Liceo scientifico “Cavour”
Compito di Matematica per la classe 5D Durata della prova 2 ore
RISOLVERE UNO, A SCELTA, DEI SEGUENTI QUESITI
1)In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(-1,1) e B(1,-1)
a) Scrivere l’equazione della circonferenza K avente come diametro il segmento AB
b) Scrivere l’equazione della parabola
P simmetrica rispetto
all’asse x, avente il vertice nel punto
e passante per B e considerare il segmento parabolico limitato da
P e dalla retta x=1
c)Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di 180° del suddetto segmento parabolico
intorno all’asse x
d)Tra le curve di equazione y =ax3+bx+c determinare quella, , che ha in A e in B due estremi relativi .
e) Disegnare il grafico di dopo aver verificato che passa per il punto O, che è anche centro di
simmetria.
f)Calcolare le aree delle due regioni di piano in cui divide il cerchio racchiuso da K
g)Calcolare l’area del triangolo mistilineo OBV ( dove OB è il corrispondente arco di e BV il
corrispondente arco di P .
Calcolare l’errore percentuale che si commette se si approssima l’area del suddetto triangolo mistilineo
con il triangolo avente per vertici i punti O, B e V.
2)In un riferimento cartesiano Oxy è data circonferenza
K di equazione
a) indicati con A e con B due punti di K di uguale ascissa x, determinare in funzione di x
l’area S1 del triangolo equilatero di lato AB e determinarne il valore massimo
l’area S2 del rettangolo inscritto in K e avente un lato coincidente con AB e
determinarne il valore massimo
b)Considerare la funzione
studiarne la continuità , la derivabilità,la crescenza o decrescenza, la concavità;
stabilire se ammette massimo o minimo assoluti
c) Tracciare il grafico di f(x)
d) Stabilire se è possibile calcolare il valore medio di f(x) nell’intervallo [0,1[ e, in caso affermativo,
determinarlo
SOLUZIONI
PROBLEMA 1
a)La circonferenza ha centro nell’origine e raggio √2
x2+y2=2
b) La parabola ha equazione del tipo x=ay2+1/2
Imponendo il passaggio per B si trova a =1/2
c)Si può pensare che il solido sia generato dalla rotazione completa del semisegmento parabolico
appartenente al primo quadrante.
La f(x) corrispondente
=
d)Per determinare i 3 parametri a,b, e c imponiamo 3 condizioni
Il sistema ammette la soluzione
e)Si tratta di una funzione algebrica razionale intera, definita e continua in R.
La curva incontra l’asse x nei punti O(0,0)
C(-√3,0) e D(√3,0)
O è centro di simmetria (funzione dispari) in quanto f(-x) = -f(x)
La funzione assume valori positivi per -√3<x<0 e per x>√3
Assume valori negativi per x<-√3 e per 0<x<√3
La derivata prima
è positiva per x<-1
è negativa per -1<x<1
vel per x>1 ( funzione crescente)
(funzione decrescente)
A è massimo relativo e B minimo relativo
f)
Le due regioni di piano in cui il cerchio è diviso dalla curva, sono equivalenti a 2 semicerchi,
ciascuno di area π ,in quanto ciascuna di esse si ottiene aggiungendo e togliendo da un semicerchio due
aree uguali ( le aree delle due regioni limitate dagli archi OA e OB di curva e dai raggi OA e OB, di uguale
area perché simmetriche rispetto all’origine)
g)Area del triangolo mistilineo
Percorrendo il contorno in senso orario si ottiene
=
+
ovvero
Il triangolo OBV ha altezza uguale ad 1 e base uguale a ½ quindi la sua area è uguale ad ¼
Lo scarto tra le due aree è 1/24 ( l’approssimazione è per difetto)
L’errore relativo è 1/7 , pari a circa il 14%
PROBLEMA2
Indichiamo con x l’ascissa comune ad A e a B.
Risulta -1≤x≤1
La lunghezza di AB sarà uguale a 2
Da cui
La funzione S1(x) rappresenta una parabola simmetrica rispetto all’asse y,con la concavità diretta verso il
basso, avente il vertice nel punto (0;
)
S1 tende a 0 quando x tende a ±1, mentre quando x tende a 0 S1 tende a √3 che rappresenta anche
il valore massimo
Per calcolare l’area del rettangolo, osserviamo che i vertici A’ e B’ sono simmetrici di A e di B rispetto
all’asse y, quindi la lunghezza dei due lati orizzontali è 2|x|, dove la presenza del modulo garantisce la
positività del risultato , anche quando x è negativo.
S2 tende a 0 sia quando x tende a ±1, sia quando x tende a 0
Anche S2(x) è simmetrica rispetto all’asse y
Per via elementare si sa che il rettangolo inscritto, di area massima è il quadrato, di lato r√2, quindi il massimo di S 2(x)
è2
Comunque, studiando la derivata prima di S2 si trova, limitandosi a considerare x>0
Nell’intervallo [0;1[ la funzione cresce fino al valore di x= √2/2 e poi decresce, pertanto si ha un massimo relativo, che
è anche assoluto, nel punto
(
Dominio ]-1;1[
L’espressione perde di significato per x=±1, quando si annullano entrambe le aree, mentre assume valore
nullo quando si annulla solo S2 ( x=0)
Per x≠ ±1 si può scrivere
La curva è simmetrica rispetto all’asse y
Poichè
Quindi la funzione ha due discontinuità di seconda specie agli estremi dell’intervallo di definizione (asintoti
verticali)
Il codominio è l’intervallo [0;+∞] quindi la funzione ammette minimo assoluto, uguale a 0, ma non ammette
massimo
Studio della derivata prima
Scrivendo la funzione nella forma
Si trova
In 0 si ha un punto angoloso con derivata sinistra uguale a -4/√3 e derivata destra uguale a 4/√3
Nel primo intervallo la funzione è sempre decrescente e nel secondo sempre crescente
Passando alla derivata seconda
Si osserva che risulta sempre positiva ( escluso il punto di ascissa 0 dove non esiste neppure la derivata
prima), quindi la curva volge sempre la concavità verso l’alto
Poiché nel punto di ascissa 1 si ha una discontinuità per calcolare il valor medio della funzione dobbiamo
limitarci ad un intervallo [0,b] con b<1 e studiarne poi il limite per b tendente ad 1 da sinistra
Poiché
Si può parlare di valor medio nell’intervallo considerato
