∫ − - Treccani

PROPOSTA DI II PROVA SCRITTA (a cura di Bruno Moretto)
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
Indirizzo: SCIENTIFICO PNI
Tema di: MATEMATICA
Il candidato risolva uno (e uno solo) dei due problemi e al massimo 5 dei 10 quesiti in cui si articola il
questionario.
PROBLEMA 1
Siano date la parabola λ e la retta r di equazioni rispettive: y = x 2 + 1 e y = x − 1 .
a) Qual è la distanza minima tra λ ed r? Come si calcola il suo valore?
b) Siano A e B i punti di intersezione tra λ e la retta s di equazione y = x + 3 . Determinare il punto P
appartenente all’arco AB tale che il triangolo ABP abbia area massima
c) Determinare l’ area del segmento parabolico di base AB e si verifichi che essa è
4
dell’ area del
3
triangolo ABP
d) Determinare il volume del solido generato dalla rotazione completa del segmento parabolico di base
AB attorno all’ asse x.
PROBLEMA 2
⎛a− x⎞
⎟
⎝ x−b⎠
Data la funzione reale di variabile reale f ( x) = ln⎜
a) Determinare i valori dei parametri reali a e b in modo che il grafico della funzione passi per il punto
(4;0) e abbia la retta di equazione x = 2 come asintoto verticale;
b) Supponendo ora a = 2, determinare b in modo che il grafico di f(x) passi per il punto di coordinate
(3; –ln3) e rappresentare graficamente la funzione così ottenuta, dopo averne individuato le
principali caratteristiche;
c) Determinare il valore di k che rende la funzione g(x) = k f(x) una funzione di densità di probabilità
nell’intervallo [3;4];
d) Verificare che il grafico di f(x) è simmetrico rispetto al suo punto di flesso, tracciare il grafico di
|f(x)| , indicando le sue eventuali caratteristiche di simmetria.
e) Dimostrare che la funzione f(x) è invertibile e determinare l’equazione dell’inversa g(y). Calcolare
quindi g(1) e g ' (1).
QUESTIONARIO
1. Dimostrare che l’ equazione xe x = 1 ammette una soluzione reale minore di 1.
6
∫
2. Calcolare il valore di | x − 3 | dx e spiegare il suo significato geometrico.
2
3. La concentrazione C di un antibiotico nel flusso sanguigno dopo un tempo di t ore è dato da
C (t ) =
5t
⎛t⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝k⎠
2
unità, dove k > 0. Trovare il valore di k, se la massima concentrazione si
raggiunge dopo 6 ore.
1 1
4. Considerata la funzione f ( x) = + 2
x x
x
∫ (sen2t − 1)dt , dimostrare che lim f ( x) = 1
x →0
0
5. Due sfere S1 ed S2 sono rispettivamente inscritta e circoscritta ad un cubo di lato l . Determinare il
rapporto tra le aree delle superfici di S1 e S2 quello tra i volumi di S1 e S2.
⎧ x' = ax − 2 y
rappresentano
⎩ y ' = − x + (a − 1) y
6. Determinare per quali valori del parametro reale a le equazioni ⎨
a) un’affinità del piano;
b) un’affinità che trasformi un triangolo in un altro tale che l’area del trasformato sia 4 volte quella
del primo;
c) enunciare le principali proprietà di un’affinità.
⎛n⎞
7. Dopo aver fornito il significato di ⎜⎜ ⎟⎟ dimostrare che vale la seguente identità
k
⎝ ⎠
⎛ n + 1⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k ⎠
8. Stabilire se la funzione y = e − x + e x soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [− 2;2].
In caso affermativo trovare i punti che verificano il teorema.
9. La probabilità che in una data città vi sia un temporale in un giorno di luglio è uguale a 0,2. Calcolare
la probabilità che:
a) il primo temporale del mese sia il 6 luglio;
b) nella prima decade di luglio ci sia almeno un temporale;
c) il primo temporale avvenga dopo il 7 luglio.
10. La probabilità che tre tiratori colpiscano il bersaglio sono 1/6, 1/4 e 1/3, rispettivamente. Ciascuno
spara una volta al bersaglio.
a) trovare la probabilità che uno e uno soltanto di essi colpisca il bersaglio;
b) se solo uno ha colpito il bersaglio, qual è la probabilità che sia stato il primo tiratore?
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La durata della prova è di 6 ore e nel corso di essa è consentito l’uso della calcolatrice scientifica.
Non è ammesso lasciare l’aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla consegna della copia con le tracce.