liuc – castellanza

LIUC – CASTELLANZA
Corso di laurea in Economia Aziendale
STATISTICA I
4.07.2001
ESERCIZIO 1 (11 punti)
Sia X una variabile statistica con distribuzione data da
(xi , xi+1]
ni
(1,5]
45
(5,7]
60
(7,11]
50
(11,15]
30
(15,21]
15
a) Si disegni l’istogramma di X
Estremi inferiori
delle classi
Estremi superiori
delle classi
Valori
centrali
1
5
7
11
15
5
7
11
15
21
3
6
9
13
18
Frequenze Frequenze
assolute Relative (pi)
45
60
50
30
15
0,225
0,3
0,25
0,15
0,075
15
21
Densità
0,056
0,15
0,062
0,037
0,012
ISTOGRAMMA 1
Densità
0,15
0,1
0,05
0
1
5
7
11
Variabile X
b) si calcoli la media, la mediana, la moda e il coefficiente di variazione di X
Discretizzando la variabile sui valori centrali si ha
M(X)=  xi pi  8,025 ,
Poiché Fr{X<7} >0,5 la mediana cadrà nella seconda classe. In particolare deve essere,
detta x* la mediana, F(x*)=0,5 ovvero 0,225+0,15(x*-5) =0,5 da cui x*=6,834.
Poiché la classe a cui corrisponde la massima densità di frequenza è la seconda, la moda
sarà il suo valore centrale, cioè 6
Poiché Var(X)=  2 
x
2
i
pi  M ( X ) 2  82,72  64,40  18,32 , il coefficiente di
variazione vale  / M(X)=4,28/8,025=0,533.
c) dalla rappresentazione grafica era possibile stabilire una relazione fra media e
mediana? Si, no, perché?
Si, infatti l’istogramma presenta una lieve asimmetria con una coda destra più lunga da
cui si poteva dedurre che la media avrebbe dovuto essere maggiore della mediana.
d) Si calcoli la Fr{ 2<X<14}
Tenendo in considerazione le aree dell’istogramma si ha
Fr{ 2<X<14}= (5-2)*0,056+0,3+0,25+(14-11)*0,037=0,829
e) Se Y fosse una variabile statistica con media 8 e varianza 4, è possibile dire che Y
ha una frequenza nell’intervallo dato al punto d) superiore a quella di X? Si, no
perché?
Dalla diseguaglinza di Cebicef si ha: Fr{2<Y<14}=Fr{8-3*2<Y<8+3*2}  1-1/9=0,88
Quindi sicuramente Y ha una frequenza superiore ad X nell’intervallo in questione.
ESERCIZIO 2 (4 punti)
I seguenti dati rappresentano le vendite trimestrali destagionalizzate (in milioni) di un
prodotto di largo consumo, osservate a partire dal 3° trimestre 1999 al 2° trimestre
2001:
32, 35, 33, 34, 33, 35, 36, 38
Sapendo che i valori della stagionalità per i primi 4 trimestri dell’anno (calcolati
secondo un modello moltiplicativo) sono dati da 0,8; 1,1; 1,2; 0,9, calcolare le
vendite previste per il terzo e quarto trimestre 2001.
Indicati con {Yt, t=1,…,8} i valori della serie storica destagionalizzata il trend è dato

Cov( y, t ) 3,25
da Y =a+bt, dove b==

 0,62 e a=M(y)-bM(x)=34,5-0,62*4,5=31,71.
var( t )
5,25


Quindi Y9  31,71  0,62 * 9  37,29 e Y10  31,71  0,62 *10  37,91 da cui la

previsione per il terzo trimestre 2001 sarà: Y9 *1,2  37,29 *1,2  44,748 mentre quella

per il quarto trimestre sarà Y10 * 0,9  37,91 * 0,9  34,119.
ESERCIZIO 3 (5 punti)




(3a) Utilizzando le tre probabilità P A , PB  e P A B si può calcolare P A B ? Si
giustifichi la risposta dando l’appropriata formula di calcolo.
(3b) Utilizzando le due probabilità PB  e P A B si può calcolare P A B ? Si
giustifichi la risposta dando l’appropriata formula di calcolo.
(3c) Utilizzando il rapporto P A / PB  si può calcolare il rapporto PA B  / PB A ? Si
giustifichi la risposta dando l’appropriata formula di calcolo.








Risposta (3a): dalla regola di calcolo P A B = P A + PB  - P A B si ottiene subito
  B= P A + PB  - PA B
PA

 
PA B = PB  - PA B 

Risposta (3b): dalla regola di calcolo PB  = P A B + P A B si ottiene subito
Risposta (3c): (Primo modo) dal teorema di Bayes PA B  =
P  A  PA B 
=
P B  PB A
P B A P A
P B 
si ottiene subito
Risposta (3c): (Secondo modo) dalla definizione di probabilità condizionata si ottiene
subito
  B  P B  P  A

P B A P A B  P A PB 
PA B 

PA
ESERCIZIO 4 (4 punti)
(4a) Elencare tutte le ipotesi del teorema di Bayes nel caso di n eventi A1 , A2 , An .
(4b) Scrivere la formula del teorema di Bayes nel caso di n eventi A1 , A2 , An .
Risposta (4a): le ipotesi sono: (1) A1 , A2 ,  An sono una partizione di  , (2)
P Ai   0 i  1,2,  n (3) P B   0
Ovviamente, che A1 , A2 ,  An sono una partizione di  significa che:
n

i 1
Ai  ,
Ah
A
k
Ø
h, k  1,2 n, h  k
Risposta (4b): la formula è:
PAk B  =
P B Ak  P Ak 
P B Ai  P Ai 
i 1

n
k  1,2,  n