ANALISI MATEMATICA I

ANALISI MATEMATICA I
Numero di Crediti: 9
Collocazione: I Anno - I semestre
PROGRAMMA
Introduzione
Introduzione alla teoria degli insiemi. Operazioni sui sottoinsiemi di un insieme. I numeri reali. Estremi
di un insieme numerico (concetto di estremo superiore e inferiore, massimo e minimo). Intervalli di R.
Intorni, punti di accumulazione. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Funzioni reali
Definizione. Campo di esistenza, codominio e grafico di funzione. Estremi di una funzione reale
(concetto di estremo superiore e inferiore, massimo e minimo). Funzioni monotone. Funzioni
composte. Funzioni invertibili. Funzioni elementari: funzione potenza n-esima e radice n-esima,
funzione esponenziale, funzione logaritmica, funzione potenza, funzioni
trigonometriche e loro inverse. Funzioni iperboliche. Equazioni e disequazioni.
Numeri complessi.
Unità immaginaria. Operazioni sui numeri complessi. Forma geometrica e forma trigonometrica.
Potenze e formula di De Moivre. Radici ennesime.
Successioni e serie numeriche
Definizioni. Successioni limitate, convergenti, oscillanti e divergenti. Successioni monotone. Numero
di Nepero. Introduzione alle serie numeriche. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie
geometrica, armonica, serie armonica generalizzata. Serie a termini positivi e criteri di convergenza:
criteri del confronto, del rapporto, della radice e confronto asintotico. Serie a termini di segno
qualunque, assoluta convergenza, criterio di Leibnitz per serie alternate.
Limite di una funzione
Definizione. Limite destro e limite sinistro. Teorema di unicità. Teoremi di confronto. Teorema ponte.
Operazioni e forme indeterminate. Limiti notevoli.
Funzioni continue
Definizione. Continuità e discontinuità. Teorema di Weierstrass. Zeri di una funzione e teorema di
esistenza degli zeri e metodo di bisezione, applicazioni e stima dell’errore. Teorema di esistenza dei
valori intermedi. Continuità della funzione composta e della funzione inversa.
Derivata di una funzione
Definizione. Derivate destra e sinistra. Significato geometrico. Derivabilità e continuità. Regole di
derivazione. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di funzione composta e funzione inversa.
Derivate di ordine superiore. Differenziale di una funzione e significato geometrico.
Teoremi fondamentali del calcolo differenziale
Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange e corollari (caratterizzazione delle funzioni costanti, criterio di
monotonia). Teorema di De l’Hospital. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Formule di
Taylor e di Mac-Laurin. Sviluppo delle principali funzioni. Resto di Lagrange e applicazioni al calcolo
di valori approssimati e stima dell’errore. Resto di Peano e applicazioni al calcolo dei limiti.
Studio del grafico di una funzione
Dominio di definizione. Asintoti di un grafico. Ricerca dei massimi e minimi relativi. Funzioni concave
e convesse e flessi. Grafico di una funzione tramite i suoi elementi caratteristici.
Integrazione di funzioni di una variabile
Definizione di funzione primitiva e integrale indefinito. Integrali immediati. Regole e metodi di
integrazione. Integrazione immediata, per parti e per sostituzione. Integrale delle funzioni razionali.
Integrale definito e significato geometrico. Formula dei trapezi. Teorema del valor medio. Funzione
integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Cenni sugli integrali impropri.