12 - Matematicamente

Problema di massimo su piramide
Una piramide VABC ha per base un triangolo rettangolo ABC i cui cateti AB ed AC misurano
rispettivamente 15cm e 20 cm; l’altezza della piramide coincide con lo spigolo laterale VA e la
faccia VBC forma con il piano di base un angolo il cui coseno è
piramide.
√
. Calcolare l’area laterale della
Determinare a che distanza dal vertice occorre condurre un piano parallelo alla base in modo che
risulti massimo il volume della piramide di vertice A e con base il poligono secondo cui il piano taglia la piramide VABC.
Risoluzione:
V
A
C
B
H
Sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa nel triangolo rettangolo ABC. Lo spigolo VA, essendo
altezza della piramide, è perpendicolare in A al piano della base, quindi è perpendicolare a tutte le
rette di tale piano passanti per A ( in particolare le rette AB, AC, AH ). Essendo VA perpendicolare
in A al piano ABC ed AH perpendicolare in H alla retta BC, per il teorema delle tre perpendicolari
risulta VH perpendicolare in H a BC e la retta BC perpendicolare in H al piano AVH; ne segue che
l’angolo AĤV è quello che la faccia laterale VBC forma con il piano di base e di cui è dato il coseno. Occorre procedere nei triangoli rettangoli ABC e VAH.
Applicando il teorema di Pitagora nel triangolo ABC si ha:
può calcolare
=
:
= 12cm.
= √15 + 20 cm = 25cm; ora si
Nel triangolo rettangolo VAH, mediante teorema trigonometrico per i triangoli rettangoli, si ha
=
: cos AĤV = 12 ∶
triangolo si ha
=
6√29
√
cm = 6√29 cm ; dal teorema di Pitagora applicato allo stesso
− 12 cm = 30cm.
La piramide in questione non è retta1, quindi per calcolarne l’area laterale occorre calcolare l’area
di ogni faccia e addizionare tali aree.
I triangoli VAB e VAC sono rettangoli in A, quindi:
A(VAB) =
: 2 = 225cm2 ,
A(VAC) =
: 2 = 300cm2 .
Nel triangolo VBC, essendo VH  BC perché dimostrato , VH è l’altezza relativa a BC, quindi:
: 2 = 25  6√29 ∶ 2 cm2 = 75√29 cm2 .
A(VBC) =
L’area laterale richiesta è 300 + 225 + 75√29 cm2 = 525 + 75√29 cm2 .
V
A’
C’
B’
A
C
B
Sia A’B’C’ il poligono (triangolo) secondo cui un piano parallelo al piano di base taglia la piramide data ; VA è perpendicolare anche al piano A’B’C’, per cui VA’ è la distanza di V dal piano
A’B’C’.
Posto =
′ , con 0 ≤ ≤ 30 , occorre esprimere in funzione di x il volume della pirami –
de AA’B’C’ . Risulta
′ = 30 –x e, ricordando che se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base la sezione e la base stanno fra loro come i quadrati costruiti sulle distanze dei loro
piani dal vertice, risulta A(A’B’C’): A(ABC) =
cui A(A’B’C’) =
′ :
da cui A(A’B’C’) :150 =
: 900 da
. Per la piramide AA’B’C’ conviene assumere come base il triangolo A’B’C’
e come relativa altezza AA’ ; il volume in funzione di x è quindi
1
Una piramide si dice retta se il suo poligono di base possiede circonferenza inscritta e il centro di tale circonferenza coincide con il piede dell’altezza della piramide stessa; nel caso in questione il piede dell’altezza
è A che non è l’incentro del triangolo ABC .
=
(30 − ) da cui
=
(30
−
) con 0 ≤
≤ 30 .
La funzione y è continua e derivabile in tutto R, quindi anche nell’intervallo imposto dalla questione geometrica; risulta
(60 − 3 ) , tale derivata si annulla per = 0  = 20 ed è
positiva per 0 < < 20 . La funzione, nel suddetto intervallo, ha quindi un punto di massimo (relativo ed assoluto) per = 20 .
=
Il volume della piramide AA’B’C’ è massimo se
= 20cm .
Francesco Camia