Distribuzioni di probabilita’ e distribuzione
binomiale.
Esercizio 1
Rappresentate graficamente la distribuzione uniforme di probabilita’ descritta
dalla funzione:
P(xi) = 1/5 dove i varia da 1 a 5.
Calcolate inoltre media e varianza di questa distribuzione di probabilita’.
Soluzione: Media = 3; Varianza = 2
Esercizio 2
Otto velocisti competono in una gara di 100 metri.
A) Quanti sono i possibili ordini di arrivo degli 8 velocisti?
B) 3 velocisti otterranno una medaglia. Quante sono le triplette possibili
(ordinate) dei medagliati ?
Soluzione:
A) 40320
B) 336
Esercizio 3
Sei cavalli competono in una gara di galoppo.
A) Quanti sono le possibili combinazioni di arrivo dei 6 cavalli?
B) Se scommettesse che una particolare coppia di cavalli arriva 1ma e 2nda
(l’ordine non conta) quante sarebbero in tutto le coppie di cavalli da
considerare prima di decidere quanto scommettere sulla coppia da voi scelta ?
Soluzione
A) 1
B) 15
Esercizio 4
Producete il grafico di una distribuzione binomiale con p = .5 e n = 10.
Determinate media e deviazione standard della distribuzione.
Soluzione
n. Successi
probabilita’
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.000976563
0.009765625
0.043945313
0.1171875
0.205078125
0,24609375
0.205078125
0.1171875
0.043945313
0.009765625
0.000976563
Media = 5
Deviazione standard = 1.581 (3 c.d.)
Esercizio 5
Una ricerca e’ stata effettuata per valutare se un particolare tipo di deodorante alla
fragola fosse piu’ piacevole di uno alla menta. 10 persone sono state testate e 9
hanno scelto il deodorante alla fragola.
A) Usate la distribuzione binomiale relativa all’esercizio precedente per decidere se
l’ipotesi nulla di equiprobabilita’ di scelta dei due deodoranti e’ da rigettare.
B) Se 8 persone avessero scelto il deodorante alla fragole avreste rigettato l’ipotesi
nulla ?
Soluzione
A) Si rigetta l’ipotesi nulla in quanto la probabilita’ totale associata a 9 o piu’
successi (e 1 o meno successi) e’meno di 0.05.
B) No in quanto la probabilita’ cumulativa per 0,1,2, 8,9 e 10 successi non e’
ineriore o uguale a 0.05.
Esercizio 6
Una moneta viene lanciata 16 volte e dovete decidere sulla base del risultato
ottenuto (i.e. il numero di teste osservate) se la moneta e’ truccata. Come potete
decidere se la moneta e’ truccata utilizzando i dati ottenuti da un esperimento come
quello di cui sopra?
Soluzione
Una moneta non truccata lanciata 16 volte atterrera’ potenzialmente testa da 0 a 16
volte, ma secondo la distribuzione binomiale n = 16 p = 0.5 sara’ giudicata non
truccata solo se si osserveranno i seguenti numeri di ‘teste’ : 0, 1, 2, 3,13, 14, 15, 16.
n. ‘Teste’
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
probabilita’
0.00002
0.00024
0.00183
0.00854
0.02777
0.06665
0.12219
0.17456
0.19638
0.17456
0.12219
0.06665
0.02777
0.00854
0.00183
0.00024
0.00002
Esercizio 7
La probabilita’ che uno studente passi al primo tentativo l’esame di ammissione
all’accademia aereospaziale di Forlimpopoli e’ del 20%.
A) Quale e’ la probabilita’ che uno studente in un gruppo di 10 sudenti passi il test
al primo tentativo ?
B) E quale e’ quella che 7 studenti su 10 passino il test d’ammissione al primo
tentativo ?.
Soluzione
A) 0,27 (3 c.d.) B) 0,0008 (3 c.d.)
n successi
0
1
2
3
4
5
6
7
probabilità
0,10737
0,26844
0,30199
0,20133
0,08808
0,02642
0,00551
0,00079
8
9
10
0,00007
0,0000041
0,00000010
Esercizio 8
Un campione di 20 bambini e’ testato in un esercizio di matematica ed in uno di
grammatica. 14 bambini risultano superare il test di matematica con un punteggio
piu’alto di quello di grammatica (I voti in entrambi i test sono su scale
standardizzate con media e deviazione standard comuni). Possiamo concludere che
la popolazione da cui i bambini sono stati estratti e’ piu’ brava in matematica che
non in grammatica?.
Soluzione
Se assumiamo che Hp1 (alternativa) sia bidirezionale = P(test matematica) ≠ P(test
grammatica), allora la somma delle probabilità degli eventi estremi
(0,1,2,3,4,5,6,14,15,16,17,18,19,20) è > di 0,05, quindi non possiamo rigettare l’Hp0
(nulla). I bambini non sono significativamente più bravi in matematica che in
grammatica.
Se Hp1 (alternativa) è unidirezionale = P(test matematica) > P(test grammatica),
possiamo affermare che vi sia una differenza significativa fra l’abilita’ a svolgere il
test di matematica vs. quello di grammatica (p< 0,05 marginale). Possiamo rigettare
Hp0. E’ piu’ probabile che il test di matematica sia superato con voti superiori
rispetto a quello di grammatica.
n.
successi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Probabilita'
0.000001
0.000019
0.000181
0.001087
0.004621
0.014786
0.036964
0.073929
0.120134
0.160179
0.176197
0.160179
0.120134
0.073929
0.036964
0.014786
0.004621
0.001087
0.000181
0.000019
0.000001
Esercizio 9
Un campione di 10 donne viene pesata (in kg) prima e dopo un periodo di dieta di 2
settimane. Di sotto sono riportati i dati. Usate il test del segno per decidere se la
dieta induce l’effetto desiderato.
prima
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
dopo
75
76
65
77
67
79
69
76
72
67
72
65
56
79
66
68
72
68
65
64
Soluzione
Si usa la binomiale n = 10 p = 0.5. Sulla base dei successi riportati non si puo’
concludere che la dieta abbia avuto effetto.
Esercizio 10
Un campione di 20 donne viene pesato (in kg) prima e dopo un periodo di dieta di 2
settimane. Di sotto sono riportati i dati.
A) Usate il test del segno per decidere se la dieta induce l’effetto desiderato.
B) Confrontando i risultati di questo con quelli dell’esercizio precedente cosa potete
inferire?
prima
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
dopo
75
76
65
77
67
79
69
76
72
67
65
67
76
72
67
79
76
75
69
72
65
56
79
66
68
72
68
65
64
56
64
65
65
66
68
68
72
72
20
77
79
Soluzione
A) Si usa la binomiale n = 20 p = 0.5. Sulla base dei successi riportati si puo’
concludere che la dieta ha effetto.
B) Il test del segno non tiene conto della grandezza delle differenze ma solo del
segno delle stesse. Di conseguenza, anche se numericamente vi possano essere
discrepanze notevoli nella direzione attesa (si veda esercizio 9) i risultati non
portano a rigettare l’ipotesi nulla. Un maggior numero di osservazioni permette
di valutare piu’ adeguatamente (i.e. il potere statistico e’ maggiore) l’effetto
della dieta.
