
Error!· 1000, …
Error!· 360, dato, totale Error!
dato, totale
Error!
·T
[per il calcolo della rappresentazione delle parti: in forma "%", come settori circolari, in forma "‰", …]
abbiamo due variabili di input, dato e totale, e un parametro, T.
Il rettangolo a sinistra è descritto come l'insieme delle
coppie (x,y) che per cui è vera una particolare condizione.
In questo caso abbiamo come incognita una coppia di
varia-bili, (x,y), e quattro parametri: a, b, c e d. Le
soluzioni sono i punti che costituiscono il rettangolo. Se al
posto dei parametri metto dei numeri ottengo un particolare
rettangolo.
In pratica i parametri sono delle variabili su cui
ragiono, "temporaneamente", come se fossero delle
costanti.
23
Anche in GRAFUN si possono definire funzioni
che dipendono da parametri. I parametri (in
GRAFUN chiamati "costanti") impiegabili sono q, u,
v e w. Se, ad esempio, definisco F: x ux+w e
definisco u=1/2 e w=3, posso ottenere per F un
grafico come quello riprodotto parzialmente a lato.
(1) Se non modifico il parametro u e modifico il
para-metro w, quali figure posso ottenere come
grafici?
(2) E se non modifico w e modifico u?
(3) Quali sono le figure che posso ottenere modificando entrambi i parametri?
Nota. Considerando i linguaggi di programmazione, la parola parametro viene usata anche con un significato diverso:
con il termine parametri formali ( La automazione, scheda 4, §5) vengono indicate le variabili utilizzate
nell'intestazione dei sottoprogrammi e che nel corso delle chiamate di questi vengono sostituite dagli
argomenti attuali.
Confrontando con il "linguaggio delle equazioni", queste variabili sono più simili alle variabili di input e
di output che ai parametri.
Anche in altre situazioni la parola "parametro" viene usata in modo simile. Ad esempio ( La
matematica e lo spazio, scheda 2, quesito 21) la descrizione di una semiretta con P = (3,1) + t(4,5) ovvero
con x=3+4t e y=1+5t (come se fosse la traiettoria di un oggetto che si muove a partire dal punto (3,1) e
ogni secondo avanza di 4 metri verso est e di 5 verso nord) viene chiamata parametrica e la variabile t (che
rappresenterebbe il tempo) viene chiamata parametro.
Con il metodo grafico non posso risolvere
un'equa-zione contenente parametri. Posso solo
risolvere le parti-colari equazioni ottenibili dando
valori numerici ai para-metri.
Tracciare il grafico corrispondente all'equazione
per diversi valori dei parametri può comunque essere
utile per capire quante possono essere le soluzioni o
come il nume-ro delle soluzioni può variare a
seconda dei valori asse-gnati ai parametri.
Ad esempio posso comprendere che l'equazione
x3 + ux + w = 0 può avere 1, 2 o 3 soluzioni a seconda
dei valori di u e w ( figura a lato).
Come appena osservato, la quantità delle soluzioni può dipendere dai valori assunti dai
parametri.
Per un altro semplice esempio risolviamo rispetto a x l'equazione:
ax = a
– se a = 0 l'equazione, qualunque sia x, diventa 0 = 0, che è vera: l'insieme delle soluzioni è tutto
IR.
– se a ≠ 0 posso dividere per a entrambi i membri ottenendo x=1: in questo caso c'è una sola
soluzione.
24 Discuti se e come dipende dal parametro a la quantità delle soluzioni di a x = 1, risolta rispetto a
x.
Nel caso delle equazioni contenenti parametri la verifica delle soluzioni è importante ancora più
che nel caso delle equazioni senza parametri. Infatti in presenza di parametri è spesso più difficile
studiare il dominio dell'equazione.
Consideriamo ad esempio l'equazione:
Error!= Error!prendendo x come incognita.
• A denominatore in entrambi i membri abbiamo kx+k, che equivale a k(x+1). Quindi l'equazione
è definita per k≠0 e per x+1≠0, cioè x≠–1.
• Moltiplico entrambi i membri per kx+k ottenendo:
• Facciamo la verifica:
k=x. La soluzione sarebbe quindi x=k.
Error!= Error!per x=k diventa Error!= Error!
Abbiamo già escluso k=0, quindi possiamo semplificare per k ottenendo Error!= Error!che è
vera se k≠–1.
• Concludendo se
k≠0 AND k≠–1 l'equazione ha come soluzione x=k. Se k=0 l'equazione non è
de-finita. Se k=–1 l'equazione non ha soluzioni (in questo caso la soluzione x=k non verifica
l'equazione).
Se fossimo stati attenti avremmo potuto concludere che per k=–1 non vi sono soluzioni anche
senza la verifica: all'inizio abbiamo detto che per x=–1 l'equazione non è definita; quindi la
soluzione x=k è accettabile solo se k≠–1.
25 Risolvi l'equazione:
Error!+ a = x + Error!prendendo x come incognita.
5. Manipolazione di equazioni - Funzioni iniettive
Per trasformare un'equazione si possono operare diversi tipi di riscritture ( Gli oggetti
matematici). Uno, semplice e senza problemi, è lo scambio dei due membri dell'equazione:
a=b  b=a. Qui, esaminiamo, più in dettaglio, altri due tipi di riscritture.
Su questi argomenti ritornerai, comunque, nel corso dei prossimi anni.
Sostituire un membro dell'equazione con un termine ad esso equivalente
I principali procedimenti per trasformare termini sono richiamati ne Gli oggetti matematici. Ti
può essere utile, mentre trasformi un'equazione, consultare queste pagine, esaminando, se è il caso,
anche gli esempi riportati e prestando attenzione alle avvertenze (indicate con "**").
Nel trasformare un termine può accadere che cambi il dominio dell'equazione e che, quindi, si
trovino delle soluzioni in più o in meno rispetto all'equazione originale.
Ad es. nel caso dell'equazione
considerata a p.12 (punto E), nel passaggio12 + Error!– Error!= 3x + Error!– Error!
di semplifica-zione si è usata la riscrittura 
12+0 = 3x+0
a – a  0, la quale dà luogo a un termine,
0, che è sempre
semplifico
definito anche se a non fosse definito su tutto IR. In questo caso a è 2/(x–4), che non è definito per
x=4.
Nel caso dell'equazione Error!= – Error!posso procedere così:
ho usato:
Error! E r r o r !
(1)
Error!= – Error!
(2)
Error!· 200 = – Error!· 200 ho applicato "·200"
(3)
(x + 0.1)· 100 = – (10x+1)
(4) 100 x + 10 = –10 x – 1
negazione
ho semplificato
ho distribuito 100 e la
(5)
110 x = –11
ho applicato "+10x" e "–10"
(6)
x = – 0.1
ho applicato "/110"
ma, verificando, se sostituisco –0.1 a x ottengo Error!= – Error!, che è indefinita in quanto
contiene una divisione per 0.
26 In quale passo del procedimento è cambiato il dominio dell'equazione?
Per procedere correttamente avrei dovuto aggiungere, a partire da tale passo, la condizione
x ≠ 0.1, cioè considerare, invece della sola equazione, la condizione: equazione AND x ≠ 0.1.
27
Esamina la seguente risoluzione di equazione, spiega perché la soluzione trovata non è una
soluzione, individua quale eventuale condizione avrei dovuto aggiungere (e a partire da quale
passaggio) per procede-re correttamente.
(3x–3(x–1)–3) x +x+1 = 0  (3x–3x+3–3) x +x+1 = 0  0 x
+x+1 = 0  x+1 = 0  x = –1
28 Risolvi l'equazione – Error!= Error!.
Un errore frequente è considerare x2 equivalente a x mentre è equivalente a |x | (ad es.
(– 5)2 = 25 = 5 = |–5|). Solo quando lavoro sotto la condizione x≥0 posso considerare
equivalenti i due termini.
Un altro errore frequente è considerare ( x ) 2 equivalente a x senza tener conto che il primo
termine è definito solo se x≥0 (ad es. ( – 5 ) 2 non è definito mentre –5 lo è).
29
Traccia nel sistema di riferimento a lato più a
sinistra il grafico di x
x2 e in quello più a destra il
grafico di x ( x ) 2.
[assumi 1 come ampiezza delle divisioni]
Applicare una funzione a entrambi i membri
Se termine1 è uguale a termine2 e F è una funzione a input e
output in IR posso concludere che F(termine1) è uguale a
F(termine2).
Questa è l'idea su cui si basa il procedimento di trasformazione
delle equazioni utilizzato, ad es., nella seguente risoluzione (rispetto
ad A), di
Error!= Error!:
applico x
e, poi, x
x·5 ottenendo:
x+2 ottenendo:
A–2 = Error!
A = Error!+ 2 = 3.25.
Se un certo valore verifica l'equazione iniziale (termine1 = termine2) esso deve verificare anche
l'equazione finale (F(termine1) = F(termine2) ).
In alcuni casi, però, si possono ottenere come soluzioni dei numeri che soluzioni non sono.
Un esempio:
2x+5 = x+ 1  2 x+ 5 = (x+ 1)2  2 x+ 5 = x2+ 2 x+ 1  4 =x2  x2 = 4  x= 2 OR x=–
2
applico x
x2
sviluppo il quadrato
applico "– 2 x"
a=b  b=a
e semplifico
Se faccio la verifica della soluzione 2 ottengo 9 = 3, che è vera. Per la soluzione –2 ottengo 1 =
–1, che è falsa. Quindi –2 non è una soluzione.
30 Per capire in quale passaggio l'equazione è stata trasformata in un'equazione con una soluzione in
più, individuate qual è la prima tra le equazioni man mano ottenute che è verificata da –2. Cercate,
poi, di capire che cosa è all'origine del fenomeno.
31
Tra i seguenti grafici individua quelli corrispondenti a funzioni per cui esistono input diversi a
cui corrisponde lo stesso output (ad es. B non è un grafico di questo genere: non ci "frecce" che
arrivano nello stesso punto dell'asse y partendo da punti diversi dell'asse x). Per queste funzioni
determina (approssima-ti) almeno due input con output uguali.
[gli assi tracciati si incrociano in (0,0) e le divisioni orizzontali e verticali della griglia sono ampie 1]
Le funzioni che a input diversi fanno corrispondere output diversi vengono dette funzioni
iniettive. Esempi di funzioni iniettive sono:
x
x (grafico B del quesito precedente)
x
x3
Non è iniettiva:
(grafico E)
x
x
x
x2 (grafico C). Infatti, ad esempio, 1
–x
(grafico D)
Error!
12 = 1 e –1
(grafico F)
(–1)2 = 1
L'applicazione di funzioni non iniettive ai due membri di un'equazione può rendere uguali "cose"
che non sono uguali. Ad esempio nel caso dell'equazione discussa nel quesito 29 l'applicazione di x
x2 fa sì che i due membri dell'equazione diventino uguali anche nel caso in cui assumano valori
opposti:
2x+5 = x+ 1  2 x+ 5 = (x+ 1)2
applico x
per x=–2 dà luogo a:
x2
Invece, cambiando segno ai due membri dell'equazione (x
appli-cando la radice quadrata (x
x ) o il reciproco (x
soluzioni indesi-derate.
1 = –1  1 = 1
applico x
x2
–x), elevandoli al cubo (x x3),
1/x) non si possono aggiungere
Applicando la radice quadrata o il reciproco si potrebbe invece – ma in casi molto particolari – perdere
qualche soluzione in quanto queste funzioni non sono definite su tutto IR: la prima non è definita sui numeri
negativi ( grafico B nella pagina precedente), la seconda non è definita in 0 ( grafico F).
Nel risolvere l'equazione – Error!= Error!del quesito 27 la prima trasformazione operata è
l'applicazione
di "·(x+2)" ai due membri dell'equazione, per ottenere:
– Error!= Error!
[e, poi, semplificando (con l'aggiunta di
AND
x≠–2 in quanto per x=–2
l'equazione originale non è definita):
–2 = x AND x ≠ –2
che non ha soluzioni]
In questo caso abbiamo applicato ai due membri la
moltiplicazione per un termine che contiene la variabile incognita:
abbiamo applicato la funzione moltiplicazione dando ad essa come
1° input un membro dell'equazione e come 2° input il termine x+2.
Questa particolare trasformazione non crea problemi: nel
moltipli-care per x+2 non ho ridotto il dominio (x+2 è definito
su tutto IR) e non ho aggiunto soluzioni.
Ma in altre situazioni, in cui la struttura dell'equazione viene
modi-ficata in modo analogo ( figura a lato), aggiungendo un
nuovo sottotermine t (contenente la variabile incognita), può
accadere che si restringa il dominio dell'equazione.
Ciò può condurre alla perdita di qualche soluzione.
Ad esempio di fronte a x(x+2) = x potrei pensare di dividere per x
entrambi i membri e ottenere:
Error!= Error!
e poi, semplificando:
x+2 = 1
e, infine:
x=–1
Ma in questo modo avrei perso la soluzione x=0 (0 è soluzione poiché per
x=0 l'equazione diventa 0·1=0, che è vera).
Per procedere correttamente devo tener conto che dividendo per x escludo 0
dal dominio e, quindi, devo controllare se 0 è una soluzione da aggiungere alle
altre eventuali soluzioni. Oppure posso, più pedestremente, operare le
trasformazioni:
x(x+2)–x = x–x  x(x+2) –x = 0  x(x+2–1)=0  x(x+1)=0  x=0
x=–1
ho applicato "–x"
raccolgo x
OR
x+1=0  x=0
OR
a b=0  a =0 OR b=0
Nota. Moltiplicando i membri di un'equazione per uno stesso termine potrei ottenere un'equazione con delle
soluzioni in più: i valori che, sostituiti all'incognita, annullano tale termine.
Ad es. se trasformo x=3 in x·(x–7) = 3·(x–7) aggiungo alla soluzione 3 dell'equazione iniziale la
soluzione 7: l'equazione finale per x=7 diventa 7·0=3·0, che è vera.
Ma situazioni del genere sono rare in quanto in genere si moltiplicano i membri di un'equazione per un termine quando questo compare a denominatore (come nel caso dell'equazione – Error!= Error!considerata
sopra)
e, quindi, il suo annullamento è già escluso in quanto renderebbe indefinita l'equazione.
6. Esercizi
32
Il programma Via: INPUT n : h = n\60 : m = n MOD 60 : PRINT h, m : GOTO Via
(dove MOD corrisponde al tasto
di alcune CT:  divisione intera in Gli oggetti matematici)
calcola una funzione F che ha come input numeri interi e come output coppie di numeri interi.
Trascurando le limi-tazioni del linguaggio di programmazione (che, come le CT, non può operare
su tutti i numeri) possiamo dire che l'insieme di input è IN. Qual è l'immagine di IN mediante F?
33 I due seguenti programmi calcolano la stessa funzione?
Via: INPUT "cifra";x$ : INPUT "cifra";y$ : PRINT "output: "; x$ + y$ : GOTO Via
Via: INPUT "cifra";x : INPUT "cifra";y : PRINT "output: "; x +y : GOTO Via
mese
gennaio
febbraio
marzo
…
temperat. max
(arrotondata)
9°
10°
14°
…
giorni in cui
si è registrata
8, 13, 27
21
18, 26
…
34 La tabella a fianco rappresenta una funzione?
35 Sia F la funzione rappresentata dall'elenco in cui
comune per comune è indicata la relativa provincia. Sia G
quella rap-presentata dall'elenco in cui provincia per
provincia è indica-ta la regione. Quale posso considerare
tra F(G(.)) e G(F(.))? Come è fatto un'elenco che la
rappresenti?
36
A fianco è illustrata una situazione
analoga quella dell'inizio di §2. Usando le
stesse nota-zioni, possiamo descrivere il
moto della nave 1 con x1 =45t, y1 =10t.
Descrivi il moto della nave 2.
Esprimi d in funzione di t.
37
Traccia su carta quadrettata il grafico della funzione x 2x 2 e la figura ottenuta da questa
mediante la traslazione ∆x=1, ∆y=–2.5. Di quale funzione è il grafico questa nuova figura?
38
Traccia su carta quadrettata il grafico della funzione x 0.5x e le figure ottenute da questa
mediante le traslazioni: (a) ∆x=–1, ∆y=0; (b) ∆x=0, ∆y=2.5; (c) ∆x=–1, ∆y=2.5. Di quali
funzioni sono grafici queste nuove figure?
39
Per schizzare il grafico di x
Error!si può trasformare il termine a numeratore in (x+2)+1,
distribuire Error!, … così da ricondursi a una situazione simile a quella del grafico sopra al
quesito 15. Prova a farlo.
40
A fianco sono riprodotti parzialmente i grafici
di F: x 0.3 x2 e di G: x 0.3 x2 – 1.2 x + 2.6.
Si tratta di due parabole, una avente come
vertice (0,0), l'altra ottenuta da questa mediante
una traslazio-ne. Trova i passi h,k della
traslazione, cioè h e k tali che F(x–h)+k sia
uguale a G(x).
Controlla i valori di h e k determinando
graficamente i vertici della parabola che è grafico
di G.
Traccia: riscrivi F(x–h)+k (cioè 0.3 (x–h)2 +k)
svilup-pando
(x–h)2
mediante:
(a+b)2

a2 +2ab+b2 . Ottie-ni un'espressione del tipo
0.3 x2 + … x + … con h e k che compaiono nei
termini indicati con "…". Imponendo che il primo "…"
sia uguale a –1.2 trova il valore di h. Poi, imponendo
che il secondo "…" sia uguale a 2.6 trova il valore di k.
41
(1) Prova a risolvere con DERIVE l'equazione
. Azionando Risolvi-Algebricamente
non ottieni x=… ma un'altra equazione. Quale? È equivalente all'equazione iniziale?
(2) Schizza a mano i grafici di
e di
, deduci quante sono le soluzioni
dell'equazione data e stimane il valore.
(3) In GRAFUN: definisci come F e G le funzioni considerate in (2), tracciane i grafici (e confrontali
con quelli che hai schizzato), definisci H(x)=F(x)–G(x) e tracciane il grafico. Che relazione c'è tra
l'intersezione dei grafici di F e G e l'intersezione del grafico di H con l'asse x?
(4) Con GRAFUN, usando: calc  zeri trova il valore di x per cui H(x) è zero. Che cosa puoi
concludere sulle soluzioni dell'equazione data?
(5) Rifai quanto indicato in (3) usando DERIVE; poi applica Risolvi-Numericamente all'equazione
data; confronta il valore così ottenuto con quello trovata in (4).
42 Ho due vini A e B analoghi, ma con diverse gradazioni (cioè con diverse percentuali di alcool): A
di 10.8° (10.8% di alcool), B di 11.3°. Per ottenere 10 litri a 11.0° quanto devo prendere dei due
vini? Indico con x la quantità di litri che dovrò prendere di A. La quantità di B da prendere è 10–x.
L'alcool che è in A è 10.8%x, cioè 0.108·x; quello in B è 0.113·(10–x); in tutto l'alcool deve essere
0.11·10. Traduci queste informazioni in un'equazione, risolvila rispetto a x e rispondi al quesito.
43
Come il quesito 42, generalizzato alla situazione in cui si vogliono ottenere 10 litri di vino a G°
(descrivi il problema con un'equazione contenente il parametro G e risolvila; verifica che la
soluzione ottenuta per il quesito 42 sia un caso particolare di quella ottenuta ora).
44
Traccia un grafico che possa essere considerato quello di una funzione F tale che 0≤x≤5 AND
F(x)=0 abbia 2 soluzioni. Analoghi esercizi, ma con le richieste che le soluzioni siano 0, siano 3,
siano infinite.
45 "Inventa" delle equazioni che abbiano 0, 1, 2, 3 e infinite soluzioni.
46 Le funzioni F e G di figura 1 (a p.1) sono iniettive? V ( p.10) è una funzione iniettiva di T?
47
A lato, nella porzione di piano {(x,y) : –2<x<4 AND –2<y<4}, è
raffigurato il grafico di una funzione F. I punti individuati con un cerchietto pieno appartengono al grafico di F, quelli individuati da un
cer-chietto vuoto no. Quanto valgono F(–1), F(1), F(2), F(2.5), F(3)?
Qual è l'immagine di [–2,3] mediante F? E quella di [1,2]? E di [–
1,1]?
F è iniettiva o non iniettiva? Come modificheresti il grafico (nel
modo che ti pare più semplice) così che F non sia più tale?
48
Con DERIVE è possibile risolvere passo per passo le
equazioni come illustrato a fianco:
– si introduce con Crea l'equazione ( #1),
– nella finestra di Crea si batte #1*3, in modo da applicare la
funzione
ai membri della equazione #1; si aziona
Semplifica in modo da ottenere #2;
– si aziona Sviluppa in modo da ottenere #3;
– in Crea si batte #3+1;
– …
Procedendo in questo modo cerca di ottenere le
trasformazioni riprodotte a lato.
Risolvi analogamente
iniziale è in #1, batti 1/#1.
applicando come prima funzione
, cioè, se l'equazione
49
A lato sono tracciati il grafico (a tratto continuo)
di una funzione F: x ax 2 + bx + c (per particolari
valori di a, b e c) e i grafici (punteggiati) di altre tre
funzioni, G, ottenuta da F cambiando a, H, ottenuta
cambiando b, e K, ottenuta cambiando c.
Associa ad ogni grafico la corrispondente
funzione [motiva la risposta].
50
Traccia il grafico (dopo una tabulazione) della funzione x |2x | + |x–3|. Trova, se possibile,
valori da attribuire a p affinché l'equazione |2x | + |x–3| = p abbia 0, 1, 2 soluzioni.
51
Schizza il grafico di x a x2 per diversi valori di a (anche con segno diverso). Al variare del
valore di a cambia la quantità delle soluzioni dell'equazione a x2 = –3. Come?
52 L'insieme di punti {(x,y) : x 2 + y 2 = k} quale figura è per k=1? e per k=4? per k=0? per k=–1?
53
Risolvi con DERIVE le equazioni a lato, usando Risolvi.
Discuti le soluzioni ottenute alla luce delle considerazioni
svolte a p.15 (tieni conto che DERIVE prima di risolvere
l'equazione ne semplifica i membri).
54 Individua l'errore nella seguente "dimostrazione" che ogni numero è uguale a 1 (nella descrizione
di passaggi non sono state elencate le applicazioni dei riordini di addizioni e moltiplicazioni)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Sia x un qualunque numero.
x2 – 2 x+ 1 = 1– 2 x+ x2
(x–1)2 = (1–x)2
(x–1)2 = (1–x)2
x–1 = 1–x
2x–1 = 1
2x = 2
x = 1
questa è un'equazione è vera
da (1) usando: a2 – 2ab + b2  (a–b)2
da (2) applicando la radice quadrata
da (3) usando: a2  a
da (4) applicando "+x" e usando: –a+a  0
da (5) applicando "+1"
da (6) applicando "/2"
55 Quante soluzioni ha l'equazione 5 (x2 )= (5 x )2 ?
[trasforma il secondo termine nella forma 5 … :  potenze (2) in Gli oggetti matematici]
56 Usa il "demo" FASCIO.DM per studiare al viariare di q tra -2 e 4 il grafico di F nei seguenti casi:
(1)
(2)
(3)
F: x
F: x
F: x
qx2 +3x–1
2x2 +qx–1
2x2 +3x–q
[esamina l'help di Grafun su Demo e Macro]
1) Segna con l'evidenziatore, nelle pagine indicate, frasi e/o formule che descrivono il significato dei
termini:
coppia ordinata, p.3
funzione, p.3
grafico di x
grafico di x
F(x–h)+k, p.8
parametro, p.13,14
insieme immagine, p.4
a·F(x), p.9
grafico di x
–F(x), p.9
funzione iniettiva, p.16
2) Su un foglio da "quadernone" (che poi inserirai dopo l'ultima pagina della scheda), nella prima facciata,
esemplifica l'uso di ciascuno dei concetti sopra elencati mediante una frase in cui esso venga impiegato.
3) Nella seconda facciata riassumi in modo discorsivo (senza formule, come in una descrizione "al telefono") il contenuto della scheda (non fare un elenco di argomenti, ma cerca di far capire il "filo del discorso").
In verde quello che mi sembra più chiaro in O. M
In blu riferimenti non corretti(29  esempio pag. 1-16); ( 27  28)
In azzurro i programmi;usare altro linguaggio?