CAPACITA’ DI METTERE IN FORMULA E INTERPRETARE I RISULTATI
A partire dal ricco campo di esperienza che è la realtà quotidiana, è possibile favorire negli studenti
il passaggio dal linguaggio naturale e dalle esplorazioni di casi particolari alla genesi del senso dei
simboli e alla generalizzazione, in un contesto “divertente” e motivante (cfr. lucido Lezioni 4.25).
Una questione di probabilità
Il problema che si propone
richiede qualche conoscenza elementare di probabilità (la definizione classica di probabilità ed,
eventualmente, la formula della probabilità totale)
sollecita la capacità di “mettere in formula” in maniera appropriata, per poter gestire l’apparente
complessità dei dati
formalizzato nel modo seguente, conduce a una disequazione di secondo grado in due variabili
che, però, si risolve con una semplice discussione sul segno di un certo fattore e con la ricerca
delle coppie di numeri naturali verificanti opportune limitazioni. Pertanto, senza essere troppo
difficile, spinge a utilizzare in un contesto algebrico non consueto e a prima vista non alla
portata di alunni di biennio della scuola superiore, la nozione di soluzione di una disequazione e
i principi di equivalenza e a effettuare, prima, una previsione e, in seguito, un controllo sulle
soluzioni accettabili per il problema
è un esempio di situazione in cui il passaggio alla geometria analitica (cambiamento di frame)
risulta disagevole e rende più laboriosa la risoluzione
può essere proposto agli studenti come attività da svolgere in piccoli gruppi, seguita dal
confronto dei risultati e dalla discussione con l’insegnante.
PROBLEMA
Adriano sfida Francesco ad un nuovo gioco. Ha a disposizione biglie di due colori, azzurro e giallo,
e due sacchetti. Adriano mette 8 biglie nel primo sacchetto e 5 biglie nel secondo, senza dire a
Francesco quante sono le biglie azzurre e quante sono le gialle. Poi invita Francesco ad estrarre a
caso una biglia da ciascun sacchetto: vince Francesco se estrae due biglie dello stesso colore, vince
Adriano in caso contrario. Quante biglie azzurre e quante biglie gialle deve mettere Adriano nei due
sacchetti per avere una probabilità di vittoria maggiore di Francesco, escludendo ovviamente il caso
in cui ciascun sacchetto contenga palline di un solo colore? Quanto vale la massima probabilità di
vittoria di Adriano?
Poniamo
Sacchetto con 8 biglie
Sacchetto con 5 biglie
Biglie azzurre
x
y
Biglie gialle
8x
5y
con le condizioni 0 < x < 8, 0 < y < 5.
La probabilità che vinca Adriano, e cioè che venga estratta una coppia di palline di diverso colore,
può essere determinata con il teorema della probabilità totale, oppure più semplicemente con la
definizione classica di probabilità. Infatti su 40 possibili coppie di biglie si possono estrarre x(5 y)
coppie azzurra – gialla, (A, G), e y(8 x) coppie gialla – azzurra, (G, A), avendo, pertanto,
x 5 y 8 x y 5 x 8 y 2 xy
p(A, G) p(G, A)
.
8 5
8 5
40
La probabilità trovata dev’essere maggiore di
1
, cioè deve aversi 5 x 8 y 2 xy 20 , da cui segue
2
x(5 2y) > 4(5 2y).
La disequazione si risolve con una semplice discussione sul segno del fattore 5 2y e conduce alla
ricerca delle coppie di numeri naturali soluzioni dei seguenti sistemi
4 x 85
50 x 4
0 y
y5
2
2
La composizione dei sacchetti – (numero biglie azzurre, numero biglie gialle) - dev’essere pertanto
una delle seguenti:
Sacchetto con 8 biglie (5, 3), (6, 2), (7, 1)
Sacchetto con 5 biglie (1, 4), (2, 3)
oppure
Sacchetto con 8 biglie (1, 7), (2, 6), (3, 5)
Sacchetto con 5 biglie (4, 1), (3, 2)
La massima probabilità di vittoria per Adriano vale 29/40 e corrisponde al caso in cui in un
sacchetto c’è una sola biglia azzurra e nell’altro una sola biglia gialla.
E’ interessante fare osservare che scambiando i nomi delle variabili si ottengono le stesse
distribuzioni di colore delle biglie nei due sacchetti.
Altri esercizi
1) Costruisci con una pagina di quaderno una superficie cilindrica, facendo combaciare due lati
opposti della pagina. Quali lati bisogna far combaciare per ottenere il cilindro di dimensioni
maggiori? Se usi un foglio di diverse dimensioni, la risposta è la stessa?
2) In un liceo, all’inizio dell’anno scolastico, si constata che il numero degli studenti è diminuito del
10% e che la percentuale delle femmine è passata dal 50% al 55%. Il numero delle femmine nel
liceo è aumentato o diminuito? In quale percentuale? [è diminuito dell’1%]
(Olimpiadi di Matematica 1992, gara senior)
3) Un locomotore, quando viaggia senza vagoni, raggiunge la velocità di 120 km/h. Quando traina 4
carrozze, la sua velocità è di 90 km/h. Supponiamo che la velocità del locomotore quando traina dei
vagoni diminuisca di una quantità proporzionale alla radice quadrata del numero dei vagoni. Quanti
vagoni al più riesce a trainare quel locomotore? [63]
(Olimpiadi di Matematica 1994, gara junior)
4) Un negoziante pratica sui suoi prodotti uno sconto e poi, sul prezzo scontato, applica l’IVA. Il
gestore del negozio adiacente, invece, per gli stessi prodotti, maggiora prima il prezzo con l’IVA e
poi pratica lo sconto. Da chi conviene acquistare?
5) Nella seguente disposizione di n tavoli, x indica il posto per una singola persona, e “. . . ” indica
un numero variabile di tavoli. Quante persone si possono sedere? (Arcavi, 1994)
x x
x x
x x
x x
...
x
x
x x
x x
x
x
x x
I posti disponibili possono essere contati in più modi: 2(2n) + 2 1 = 4n + 2, oppure distinguendo i
tavoli da quattro posti e quelli da cinque posti, 4(n – 2) + 2 5.
Può essere interessante porre anche la questione inversa: in che modo sono stati contati i posti se il
risultato è, per esempio, 5n – (n – 2)?
Con esercizi di questo tipo vengono evidenziati sensi non equivalenti (i metodi usato per contare i
posti) per significati equivalenti (le diverse forme) di un’espressione algebrica.
6) John va in banca per incassare un assegno il cui ammontare è minore di $100, Il cassiere
confonde i cent con i dollari (per esempio se l’assegno è di $19.45, egli da a John $45.19). John
prende il denaro e dopo avere speso $3.50, si accorge di avere esattamente il doppio
dell’ammontare dell’assegno. Quanto valeva l’assegno?
(Snark, 1977) [conviene porre x = ammontare in dollari, y = ammontare in cent.]
7) Caio dice a Tizio: pensa un numero compreso tra 1 e 9, moltiplicalo per 9, somma le cifre del
numero ottenuto, sottrai 5. Pensa ad una nazione europea che inizia con la lettera dell'alfabeto di
posto il numero ottenuto. Considera la terza lettera del nome di questa nazione, pensa ad un colore
che inizia con questa lettera ed infine pensa ad un grosso animale il cui nome inizia con la seconda
lettera del nome di questo colore. Caio, alla fine, dice : come è possibile che ci siano elefanti neri in
Danimarca?
Sia x il numero, lo sviluppo polinomiale di 9x è (x 1)10 + (10 x), allora, qualunque sia x
compreso tra 1 e 9, la somma delle cifre di 9x è 9, sottraendo 5 si ottiene 4; di conseguenza,
qualunque sia x, si ha Danimarca, nero, elefante.
8) Un’azienda, in un momento di difficile congiuntura, abbassa lo stipendio di tutti i dipendenti
dell’8%; superata questa difficoltà, alza gli stipendi dell’8%. Com’è, dopo di ciò, la situazione dei
dipendenti?
9) A che ora terminerà il film?
Alle 21 mi accingo a vedere un film in televisione, della durata prevista di 1h e 48’. So che in tale
fascia oraria un decimo del tempo è destinato alla pubblicità: a che ora terminerà la trasmissione del
film?
Trova un metodo per risolvere questo tipo di problemi.
10) Una certa domanda d'esame è costituita da cinque parti, ciascuna delle quali richiede una sola
risposta che può essere giusta o sbagliata. Il punteggio è dato assegnando 2 punti per ciascuna
risposta esatta, 1 per ciascuna risposta sbagliata (o omessa); l'insegnante, inoltre, parte da un
punteggio iniziale di 3 punti.
Determina una formula che esprima il punteggio p ottenuto da un ragazzo che risponde a tutte e
cinque le parti, sapendo che soltanto x parti sono classificate esatte.
Si ottiene la formula p=3+2x (5 x) , che semplificata diventa p=3x2.
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