COPERTINA
Titolo: Dalla frazione al numero decimale: esploriamo
Tematica affrontata:
Numeri, algoritmi, strutture
Relazioni e funzioni
Forme dell’argomentazione e strategie del pensiero matematico
Ordine di scuola: secondo ciclo - I biennio
Obiettivi specifici di apprendimento dell'attività:
Riconoscere e usare correttamente diverse rappresentazioni dei numeri (Numeri,
Algoritmi, Strutture).
Utilizzare in modo consapevole strumenti di calcolo automatico (Numeri, Algoritmi,
Strutture).
Distinguere tra verifica e dimostrazione; verificare una congettura in casi
particolari o produrre controesempi per confutarla (Forme dell’argomentazione e
strategie del pensiero matematico).
Tempo medio per svolgere l'attività in classe: 4 ore
(Come da convenzione, le note in verde sono ad uso dell’Indire per la composizione
dell’unità, mentre in blu sono link a materiali o a siti)
INTRODUZIONE
All’inizio del percorso di matematica nel primo biennio è opportuno verificare e
consolidare il possesso, da parte degli allievi, delle necessarie abilità di calcolo con i
numeri (naturali, razionali, relativi). La verifica ed il consolidamento possono essere
condotti attraverso attività diverse, quali analisi e rappresentazione di semplici
indagini statistiche svolte nella classe, risoluzione di problemi con percentuali, …
L’attività presentata si colloca in questo percorso, che precede la formalizzazione delle
strutture indotte dalle operazioni nei diversi insiemi numerici e quindi l’avvio al calcolo
algebrico. L’attività vuole da una parte consolidare la consapevolezza e la padronanza
nell’uso degli strumenti di calcolo elementare, dall’altra fornire un buon bagaglio di
esperienze significative cui far riferimento, per contesti ed esempi applicativi, quando
saranno introdotti nel seguito degli studi strumenti più formali.
Si noti l’importanza che riveste l’aritmetica nella comprensione del significato del
calcolo che poi, con l’algebra, gli allievi affronteranno in un contesto più generale.
DESCRIZIONE DELL’ATTIVITA’
(inizio sceneggiatura prima fase)
L’attività proposta si articola in momenti di calcolo, manuale e con strumenti,
effettuati su numeri naturali, frazioni e numeri decimali, e in momenti di esplorazione
e riflessione sulle proprietà. L’uso degli strumenti di calcolo si motiva come necessità
per condurre in modo più ricco ed esteso questa sorta di sperimentazione con i
numeri; proprio questi numeri, seppure utili come strumenti per risolvere problemi di
contesti reali, assumono qui una loro autonomia e formano un interessante ambito di
esplorazione e di riflessione.
Il nostro percorso procede per domande, alle quali si cercherà di dare risposte usando
gli strumenti (concettuali e di calcolo) che gli studenti hanno a disposizione.
Prima fase
Domanda: Come si trasforma una frazione in numero decimale?
Lo scopo principale di questa domanda è di richiamare, e se necessario riprendere, le
elementari abilità di calcolo con i numeri naturali.
Il docente può cominciare proponendo agli allievi di esprimere la frazione
3
come
8
numero decimale. Avrà cura di far notare che il risultato 0,375 è un numero decimale
limitato.
Successivamente proporrà altri esempi alcuni dei quali producano numeri decimali
periodici, come
7
.
12
Gli allievi chiederanno, nel caso di un risultato con molte cifre decimali, con quante
cifre lo devono scrivere. L’insegnante aprirà una discussione che anticipi i concetti di
approssimazione e di risultato esatto (eventualmente indicato con la frazione stessa)
facendo notare quando si fa uso dell’uno o dell’altro.
L’insegnante può proporre un'attività nel laboratorio di informatica con l’uso di un
foglio elettronico. Inizialmente gli alunni potranno utilizzare un foglio già predisposto;
una descrizione generale e più accurata del foglio elettronico può essere rinviata ad un
momento successivo, insieme all'uso di strumenti quali le formule di calcolo, le
funzioni predefinite, i riferimenti assoluti e relativi.
Il foglio dovrà visualizzare i risultati parziali del calcolo corrispondenti ai passi che si
fanno a mano e permetterà di verificare molti casi anche con numeri grandi.
(a questo punto dovrebbe comparire sullo schermo il foglio elettronico tipo
frazione.xls; non è necessario che sia interattivo, sarebbe però interessante che
potessero comparire in finestra ‘fumetto’ le formule e i commenti quando il mouse si
posiziona nelle celle corrispondenti. Le celle con i rispettivi commenti sono riportate
sotto. Il file deve essere scaricabile da questa posizione …)
(nota da far comparire sotto l’immagine del foglio)
Nel foglio (frazione.xls qui disponibile) si legge che
7
= 0,583333333333333333 con
12
la cifra 3 che si ripete indefinitamente. Si nota, infatti, che anche il resto 4, che
moltiplicato per 10 diventa il nuovo dividendo, si ripete.
(Quando si posiziona il mouse nelle celle C1:U6, che riportano i risultati del calcolo,
compariranno le formule inserite nelle celle.
cella
Formula
Commento
C5
=INT(B1/B2)
Parte intera della divisione del numeratore per il
denominatore
C6
=RESTO(B1;B2)
Resto della divisione intera del numeratore per il
denominatore
D5
=INT(C6*10;$B$2)
I due passi precedenti si ripetono dopo aver
sostituito al numeratore il resto, calcolato al
passo precedente, moltiplicato per 10. Il nuovo
‘numeratore’ si trova nella cella che sta nella riga
sotto, cella immediatamente a sinistra. Il
denominatore invece è sempre nella cella B2. Il
primo è riferito in modo relativo e verrà
modificato automaticamente quando si copia la
formula, il secondo in modo assoluto, con il
simbolo $, in modo che resterà invariato.
D6
=RESTO(C6*10;$B$2)
Come per la cifra decimale, il calcolo del nuovo
resto va riferito al resto calcolato nel ciclo
precedente e al denominatore fisso della frazione.
Le celle da E5 a U5 contengono una formula analoga a quella in D5: va adeguato il
riferimento C6 alla corrispondente cella D6,E6…; analogamente per le celle da E6 a
U6)
(fine sceneggiatura prima fase)
(inizio sceneggiatura seconda fase: parte prima)
(spezzerei la sceneggiatura della seconda fase in due tempi: il primo per richiamare la
riduzione in minimi termini della frazione e il MCD, la seconda per la risposta alla
domanda)
Seconda fase
Domanda: Data una frazione ridotta ai minimi termini, in quali condizioni la frazione è
espressa (in base dieci) da un numero decimale limitato?
La seconda fase è divisa in due parti: prima parte – ridurre la frazione ai minimi
termini; seconda parte – rispondere alla domanda.
Prima parte: ridurre la frazione ai minimi termini.
Il calcolo del numero decimale corrispondente ad una frazione non richiede che si
parta dalla frazione equivalente che ha termini minimi (la così detta frazione ridotta).
Gli allievi dovrebbero conoscere dalla scuola media il concetto di frazione equivalente
e, tramite questo, saper ordinare due frazioni non equivalenti. Si potrà anche
ricordare che il passaggio al numero decimale è un modo pratico (se si usa una
calcolatrice) per confrontare due frazioni.
L’insegnante chiederà agli alunni di esprimere come frazione un numero decimale
limitato. Tutti dovranno essere consapevoli che il numero decimale limitato può essere
letto direttamente come frazione riferita alla posizione decimale più a destra. Ad
esempio 3,14 si può leggere subito come
314
, dato che la cifra 4 (nella prima
100
posizione a destra) si riferisce ai centesimi.
Tra tutte le frazioni equivalenti corrispondenti a 3,14 quella con i termini minimi è
157
. Si osserverà che la riduzione è ottenuta dividendo numeratore e divisore per il
50
loro MCD: in questo caso è un divisore di 100.
Anche per la riduzione ai minimi termini può essere utile un foglio elettronico come il
seguente (MCD.xls)
(Il foglio può essere anche semplicemente una figura: quando si porta il cursore sopra
le celle B5, D2 e D3 dovrebbe comparire un fumetto con la formula e la relativa
spiegazione come riportati sotto:
cella
B5
Formula
=MCD(B2;B3)
Commento
La funzione MCD(m;n), predefinita nel foglio,
calcola il massimo comun divisore di due o più
numeri. La funzione è disponibile nel foglio se
D2
=B2/B5
D5
=B3/B5
sono attivi gli ‘Strumenti di analisi’. Nel caso la
funzione produca l’errore #NOME, è necessario
attivarli dal menù del foglio Strumenti –
Componenti aggiuntive.
Il numeratore della frazione ridotta, e poi il
denominatore nella cella sotto, è dato dalla
divisione del numeratore della frazione data (cella
B2) per il MCD (cella B5)
Il seguito come nota sotto la figura del foglio.
Il foglio elettronico non si presta a descrivere in modo sufficientemente semplice tutti
gli algoritmi che si possono incontrare quando si affronta l’aritmetica secondo le
proposte di questa unità. È opportuno disporre di un ambiente di programmazione che
non richieda strutture troppo complesse rispetto agli scopi che ci si propone.
Alcuni esempi di semplici programmi per calcolatrici si trovano in Matematica 2003,
oppure anche nei testi indicati in bibliografia.
In questa unità proponiamo un ambiente che è costantemente a disposizione degli
alunni (e degli insegnanti) che lo utilizzano per consultare pagine html (documenti
multimediali o per navigare in internet). All’interno di una pagina html può essere
inserito un codice javascript che contiene, separati, da una parte la descrizione
dell’algoritmo e dall’altra la pagina con le caselle per introdurre i dati e per mostrare il
risultato.
(le pagine html, proposte in tutta l’unità, contenenti il codice javascript, e il codice
stesso delle funzioni, devono essere più semplici possibile, perché si propongono
anche come modelli di pagine da utilizzare anche con i ragazzi che ancora non hanno
l’obiettivo di scrivere siti o altro)
Seguono le due pagine html per il calcolo del massimo comun divisore di due numeri
(mcd.htm) e per la riduzione ai minimi termini di una frazione (frazione.htm).
In queste due pagine, come in quelle che verranno presentate nel seguito, sono
presenti collegamenti a pagine che mostrano e commentano il codice delle funzioni
inserite.
(fine sceneggiatura seconda fase: parte prima)
(inizio sceneggiatura seconda fase: parte seconda)
Seconda parte: rispondere alla domanda.
L’insegnante farà osservare agli allievi che per rispondere alla domanda occorre
riferirsi alla frazione ridotta ai minimi termini: si capisce infatti facilmente che,
diversamente, si potrebbero moltiplicare numeratore e denominatore per qualsiasi
numero perdendo gli elementi che caratterizzano il denominatore rispetto a 10, base
di numerazione.
L’insegnante proporrà di tradurre in numero decimale alcune frazioni nel cui
denominatore sia facilmente riconoscibile un eventuale fattore diverso da 2 e da 5.
La scomposizione più dettagliata (per il 2 e per il 5) verrà proposta nella fase
successiva, quando sarà necessaria per rispondere alla domanda.
Ad esempio l’insegnante può proporre di completare la tabella che segue, eseguendo i
calcoli a mano o con l’uso del foglio elettronico (frazione.xls) o della pagina html
(frazione.htm) presentati in precedenza.
n
m
Numero decimale
n
corrispondente a
m
7
20 x 3 = 60
17
5 x 11 = 55
23
200
18
25
24
37
7
……………
60
17
…………..
55
23
…………..
200
18
……………
25
24
…………..
37
Il denominatore
Il numero decimale
ha un fattore
è limitato?
diverso da 2 e da
5?
Vero
Falso
Vero
Falso
La discussione dei risultati della tabella introdurrà le argomentazioni e la risposta alla
domanda.
Nella prima parte di questa fase è stato ricordato il fatto che un numero decimale
limitato è espressione di una frazione che ha per denominatore una potenza di 10.
L’insegnante richiamerà esplicitamente l’unicità della scomposizione in fattori primi dei
numeri naturali: farà osservare agli allievi che da queste due affermazioni si ricava la
seguente:
un numero decimale limitato è espresso da una frazione ridotta ai minimi termini il cui
denominatore contiene soltanto come fattori primi il 2 o il 5 (o entrambi), unici fattori
primi della base 10.
Infatti, il denominatore della frazione ridotta deve essere necessariamente un divisore
di un'opportuna potenza di 10, denominatore della frazione che si ottiene
direttamente dal numero decimale limitato.
L’insegnante potrà anche esprimere questa proprietà nella forma contronominale che
forse risponde più direttamente alla domanda posta:
se il denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini contiene come fattore
primo un numero diverso da 2 e da 5, allora il numero decimale corrispondente non è
limitato.
(fine sceneggiatura seconda fase: parte seconda)
(inizio sceneggiatura terza fase)
Terza fase
Domanda: Che relazione c’è tra il denominatore di una frazione ridotta ai minimi
termini e il numero delle cifre della parte frazionaria della sua rappresentazione
decimale, quando questa è limitata?
La riflessione su questa domanda può cominciare con l'analisi di casi particolari, cioè
scomponendo in fattori primi il denominatore di qualche frazione.
Gli allievi sicuramente sanno che per determinare la potenza di 2 (e poi di 5),
presente come fattore nel denominatore, si usa ripetutamente la divisione intera.
Si può proporre alla classe di scrivere anche per questo compito un programma: nella
pagina scomposizione.htm se ne trova un modello.
Ora si chiede agli allievi di esprimere una frazione come numero decimale, dopo
averla ridotta ai minimi termini, e poi di scomporne il denominatore in fattori
evidenziandone la potenza di 2, la potenza di 5 e l’eventuale altro fattore primo con
10.
La pagina frazione_decimale.htm mette insieme le funzioni descritte in precedenza per
svolgere in modo automatico questo compito.
La costruzione di un foglio elettronico, che svolga lo stesso compito, va oltre le
possibilità date dagli strumenti del foglio che abitualmente si presentano almeno nella
fase introduttiva: la descrizione di algoritmi risulta certamente più agevole con un
linguaggio di programmazione.
L’insegnante avrà cura di presentare casi come i seguenti:
(si potrebbero ‘animare’ gli esempi che seguono, costruiti come figure distinte, una
per ciascuna riga, in modo che quando ci si pone sopra il cursore si ‘accendano’
l’esponente maggiore e la parte frazionaria si veda l’esempio di num_cifre.htm nella
cartella num_cifre)
37
37
4 1 0,4625
80 2 5
17 17
0,53125
32 2 5
33 11
11
1 2 0,22
150 50 2 5
30
1
1
2 0,04
750 25 5
77
77
2 3 0,154
500 2 5
75 75
0,5859375
128 2 7
Commento dell’animazione:
Farà osservare agli allievi che i numeri decimali sono limitati dato che corrispondono a
frazioni i cui denominatori hanno solo 2 o 5 come fattori primi.
Inoltre metterà in evidenza il fatto seguente, che risponde alla terza domanda:
il numero delle cifre della parte frazionaria del numero decimale è uguale al maggiore
tra gli esponenti delle potenze di 2 e di 5 nella scomposizione del denominatore.
(fine sceneggiatura terza fase)
(inizio sceneggiatura quarta fase)
Quarta fase
Domanda: Quando la frazione ridotta ai minimi termini ha al denominatore un fattore
diverso da 2 e da 5, com’è il numero decimale che le corrisponde?
Come conclusione della seconda fase si è avuto che se il denominatore di una frazione
ridotta ai minimi termini contiene un fattore primo diverso da 2 e da 5, allora il
numero decimale corrispondente non è limitato.
In questa fase si mostrerà che, in queste condizioni, il numero è periodico.
L’insegnante proporrà agli alunni di eseguire passo passo la riduzione di
1
a numero
7
decimale.
(si mostra un frame o una pagina animata come quella del file unsettimo.htm
contenuto nella cartella unsettimo)
L’insegnante metterà in evidenza i seguenti fatti relativi alla divisione tra numeri
naturali:
il procedimento della divisione termina quando si trova come resto 0;
il procedimento della divisione si ripete in modo ciclico (o periodico) quando nel
calcolo si ritrova un resto che si è già trovato nei passi precedenti;
i possibili resti della divisione sono in numero finito (perché minori del
denominatore); evidentemente si possono presentare solo due casi:
1)
si trova il resto 0: in questo caso il procedimento termina e quindi il
numero decimale è limitato,
2)
si ripete un resto già trovato.
La domanda posta ha quindi la seguente risposta: ad una frazione ridotta ai minimi
termini, il cui denominatore contenga fattori primi rispetto a 10, corrisponde un
numero decimale periodico. Il numero di cifre del periodo è minore del denominatore
della frazione data.
(fine sceneggiatura quarta fase)
(inizio sceneggiatura quinta fase)
Quinta fase
Domanda: Data una frazione ridotta ai minimi termini, quante sono le cifre della sua
rappresentazione decimale?
A questa domanda si è già risposto nella terza fase (mettere un link alla fase?) per i
numeri decimali limitati. Nella quarta fase (mettere un link alla fase?) si è trovato un
limite per il numero delle cifre del periodo di un numero decimale illimitato: tale
numero è minore del denominatore della frazione ridotta ai minimi termini che lo
genera.
L’insegnante farà emergere la necessità di esaminare molti casi per cercare una
risposta e, quindi, di disporre di un adeguato strumento di calcolo.
Può proporre ad esempio di calcolare il numero decimale corrispondente alle seguenti
frazioni:
5
32 275
7
,
,
,
. Mentre per le prime due il compito è ancora fattibile,
13 17 49 509
anche se piuttosto noioso (la prima ha 6 cifre di periodo, la seconda ne ha 16), le
ultime due sono improponibili per un calcolo manuale. Infatti la terza frazione genera
un numero decimale con un periodo di 42 cifre e la quarta uno di 508 cifre.
L’insegnante metterà in evidenza che l’algoritmo che calcola tutte le cifre della
rappresentazione decimale di una frazione ridotta ha termine nei due casi:
quando trova come resto 0: in questo caso il numero decimale è limitato;
quando trova nuovamente il resto con cui ha inizio il periodo. In questo caso
occorre stabilire quando inizia il periodo per fissare il resto che sarà usato come
confronto.
Si ricorda che la parte di cifre dopo la ‘virgola’ che precede il periodo si chiama
antiperiodo. Il numero di cifre dell’antiperiodo è dato dalla stessa regola che è
stata descritta per le cifre del numero decimale limitato:
il numero delle cifre dell’antiperiodo è uguale al maggiore tra gli esponenti delle
potenze di 2 e di 5 nella scomposizione del denominatore.
La pagina frazione_decimale_completa.htm descrive un algoritmo per calcolare in
modo completo il numero decimale generato da una frazione. Si consiglia di usare
questa pagina per fare qualche sperimentazione con le frazioni e osservare
interessanti regolarità delle cifre del periodo: queste attività non sono strettamente
necessarie allo sviluppo dell’unità proposta, ma offrono spunti per un approfondimento
in particolare agli allievi più interessati, aiutandoli a osservare regolarità, a formulare
congetture e a sottoporle a verifica con esempi o controesempi, a descrivere relazioni
con gli strumenti dell’algebra.
Alcune di queste regolarità, o proprietà, possono essere giustificate
argomentazioni semplici, per altre invece la dimostrazione è molto complessa.
con
(per snellire la sceneggiatura di questa fase gli esempi potrebbero essere riportati
come titoli (prima riga …) e poi linkati ad altre pagine)
(inizio sceneggiatura primo esempio della quinta fase)
Le cifre del periodo sono ‘cicliche’
Le cifre del periodo di
m
, con 1 m 6, sono sempre le stesse e sono disposte
7
in ordine ciclico:
1
7
3
7
2
7
6
7
4
7
5
7
= 0,142857
= 0,428571
La giustificazione di questa proprietà è
semplice: basta ricordare il procedimento
di calcolo del numero decimale.
Con
= 0,285714
= 0,857142
= 0,571428
1
vengono generati come resti tutti i
7
numeri da 1 a 6. Partendo da uno
qualsiasi di questi resti, gli altri, e di
conseguenza le cifre corrispondenti, si
susseguono nello stesso ordine.
= 0,714285
La pagina frazione_decimale_completa.htm permette di esaminare altri casi per
verificare se la proprietà vale ancora. Si può provare con la frazione
1 m 16, che genera un periodo di 16 cifre.
m
, con
17
Si verifichi ora che
1
0, 076923 (6 cifre di periodo). In questo caso si constata che
13
ci sono due sequenze di frazioni con le cifre del periodo cicliche: lo si verifichi con
1 10 9
2 7
5
,
,
, … e poi con
,
,
…
13 13 13
13 13 13
1
0, 047619 genera anch’essa un numero decimale con periodo di 6
La frazione
21
m
cifre: si verifica che i numeratori di
, con 1<m<20, si distribuiscono in sequenze
21
le frazioni
che mostrano la ciclicità delle cifre: queste però non hanno sempre 6 cifre di
periodo: ad esempio
14 2
0, 6 ha una sola cifra di periodo.
21 3
(fine sceneggiatura primo esempio della quinta fase)
(inizio sceneggiatura secondo esempio della quinta fase)
Le cifre del periodo sono complementari (rispetto a 9)
13 è un numero primo. Le cifre del periodo di
1
sono 6 (076923).
13
Dividiamo le 6 cifre del periodo in due blocchi di 3 cifre ciascuno: la loro somma
è 076 + 923 = 999.
m
Questa proprietà vale sempre: se n è un numero primo e se la frazione
ha
n
un periodo di cifre pari, allora, se dividiamo il periodo in due blocchi con lo
stesso numero di cifre, la somma dei due blocchi dà una sequenza di 9.
7
12 15
45
1
,
,
,
,
13 13 17
73
73
Quando invece il numero è composto e genera un periodo con un numero pari
di cifre, la proprietà a volte si verifica a volte no.
1
1
1
1
142
142
Si provino le seguenti frazioni:
;
;
;
77 7 11
21 7 3
143 11 13
304
304
707 7 101
Lo si verifichi con le frazioni:
(fine sceneggiatura secondo esempio della quinta fase)
(qui riprende il ‘corpo’ della quinta fase)
La pagina lunghezza_periodo.htm mostra la lunghezza del periodo di una frazione
e può essere utile per osservare qualche ulteriore proprietà anche con frazioni che
producono un periodo molto lungo.
Dato n, si indica con g(n) il numero di cifre del periodo di 1/n.
Si ricorda che:
1
0,142857 : scriveremo g(7)=6;
7
1
0, 09 : g(11)=2;
11
1
0, 076923 : g(13)=6;
13
1
0, 0588235294117647 :
17
g(17)=16;
Utilizzando la pagina lunghezza_periodo.htm si completi la seguente tabella:
m
43
71
79
101
461
21
77
121
g(m)
L’osservazione dei risultati porta a formulare la congettura: se n è un numero
primo, allora g(n) è un divisore (in qualche caso uguale) di n-1.
Si ricorda all’insegnante interessato che quest'ultimo enunciato è corretto e si
dimostra come conseguenza del ‘piccolo teorema di Fermat’, che afferma:
se p è un numero primo e b non è divisibile per p, allora b
p 1
1 (mod p)
dove a (mod p) è il resto nella divisione intera di a per p.
Allora il teorema di Fermat, applicato a b=10, afferma che se p è un numero primo
diverso da 2 e da 5, allora nel calcolo del numero decimale di 1/p, dato che ad ogni
passo il resto viene moltiplicato per 10, dopo p-1 passi si ritrova come resto 1.
Naturalmente può succedere che il resto 1 venga trovato anche prima di arrivare a
p-1 passi, ma in questo caso, data la periodicità del processo della divisione, il
numero di passi deve essere un divisore di p-1.
Uno sviluppo di questo argomento si trova al cap. 8 del testo ‘La teoria dei numeri’
(M. R. Schroeder, Muzzio).
(fine sceneggiatura della quinta fase)
INDICAZIONI METODOLOGICHE
L’aritmetica si presta ad attività che abituano gli allievi a rilevare regolarità, a saperle
descrivere con gli strumenti dell'algebra, a formulare congetture da sottoporre a
verifica e da giustificare con argomentazioni che gradualmente assumeranno la forma
corretta della dimostrazione.
Queste attività richiedono una certa abilità di calcolo sia mentale sia con carta e penna
per le osservazioni immediate con numeri piccoli, e quindi permettono un recupero o
consolidamento di tali abilità in un modo non pedante.
La necessità di esplorare molti casi, anche con numeri più grandi, introduce in modo
naturale e giustificato l’uso di strumenti di calcolo.
Si può iniziare con una comune calcolatrice che possiede le sole quattro operazioni. Ad
esempio si può chiedere agli alunni come eseguire con questa la divisione intera
calcolando quoziente intero e resto. Si può anche introdurre il foglio elettronico,
eventualmente fornendo all’inizio un foglio predisposto per spiegarne successivamente
l’impostazione.
Lo sviluppo degli argomenti richiederà presto la possibilità di eseguire con lo
strumento di calcolo algoritmi che non si possono esprimere con semplici formule.
Anche in questo caso si suggerisce una strategia in due tempi: all’inizio si possono
proporre strumenti predisposti come le pagine html viste in questa unità.
Successivamente si potranno introdurre gli elementi necessari per il loro sviluppo.
Alcune parti di questa attività sono adatte per un approfondimento da offrire agli
alunni più interessati e come cura dell’eccellenza.
In questa unità gli elementi di programmazione sono stati sviluppati nel contesto delle
pagine html con il linguaggio javascript perché si tratta di un ambiente di uso comune
per la navigazione in internet.
L’insegnante può naturalmente scegliere altri strumenti che offrono le stesse
possibilità: ad esempio si possono usare le calcolatrici programmabili oppure un
ambiente di calcolo simbolico.
SPUNTI PER UN APPROFONDIMENTO DISCIPLINARE
Gli temi trattati nell’unità si prestano a molti sviluppi che si possono trovare anche nei
testi riportati in bibliografia; ne riportiamo qui alcuni più strettamente legati a questo
contesto.
Primo sviluppo.
Rappresentazione posizionale in basi diverse dalla decimale.
La rappresentazione posizionale dei numeri in basi diverse da dieci viene introdotta
frequentemente anche nella scuola primaria, in particolare con riferimento alla base
due per le implicazioni che ha con il computer.
Tuttavia, ci si limita quasi sempre ai numeri interi e solo in alcuni indirizzi specifici
della scuola secondaria si tratta la rappresentazione dei numeri ‘macchina’ anche con
riferimento ai numeri frazionari.
Si può, invece, facilmente far osservare che il procedimento di calcolo del numero
decimale si adatta immediatamente a qualunque base di rappresentazione: basta solo
sostituire al 10, che moltiplica il resto nella divisione, la base di riferimento.
Si possono ora rivedere tutte le domande proposte in questa unità con riferimento alla
diversa base di rappresentazione scelta. L’esplorazione di queste proprietà richiederà
di adattare opportunamente i programmi che sono stati scritti con riferimento alla
base dieci.
Un interesse particolare assume la seconda domanda riferita alla base due: Data una
frazione ridotta ai minimi termini, in quali condizioni la frazione è espressa (in base
due) da un numero limitato?
Come per la base dieci, anche in base due il numero ‘frazionario’ (naturalmente ora
non più ‘decimale’) sarà limitato se il denominatore della frazione ridotta che lo genera
è una potenza di due. Questo fatto spiega perché 0,1
1
limitato in base dieci ha
10
rappresentazione illimitata (periodica) in base due ed è quindi necessariamente
approssimato dalla rappresentazione dei ‘numeri macchina’ del computer.
Secondo sviluppo
Indichiamo con g(m) il numero di cifre del periodo di
1
. Quanto vale g(pn), con p
m
numero primo?
Proponiamo questo esempio come esercizio, da riportare eventualmente anche in
classe, di ‘messa in formula’ di una proprietà osservata.
Si parte dalle seguenti osservazioni:
1
0,142857 : g(7) = 6;
7
1
1
0, 020408163265306122448979591836734693877551 : g(49) = 42 = 6 x 7;
2
7
49
g(73) = g(343) = 294 = 6 x 49 = 6 x 72
Questi esempi suggeriscono la congettura g(7n) = g(7) x 7n-1: la si verifichi con
qualche altro caso usando la pagina lunghezza_periodo.htm.
Usando una calcolatrice e la pagina lunghezza_periodo.htm si completi la seguente
tabella:
m
g(m)
g(m2)
g(m3)
g(m4)
11
g(11)=2
g(112)=….
g(113)=….
g(114)=….
13
g(13)=6
17
g (17)=16
Si chiede di esprimere con un'espressione algebrica la congettura per il caso generale.
Terzo sviluppo.
Proprietà dei resti nella divisione per rappresentare una frazione come numero
decimale.
La sequenza dei resti, prodotta nel calcolo del numero decimale corrispondente ad una
frazione, presenta regolarità analoghe, ma a volte anche più evidenti e forse più
facilmente dimostrabili, di quelle delle cifre del periodo.
E’ evidente intanto che il periodo di
m
è lo stesso sia per le cifre del numero
n
decimale, sia della sequenza dei resti corrispondenti.
Sui resti possiamo porre, ad esempio, la seguente domanda:
I resti di
1
sono 1, 3, 2, 6, 4, 5. Si osserva che il primo e il quarto danno come
7
somma 7 (sono complementari rispetto a 7), e così anche il secondo e il quinto, il
terzo e il sesto. La proprietà si può estendere ai resti di altre frazioni?
L’esplorazione di questa proprietà si può condurre con il foglio excel frazione1.xls.
Per
altri
approfondimenti
può
essere
utile
modificare
la
pagina
frazione_decimale_completa.htm in modo che mostri la sequenza periodica dei resti al
posto delle cifre del numero decimale.
La sequenza dei resti generata a partire dalla frazione
m
in base b costituisce un
n
buon esempio di generatore di numeri pseudocasuali, come quelli usati dal computer
per le simulazioni. Il numero n deve produrre un periodo ‘lungo’, possibilmente pari a
n-1, e b deve essere abbastanza ‘grande’ per garantire molti resti diversi.
(Riferimento bibliografico: Bruno Martinoli (1982) Guida alla simulazione. Franco
Angeli. Pag. 83: Numeri a caso. Metodi digitali.)
La ‘simmetria’ dei resti in qualsiasi base è resa evidente da un curioso grafico riportato
nel foglio orologio_resti.xls che lasciamo all’esame dell’insegnante interessato.
ELEMENTI PER PROVE DI VERIFICA
1. Il test vero/falso verifica la capacità di riconoscere semplici proprietà delle frazioni
e delle rappresentazioni decimali.
Per ogni affermazione indica se è vera o se è falsa.
La frazione
25
40
Vero
a)
è ridotta ai minimi termini
b)
è equivalente alla frazione
c)
è maggiore di
d)
è uguale a 0,6
30
45
20
35
Falso
Il numero decimale 0,375
Vero
termina per 5
è generato da una frazione che
deve avere un denominatore
multiplo di 8
è generato da una frazione che
ha 100 come denominatore
b)
è generato da una frazione che
deve avere un numeratore che
c)
d)
Falso
a)
30
è generato dalla frazione
80
Il numero decimale periodico 0, 54
Vero
a)
b)
c)
d)
Falso
è un numero decimale limitato
è generato da una frazione ridotta
che può avere denominatore
divisibile per 100
è generato da una frazione che
deve avere un numeratore con
almeno due cifre
è generato da una frazione che ha
11 come fattore del denominatore
Un numero decimale periodico è generato da una frazione che:
Vero
a)
ha al denominatore una potenza
Falso
b)
di 10
può aver come fattore del deno-
c)
minatore una potenza di due
ridotta ai minimi termini, deve avere
un denominatore primo con 5
ridotta ai minimi termini, deve avere
un denominatore con un
d)
fattore primo con 5
Le seguenti frazioni sono periodiche e hanno 2 cifre di antiperiodo
Vero
Falso
a)
b)
c)
d)
20
21
31
60
35
280
1
240
2. I seguenti quesiti si propongono di verificare se gli allievi sanno correlare le
proprietà enunciate di una frazione e del corrispondente numero decimale.
5
0, 384615 , motivare la validità delle seguenti due affermazioni:
13
11
il numero decimale corrispondente a
ha la stessa sequenza di cifre;
13
8
il numero decimale corrispondente a
ha la stessa sequenza di cifre.
13
Data l’uguaglianza
1
ha 18 cifre. Il numero 209 può essere un numero primo?
209
1
Il periodo di
ha 508 cifre. Il numero 509 può essere un numero composto?
509
Il periodo di
3. Il quesito seguente vuole verificare se gli alunni sanno applicare una proprietà nota
dei numeri decimali periodici per risolvere un nuovo problema.
Si ricordi la regola che calcola la frazione generatrice a partire dal numero decimale
periodico:
27
1
( … tanti 9 quante le cifre del periodo …).
999 37
1
Considerando le frazioni
, per quali valori di n, numero primo, si avranno numeri
n
ad esempio, 0, 027
decimali con periodo di 5 cifre?
Risposta: il problema può risultare difficile; lo si può proporre in classe e guidare con
una discussione gli allievi alla soluzione.
Partendo dall’esempio proposto, si osserva che 999 = 37 x 27.
La frazione generatrice di 0, 027 , calcolata con la regola del periodo, è
a
27
, riducibile
999
1
. Quindi 37 è divisore di 999=103 – 1.
37
I possibili candidati a rispondere al quesito vanno cercati tra i divisori primi di
105 – 1 = 99999 = 32 x 41 x 271
Con la solita pagina frazione_decimale_completa.htm si calcola:
1
1
0, 02439 e
0, 00369 .
41
271
DOCUMENTAZIONE E MATERIALI
(Aggiungere eventualmente filmati, file specifici per l'attività prodotti con software
vari, immagini, materiale di lavoro autonomo per gli studenti)
BIBLIOGRAFIA
AAVV, Matematica 2001. La Matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di
verifica per un nuovo curricolo di matematica (Scuola primaria e Scuola secondaria di
primo grado).
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
AAVV, Matematica 2003. La Matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di
verifica per un nuovo curricolo di matematica (Ciclo secondario).
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
Giulio Cesare Barozzi (1987). Aritmetica. Un approccio computazionale. Zanichelli Il
testo presenta molti algoritmi sul calcolo con i numeri interi, nell’aritmetica modulare,
con i numeri primi e con le frazioni.
Bruno Martinoli (1982) Guida alla simulazione. Franco Angeli. Pag. 83: Numeri a caso.
Metodi digitali: semplici esempi di generatori di numeri pseudocasuali al computer, in
particolare esempi di generatori alle congruenze.
M. R. Schroeder (1986) Teoria dei numeri. Franco Muzzio. Vengono trattati molti
argomenti di teoria dei numeri non troppo formalizzato e con esempi. In particolare
può essere utile per gli argomenti trattati nell’unità il capitolo 6 ‘Congruenze lineari’ e
il capitolo 8 ‘I teoremi di Fermat …’.
PISA 2003 Valutazione dei quindicenni a cura dell’OCSE, Roma, Armando Armando,
2004
SITOGRAFIA
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Didattica/didattica.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html
http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
http://www.invalsi.it/ric-int/Pisa2006/sito/
PROPOSTA DI ATTIVITÀ PER IL CORSISTA
(da condividere e discutere in rete)
Leggere l’attività, le indicazioni metodologiche e gli approfondimenti:
individuare i principali nodi didattici cui la situazione fa riferimento; esporli
sinteticamente per scritto.
Aggiungere qualche problema in altri contesti, relativo alle stesse abilità e conoscenze.
Sperimentare l’unità proposta:
fare una ricognizione del contesto scolastico specifico in cui si svolgerà l'attività;
esplicitare gli adattamenti necessari;
formulare il percorso didattico relativo;
preparare una prova di verifica adatta a valutare le conoscenze e abilità relative alla
situazione didattica posta (anche con riferimento alle prove OCSE-PISA e INVALSI).
Scrivere un diario di bordo (narrazione e documentazione del processo di
sperimentazione vissuto in classe: l’insegnante dovrà elaborare un diario con
l’esposizione dell’esperimento svolto, di come gli studenti hanno reagito alla proposta
didattica, delle difficoltà incontrate in particolare nel processo di costruzione di
significato e di procedura di soluzione e di come sono state superate le difficoltà.
Esplicitare i compiti dati agli studenti e le modalità con cui gli studenti stessi sono stati
responsabilizzati all'apprendimento.
