Scheda sulle proprietà delle disequazioni.

Diseguaglianze e disequazioni
Siano A,B,C,...., numeri reali od espressioni algebriche a coefficienti reali. A seconda che A-B sia positivo o
negativo si scrivono le disuguaglianze di verso contrario:
A>B , A<B
Per le quali valgono le seguenti proprietà:
a) se A>B e B>C allora A>C (proprietà transitiva).
a) 5>3 e 3>2 allora 5>2
b) il verso di una disuguaglianza non muta sommando b) Il segno di (A+C)-(B+C) è lo stesso di quello di
ai due membri addendi uguali.
A-B quindi se A>B segue A+C>B+C. Cose
c) è lecito trasportare un termine da un membro
analoghe per A<B.
all'altro di una disuguaglianza purché si cambi di
c) Infatti A-(B+C) ed (A-C)-B hanno lo stesso
segno.
segno e quindi da A>B+C segue A-C>B.
d) sommando membro a membro due disuguaglianze
d) Se A-B e C-D hanno lo stesso segno le stesso
di ugual verso si ottiene una disuguaglianza di
accade per (A-C)+(C-D) e (A+C)-(B+D); quindi
verso concorde con le prime.
da A>B e C>D segue A+C>B+D.
e) Sottraendo membro a membro due disuguaglianze
e) Se A-B>0 e C-D<0 (verso contrario), abbiamo
di verso contrario si ottiene una disuguaglianza di
che (A-B)-(C-D)>0 e (A-C)-(B-D)>0; quindi da
verso concorde con le prime.
A>B e C<D segue A-C>B-D.
f) Moltiplicando ambo i membri di una
f) Se A-B e C hanno segni uguali (A-B)C è
disuguaglianza per uno stesso fattore si ottiene una
positivo; quindi se A-B>0 e C>0 è AC>BC
disuguaglianza dello stesso della prima se il fattore
oppure se A-B<0 e C<0 è AC>BC; mentre
è positivo, di verso opposto se è negativo.
se A-C e C hanno segni diversi abbiamo che
g) Se A>B>0 e se >0 abbiamo A >B mentre se
(A-B)C è negativo; quindi se A-B<0 e C>0 o se
<0 abbiamo A <B.
A-B>0 e C<0 abbiamo AC<AC.
In particolare:
 moltiplicando per -1 ambo i membri di una disuguaglianza questa cambia verso
 se A>B>0 e C>D>0 si ha che AC>BD
 se A<B<0 e C<D<0 si ha che AC>BD.
La disuguaglianza A>B si dice disequazione se almeno una fra le A e B è una espressione algebrica contenente
una lettera, incognita, della quale certi valori reali (soluzioni della disequazione) la verificano.
Se una disequazione ammette soluzione può accadere:
 che sia verificata per qualsiasi valore di x:
x2+1>0
soluzione -<x<
 che sia verificata in un intervallo estremi esclusi:
1-x2>0
soluzione -1<x<1
 che sia verificata in più intervalli distinti:
x2-1>0
soluzione -<x<-1 e 1<x<+
 che sia verificata per valori reali di x tranne al più alcuni valori: (x-1)2>0 soluzione -<x< tranne x=1.

Individua le seguenti disequazioni
1.
Disequazione intera di primo grado
2.
Sistema di disequazioni di primo grado
3.
Disequazione fratta (numeratore e denominatore polinomi di primo grado)
4.
Disequazione intera di secondo grado
5.
Sistema di secondo grado
6.
Sistema di grado superiore al secondo
7.
Disequazione intera di grado superiore al secondo
x3  4x  0
8.
Disequazione fratte composte da polinomi di primo o secondo grado
x3 2 0
9.
Disequazione irrazionale
10. Disequazione e valore assoluto.
x2  x  0
x 2  9  4x  0
2x  2
1  0
3x
x  2  0

2 x  1  2
2x  8
1  0
3x  4
x3 0
 x 2  16  0

2 x  7  0
 x 2  25  0
 2
2 x  7 x  0