Problema di massimo su piramide Una piramide VABC ha per base un triangolo rettangolo ABC i cui cateti AB ed AC misurano rispettivamente 15cm e 20 cm; l’altezza della piramide coincide con lo spigolo laterale VA e la faccia VBC forma con il piano di base un angolo il cui coseno è piramide. √ . Calcolare l’area laterale della Determinare a che distanza dal vertice occorre condurre un piano parallelo alla base in modo che risulti massimo il volume della piramide di vertice A e con base il poligono secondo cui il piano taglia la piramide VABC. Risoluzione: V A C B H Sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa nel triangolo rettangolo ABC. Lo spigolo VA, essendo altezza della piramide, è perpendicolare in A al piano della base, quindi è perpendicolare a tutte le rette di tale piano passanti per A ( in particolare le rette AB, AC, AH ). Essendo VA perpendicolare in A al piano ABC ed AH perpendicolare in H alla retta BC, per il teorema delle tre perpendicolari risulta VH perpendicolare in H a BC e la retta BC perpendicolare in H al piano AVH; ne segue che l’angolo AĤV è quello che la faccia laterale VBC forma con il piano di base e di cui è dato il coseno. Occorre procedere nei triangoli rettangoli ABC e VAH. Applicando il teorema di Pitagora nel triangolo ABC si ha: può calcolare = : = 12cm. = √15 + 20 cm = 25cm; ora si Nel triangolo rettangolo VAH, mediante teorema trigonometrico per i triangoli rettangoli, si ha = : cos AĤV = 12 ∶ triangolo si ha = 6√29 √ cm = 6√29 cm ; dal teorema di Pitagora applicato allo stesso − 12 cm = 30cm. La piramide in questione non è retta1, quindi per calcolarne l’area laterale occorre calcolare l’area di ogni faccia e addizionare tali aree. I triangoli VAB e VAC sono rettangoli in A, quindi: A(VAB) = : 2 = 225cm2 , A(VAC) = : 2 = 300cm2 . Nel triangolo VBC, essendo VH BC perché dimostrato , VH è l’altezza relativa a BC, quindi: : 2 = 25 6√29 ∶ 2 cm2 = 75√29 cm2 . A(VBC) = L’area laterale richiesta è 300 + 225 + 75√29 cm2 = 525 + 75√29 cm2 . V A’ C’ B’ A C B Sia A’B’C’ il poligono (triangolo) secondo cui un piano parallelo al piano di base taglia la piramide data ; VA è perpendicolare anche al piano A’B’C’, per cui VA’ è la distanza di V dal piano A’B’C’. Posto = ′ , con 0 ≤ ≤ 30 , occorre esprimere in funzione di x il volume della pirami – de AA’B’C’ . Risulta ′ = 30 –x e, ricordando che se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base la sezione e la base stanno fra loro come i quadrati costruiti sulle distanze dei loro piani dal vertice, risulta A(A’B’C’): A(ABC) = cui A(A’B’C’) = ′ : da cui A(A’B’C’) :150 = : 900 da . Per la piramide AA’B’C’ conviene assumere come base il triangolo A’B’C’ e come relativa altezza AA’ ; il volume in funzione di x è quindi 1 Una piramide si dice retta se il suo poligono di base possiede circonferenza inscritta e il centro di tale circonferenza coincide con il piede dell’altezza della piramide stessa; nel caso in questione il piede dell’altezza è A che non è l’incentro del triangolo ABC . = (30 − ) da cui = (30 − ) con 0 ≤ ≤ 30 . La funzione y è continua e derivabile in tutto R, quindi anche nell’intervallo imposto dalla questione geometrica; risulta (60 − 3 ) , tale derivata si annulla per = 0 = 20 ed è positiva per 0 < < 20 . La funzione, nel suddetto intervallo, ha quindi un punto di massimo (relativo ed assoluto) per = 20 . = Il volume della piramide AA’B’C’ è massimo se = 20cm . Francesco Camia