Verifica sui problemi con geometria solida. 3/6/09. Quarta. Fila 1.
1) E’ dato il triangolo ABC, in esso AC a 3 , BC a e ABˆ C
. Dopo aver verificato che
3
ABC è un triangolo rettangolo, determina sul lato AB un punto P in modo che si abbia:
AP PC AB .
3
2) Sia ABC un triangolo isoscele di base BC, di perimetro 4 5 1 e tale che cos BAˆ C .
5
Determina su AB un punto P in modo che valga la relazione 5 BP 2 PC 12 .
3) Una piramide ha per base il triangolo ABC, isoscele e rettangolo in A, ed ha per altezza il
segmento AV. Inoltre la faccia VBC forma un angolo di 45 col piano della base e lo spigolo
VB è lungo 2h 3 , dove h è una lunghezza nota. Calcolare la distanza del vertice A dal piano
della faccia VBC e trovare per quale valore di h tale distanza vale 4 2 . Verificato che questo
valore di h è 4, con riferimento ad esso secare la piramide con un piano parallelo alla base ABC
e, proiettato ortogonalmente il triangolo sezione sulla base stessa, esprimere il volume del
prisma triangolare così ottenuto in funzione della sua altezza x.
4) Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i quadrati
ABCD e A’B’C’D’. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC’A’ e D’DEE’ dividono
il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.
Ogni problema vale 2 punti, la valutazione parte da 2. Tempo disponibile 2 ore.
Verifica sui problemi con geometria solida. 3/6/09. Quarta. Fila 2.
1) E’ dato il triangolo ABC, in esso AC a 3 , BC a e ABˆ C
. Dopo aver verificato
3
che ABC è un triangolo rettangolo, determina sul lato AB un punto P in modo che si abbia:
AP PC AB .
3
2) Sia ABC un triangolo isoscele di base BC, di perimetro 4 5 1 e tale che cos BAˆ C .
5
Determina su AB un punto P in modo che valga la relazione 5 BP 2 PC 12 .
3) Una piramide ha per base il triangolo ABC, isoscele e rettangolo in A, ed ha per altezza il
segmento AV. Inoltre la faccia VBC forma un angolo di 45 col piano della base e lo
spigolo VB è lungo 2h 3 , dove h è una lunghezza nota. Calcolare la distanza del vertice A
dal piano della faccia VBC e trovare per quale valore di h tale distanza vale 4 2 . Verificato
che questo valore di h è 4, con riferimento ad esso secare la piramide con un piano parallelo
alla base ABC e, proiettato ortogonalmente il triangolo sezione sulla base stessa, esprimere
il volume del prisma triangolare così ottenuto in funzione della sua altezza x.
4) Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i quadrati
ABCD e A’B’C’D’. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC’A’ e D’DEE’
dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella
meno estesa.
Ogni problema vale 2 punti, la valutazione parte da 2. Tempo disponibile 2 ore.
